1、2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）试题参考答案一、 选择题：本题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分50分。1.B 2.A 3.B 4.D 5.C 6.B 7.A 8.D 9.C 10.A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分25分。11.6；12.（2，1）（或满足a=2b的任一组非零实数对（a,b）13.- 14. 15.；0.6三、解答题：本大题共6小题，共75分。16.本小题主要考查平面向量数量积的计算，解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力。解：（）设ABC中角A，B，C的对边分别为a,b,c,则由.()
2、. .即当.17.本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力.分组频数频率4 0.0425 0.25 30 0.30 29 0.29100.1020.02合计1001.00（）纤度落在中的概率约为0.30+0.29+0.100.69，纤度小于1.40的概率约为0.04+0.25+0.300.44.()总体数据的期望约为1.320.04+1.360.25+1.400.30+1.440.29+1.480.10+1.520.021.4088.18.本小题主要考查线面关系、直线与平面成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算
3、能力以及应用向量知识解决数学问题的能力.解法1：（）是等腰三角形，又D是AB的中点，又()过点C在平面VD内作CHVD于H，则由（）知CH平面VAB.连接BH,于是CBH就是直线BC与平面VAB所成的角在RtCHD中，设,， 即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为（0，）.解法2：（）以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),D()，从而同理-即又 ()设直线BC与平面VAB所成的角为,平面VAB的一个法向量为n=(x,y,z),则由n19.本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，
4、考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.解法1：（）依题意，点N的坐标为N(0,-p),可设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是.()假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则.= =令，得为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线.解法2：（）前同解法1，再由弦长公式得又由点到直线的距离公式得.从而，得可取于是.即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为（0，）.
5、解法：（）以点D为原点，以DC、DB所在的直线分别为x轴、y轴，建立如衅所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(0,-)，于是平面VAB平面VCD.()设直线BC与平面VAB所成的角为，平面VAB的一个法向量为则由得可取厂是又0即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为（0，）解法4：以CA、CB、CV所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),D()，设V(0,0,t)(t0).()即.即又()设直线BC与平面VAB所成的角为设n(x,y,z)是平面VAB的一个非零法向量，则取z=a,得x=y=t,可取于是即直线B
6、C与平面VAB所成角的取值范围为（0，）.综合（i）（ii）知，对一切正整数m，不等式都成立.()证：当n6,mn时，由（）得于是()解：由（）知，当n6时，故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形；当n=1时，34，等式不成立；当n=2时，32+4252，等式成立；当n=3时，33+43+5363，等式成立；当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+6474,等式不成立；当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立.综上，所求的n只有n=2,3.解法2：（）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当x-1，且x0时，m2,(1+
7、x)m1+mx. (i)当m=2时，左边1+2x+x2,右边1+2x，因为x0,所以x20，即左边右边，不等式成立；（ii）假设当m=k(k2)时，不等式成立，即（1+x）k1+kx,则当m=k+1时，因为x-1,所以1+x0.又因为x0,k2,所以kx20.于是在不等式（1+x）k1+kx两边同乘以1+x得（1+x）k(1+x)(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x,所以（1+x）k+11+(k+1)x,即当mk+1时，不等式也成立.综上所述，所证不等式成立.()证：当而由（）， （）解：假设存在正整数成立，即有（）+1.又由（）可得（）+与式矛盾，故当n6时，不存
8、在满足该等式的正整数n.下同解法1，（）假设满足条件的直线t存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为将直线方程y=a代入得设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x2,y2),Q(x4,y4),则有令为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为.即抛物线的通径所在的直线.20.本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.解：（）设y=f(x)与y=g(x)(x0)在公共点（x0,y0）处的切线相同,.即即有令于是当当故为减函数,于是h(t)在（）设则故F(x)在（0，a）为减函数，在（a,+）为增函数，于是函数故当x0时，有21.本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力.解法1：（）证：用数学归纳法证明：（i）当m=1时，原不等式成立；当m=2时，左边1+2x+x2,右边1+2x,因为x20,所以左边右边，原不等式成立；（ii）假设当m=k时，不等式成立，即（1+x）k1+kx，则当m=k+1时，两边同乘以1+x得，所以时，不等式也成立.
