1、第三节基本不等式及其应用A组基础题组1.“ab0”是“abb0得,a2+b22ab;但由a2+b22ab不能得到ab0,故“ab0”是“ablg x(x0)B. sin x+1sinx2(xk,kZ)C. x2+12|x|(xR)D. 1x2+11(xR)答案C对于选项A,当x0时,x2+14-x=x-1220,所以lgx2+14lg x;对于选项B,当 sin x0时显然不成立;对于选项C,x2+1=|x|2+12|x|(当且仅当|x|=1时,取“=”),一定成立;对于选项D,因为x2+11,所以00,b0,由ab=1a+2b21a2b=22ab,得ab22(当且仅当b=2a时取等号),所以
2、ab的最小值为22.4.已知函数f(x)=-x2x+1(x-1),则()A.f(x)有最小值4B.f(x)有最小值-4C.f(x)有最大值4D.f(x)有最大值-4答案Af(x)=-x2x+1=-x2-1+1x+1=-x-1+1x+1=-x+1+1x+1-2=-(x+1)+1-(x+1)+2.因为x-1,所以x+10,所以f(x)21+2=4,当且仅当-(x+1)=1-(x+1),即x=-2时,等号成立.故f(x)有最小值4.5.已知直线ax+by+c-1=0(b,c0)经过圆x2+y2-2y-5=0的圆心,则4b+1c的最小值是()A.9B.8C.4D.2答案A圆x2+y2-2y-5=0化成
3、标准方程为x2+(y-1)2=6,所以圆x2+y2-2y-5=0的圆心为C(0,1).因为直线ax+by+c-1=0经过圆心C,所以a0+b1+c-1=0,即b+c=1,因此4b+1c=(b+c)4b+1c=4cb+bc+5.因为b,c0,所以4cb+bc24cbbc=4.当且仅当4cb=bc时等号成立.由此可得b=2c,又b+c=1,所以b=23,c=13时,4b+1c取得最小值9.6.已知x54,则f(x)=4x-2+14x-5的最大值为.答案1解析因为x0,则f(x)=4x-2+14x-5=-5-4x+15-4x+3-2+3=1.当且仅当5-4x=15-4x,即x=1时,等号成立.故f(
4、x)=4x-2+14x-5的最大值为1.7.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(xN*),则该公司年平均利润的最大值是万元. 答案8解析每台机器运转x年的年平均利润为yx=18-x+25x万元,而x0,故yx18-225=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.8.规定:“”表示一种运算,即ab=ab+a+b(a,b为正实数).若1k=3,则k的值为,此时函数f(x)=kxx的最小值为.答案1;3解析由题意得1k=k+1+k=3,即k+k-2=0,解得k=
5、1或k=-2(舍去),所以k=1.又f(x)=1xx=x+x+1x=1+x+1x1+2=3,当且仅当x=1x,即x=1时取等号,故函数f(x)的最小值为3.9.已知x0,y0,且2x+8y-xy=0,求:(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.解析(1)由2x+8y-xy=0,得8x+2y=1.因为x0,y0,所以1=8x+2y28x2y=8xy,所以xy64,当且仅当x=16,y=4时,等号成立, 所以xy的最小值为64.(2)由2x+8y-xy=0,得8x+2y=1,则x+y=8x+2y(x+y)=10+2xy+8yx10+22xy8yx=18,当且仅当x=12,y=6时,等号成立,所以
6、x+y的最小值为18.10.已知x0,y0,且2x+5y=20.求:(1)u=lg x+lg y的最大值;(2)1x+1y的最小值.解析(1)因为x0,y0,所以由基本不等式,得2x+5y210xy.因为2x+5y=20,所以210xy20,xy10,当且仅当2x=5y时,等号成立.因此有2x+5y=20,2x=5y,解得x=5,y=2,此时xy有最大值10.所以u=lg x+lg y=lg(xy)lg 10=1.所以当x=5,y=2时,u=lg x+lg y有最大值1.(2)因为x0,y0,所以1x+1y=1x+1y2x+5y20=1207+5yx+2xy1207+25yx2xy=7+210
7、20.当且仅当5yx=2xy时,等号成立.由2x+5y=20,5yx=2xy,解得x=1010-203,y=20-4103.所以1x+1y的最小值为7+21020.B组提升题组1.已知x0,y0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则1x+13y的最小值是()A.2B.22C.4D.23答案C因为lg 2x+lg 8y=lg 2,所以lg(2x8y)=lg 2,所以2x+3y=2,所以x+3y=1.因为x0,y0,所以1x+13y=(x+3y)1x+13y=2+3yx+x3y2+23yxx3y=4,当且仅当x=3y=12时取等号.所以1x+13y的最小值为4.故选C.2.若正数x,y满足4x2+
8、9y2+3xy=30,则xy的最大值为()A.43B.53C.54D.2答案D30=4x2+9y2+3xy236x2y2+3xy,即3015xy,所以xy2,当且仅当4x2=9y2,即x=3,y=233时等号成立.故xy的最大值为2.3.已知正数a,b满足a+b=2,求1a+1+4b+1的最小值.解析1a+1+4b+1=1a+1+4b+1(a+1)+(b+1)4=141+4+b+1a+1+4(a+1)b+1145+2b+1a+14(a+1)b+1=94.当且仅当b+1a+1=4(a+1)b+1,即a=13,b=53时取等号.4.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本
9、为C(x)(万元),当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x;当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+10 000x-1 450.每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?解析(1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品的销售额为0.051 000x万元,依题意得:当0x80时,L(x)=(0.051 000x)-13x2+10x-250=-13x2+40x-250;当x80时,L(x)=(0.051 000x)-51x
10、+10 000x-1 450-250=1 200-x-10 000x.所以L(x)=-13x2+40x-250,0x80,1 200-x-10 000x,x80.(2)当0x80时,L(x)=-13(x-60)2+950.此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950万元;当x80时,L(x)=1 200-x+10 000x1 200-2x10 000x=1 200-200=1 000.当且仅当x=10 000x,即x=100时取得等号,则当x=100时,L(x)取得最大值1 000万元.由于9501 000,所以,当年产量为100千件时,该厂在这一商品生产中所获利润最大,最大利润为1 000万元.
