1、单元素养评价（三）(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.(2020全国卷)已知2tan -tan=7,则tan =()A.-2B.-1C.1D.2【命题意图】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值,属于中档题.【解析】选D.由题意可知2tan -=7,整理得:2tan -2tan2-1-tan =7-7tan ,解得tan =2.【补偿训练】(2020东莞高一检测)若sin +cos =,则tan +的值为()A.1B.2C.-1D.-2【解析】选B.tan +=+=,又sin +cos =,所以sin cos =,所以tan +=2.2.(2020肇庆高一检测)函数
2、y=sin+sin的最小值为()A.B.-2C.-D.【解析】选C.y=sin+sin =sin 2xcos+cos 2xsin+sin 2xcos-cos 2xsin =sin 2x,所以函数y的最小值为-.3.(2020长沙高一检测)已知sin=cos,则sin 2=()A.-1B.1C.D.0【解析】选A.因为sin=cos,所以cos -sin =cos -sin ,可得cos =sin ,所以tan =-1.因此sin 2=2sin cos =-1.4.若sin(-)=-且,则sin=()A.-B.-C.D.【解析】选B.sin(-)=sin =-,又,所以cos =-=-=-.由c
3、os =2cos2-1,得cos=-=-=-,所以sin=cos=-. 5.(2020南昌高一检测)已知函数f(x)=cos2cos2,则f等于()A.B.C.D.【解析】选A.f(x)=cos2cos2=,=,所以f=.6.(2020襄阳高一检测)被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.0.618就是黄金分割比t=的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin 18,则=()A.4B.C.2D.【解析】选D.把t=2sin 18代入=.7.设ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,
4、cos A),若mn=1+cos(A+B),则C=()A.B.C.D.【解析】选C.因为mn=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B)=sin C=1-cos C,所以sin=,又因为0C,所以C+=,故C=.8.(2020杭州高一检测)在ABC中,若sin(B+C)sin(B-C)=sin2A,则ABC是()A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形【解析】选C.因为0A0,同理sin C0,因为sin 2A=sin sin =sin sin =sin Asin ,所以sin =sin A=sin ,则sin Bcos C-cos Bsin C=sin Bc
5、os C+cos Bsin C可得cos Bsin C=0,所以cos B=0,因为0B0,cos 0,所以,所以=1-2sin cos =,所以sin -cos =,加得sin =,减得cos =-,所以tan =-.10.(2020南京高一检测)已知,是锐角,cos =,cos(-)=,则cos =()A.B.C.D.-【解析】选AC.由是锐角,cos =,则sin =,又,是锐角,则-,得-,又cos =,则sin (-)=,则cos =cos-(-)=cos cos(-)+sin sin (-)=,得cos =或cos =.11.(2020沈阳高一检测)关于函数f(x)=3sin xc
6、os x+3sin2x-+1,下列命题正确的是()A.由f=f=1可得x1-x2是的整数倍B.y=f(x)的表达式可改写成f(x)=3cos+1C.y=f(x)的图象关于点对称D.y=f(x)的图象关于直线x=-对称【解析】选BD.因为f(x)=3sin xcos x+3sin2x-+1,所以f(x)=sin 2x-cos 2x+1=3sin+1.A.由f(x)=3sin +1=1得sin =0,又函数的最小正周期T=,则x1-x2是=的整数倍,故A错误,B.f(x)=3sin +1=3cos +1=3cos+1=3cos+1,故B正确,C.当x=时,sin =sin=sin=-0,即函数关于
7、不对称,故C错误,D.当x=-时,sin=sin-=sin=-1,是最小值,则y=f(x)的图象关于直线x=-对称,故D正确.12.(2020济南高一检测)已知02D.k+tan 4【解析】选BCD.因为tan ,tan 是方程x2-kx+2=0的两不等实根,所以tan +tan =k,tan tan =2,tan(+)=-k,由0,tan ,tan 均为正数,则tan +tan =k2=2,当且仅当tan =tan 时取等号,等号不成立,k+tan =2tan +tan 2=4,当且仅当2tan =tan 时取等号.三、填空题(每小题5分,共20分)13.(2020揭阳高一检测)化简:=_.
8、【解析】=1.答案:114.(2020全国卷)若sin x=-,则cos 2x=_.【解析】cos 2x=1-2sin2x=1-2=1-=.答案:【补偿训练】设cos x=t,用t的代数式表示cos 2x=_;用t的代数式表示cos 3x=_.【解析】cos 2x=2cos2x-1=2t2-1,cos 3x=cos=cos 2xcos x-sin 2xsin x =cos x-2sin xcos xsin x =2cos3x-cos x-2cos x =4cos3x-3cos x=4t3-3t.答案:2t2-14t3-3t15.(2020南昌高一检测)定义运算=ad-bc,若cos =,=,0
9、,则=_.【解析】根据题意得到=sin cos -sin cos =sin =,cos =cos =cos cos +sin sin ,又0,所以0-,cos =,又cos =,sin =,则cos =,=.答案:16.(2020哈尔滨高一检测)已知角的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(-3,),则=_;tan 2+tan=_.【解析】由题意得sin =,cos =-,tan =-.=- ;tan 2=-,tan=2+.tan 2+tan=2.答案:- 2四、解答题(共70分)17.(10分)已知.(1)若sin =,求sin的值;(2)若cos =,求sin 的值.【解
10、析】(1)因为sin =,所以cos =,所以sin=sin +cos =+=.(2)因为,所以+,又因为cos =,所以sin =,所以sin =sin=sin-cos=-=.18.(12分)(2020长沙高一检测)已知2sin x=cos x.(1)求sin2x-sin xcos x的值;(2)若x2,求tan的值.【解析】(1)由2sin x=cos x得tan x=,则sin2x-sin xcos x=-.(2)方法一:tan x=tan2+4tan-1=0,得tan=-2,由x0得x,则,所以tan=-2-.方法二:由x0得x,从而sin x=-,cos x=-,tan=-2-.19
11、.(12分)(2020贵阳高一检测)在推导很多三角恒等变换公式时,我们可以利用平面向量的有关知识来研究,在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:cos(-)=cos cos +sin sin .具体过程如下:如图,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角,.它们的终边与单位圆O的交点分别为A,B.则=(cos ,sin ),=(cos ,sin ),由向量数量积的坐标表示,有:=cos cos +sin sin ,设,的夹角为,则=|cos =cos =cos cos +sin sin ,另一方面,由图(1)可知,=2k+;由图(2)可知=2k
12、+-.于是-=2k,kZ.所以cos(-)=cos ,也有cos(-)=cos cos +sin sin ,所以,对于任意角,有:cos(-)=cos cos +sin sin (C-)此公式给出了任意角,的正弦、余弦值与其差角-的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记作C-.有了公式C-以后,我们只要知道cos ,cos ,sin ,sin 的值,就可以求得cos(-)的值了.阅读以上材料,利用图(3)单位圆及相关数据(图中M是AB的中点),采取类似方法(用其他方法解答正确同等给分)解决下列问题:(1)判断=是否正确?(不需要证明)(2)证明:sin +sin =2sin cos .【解
13、析】(1)因为对于非零向量n,n是n方向上的单位向量,又=1且与共线,所以=正确.(2)因为M为AB的中点,则OMAB,从而在OAM中,|=|cos=cos,又=,=,=,所以sin=,即sin +sin =2sincos.20.(12分)(2020杭州高一检测)已知函数f(x)=sin2x+-cos 2x+1,xR.(1)若x,求函数f(x)的值域;(2)已知为锐角且f=,求sin的值.【解析】(1)因为f(x)=sin-cos 2x+1=sin 2xcos+cos 2xsin-cos 2x+1=sin 2x+cos 2x-cos 2x+1=sin 2x-cos 2x+1=sin+1.令t=2x-,则sin t,即f(x),故函数f(x)的值域为.(2)由f()=sin+1=sin =,又因为为锐角,所以2-,又sin =1,即 a2 时,在t=1处ymax=-1,由 -1=2 得 a=6.因此 a=-2 或 a=6.
