1、高考资源网（） 您身边的高考专家第3章 2 第2课时 最大值、最小值问题A级基础巩固一、选择题1设函数f(x)满足x2f(x)2xf(x)，f(2)，则x0时，f(x)(D)A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值解析函数f(x)满足x2f(x)2xf(x)，x2f(x)，令F(x)x2f(x)，则f(x)，F(2)4f(2).由x2f(x)2xf(x)，得f(x)，令(x)ex2F(x)，则(x)ex2F(x).(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，(x)的最小值为(2)e22F(2)0.(x)0.又x0，f(x)0.f(x)在(0，
2、)上单调递增f(x)既无极大值也无极小值故选D.2已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且f(x)g(x)，则f(x)g(x)的最大值为(A)Af(a)g(a)Bf(b)g(b)Cf(a)g(b)Df(b)g(a)解析令F(x)f(x)g(x)F(x)f(x)g(x)0.所以F(x)0，F(x)在a，b上递减，F(x)maxf(a)g(a)3若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是(D)A(，)B(2，)C(0，)D(1，)解析2x(xa)x，令yx，y是单调增函数，若x0，则y1，a1.4已知函数f(x)x32ax23x(a0)的导数f(x)的最大值为5，
3、则在函数f(x)图像上的点(1，f(1)处的切线方程是(B)A3x15y40B15x3y20C15x3y20D3xy10解析f(x)x32ax23x，f(x)2x24ax32(xa)22a23，f(x)的最大值为5，2a235，a0，a1f(1)5，f(1).f(x)在点(1，f(1)处的切线方程是y5(x1)，即15x3y20.5如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为(A)A()3B()3C()3D()3解析设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r2hl，h，Vr2hr22r3(0r0，r是其唯一的极值点当r时，V取得最大值，最大值为()3.6用总长为6 m的钢条制作一个长方体
4、容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为34，那么容器容积最大时，高为(A)A0.5 mB1 mC0.8 mD1.5 m解析设容器底面相邻两边长分别为3x m、4x m，则高为(m)，容积V3x4x18x284x3，V36x252x2，由V0得x或x0(舍去)x时，V0，x时，V0即x(0,1时，f(x)ax33x10可化为a，设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x) maxg4，从而a4；当x0，因此T(x)在(10,50)上是增函数；当x(50，)时，T(x)0，因此T(x)在(50，)上是减函数，当x50时，T(x)取最大值T(50)
5、50ln24.4(万元)即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24.4万元10设函数f(x)exx2x.(1)若k0，求f(x)的最小值；(2)若k1，讨论函数f(x)的单调性解析(1)k0时，f(x)exx，f (x)ex1.当x(，0)时，f (x)0，所以f(x)在(，0)上单调减小，在(0，)上单调增加，故f(x)的最小值为f(0)1.(2)若k1，则f(x)exx2x，定义域为R.f (x)exx1，令g(x)exx1，则g(x)ex1，由g(x)0得x0，所以g(x)在0，)上单调递增，由g(x)0得x0 ，所以f(x)0，故f(x)在(1，)上是增函数，正确；当x(1,1)
6、时，f(x)0，所以函数f(x)在(1，1)上是减函数，所以，错误；当0x0时，有0，则不等式x2f(x)0的解集是(1,0)(1，)解析令g(x)(x0)，x0时，0，g(x)0，g(x)在(0，)上为增函数，又f(1)0，g(1)f(1)0，在(0，)上g(x)0的解集为(1，)，f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，在(，0)上g(x)0得f(x)0，f(x)0的解集为(1,0)(1，)三、解答题5(2019德州高二检测)已知函数f(x)x2lnx1，g(x)ex(2lnxx)(1)若函数f(x)在定义域上是增函数，求a的取值范围；(2)求g(x)的最大值解析(1)由题意得x0，f (x)
7、1.由函数f(x)在定义域上是增函数得，f (x)0，即a2xx2(x1)21(x0)因为(x1)211(当x1时，取等号)，所以a的取值范围是1，)(2)g(x)ex，由(1)得a2时，f(x)x2lnx1，因为f(x)在定义域上是增函数，又f(1)0，所以，当x(0,1)时，f(x)0，当x(1，)时，f(x)0.所以，当x(0,1)时，g(x)0，当x(1，)时，g(x)0.故x1时，g(x)取得最大值g(1)e.6设f(x)lnx，g(x)f(x)f (x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g()的大小关系；(3)求a的取值范围，使得g(a)g(x)0成立解析(1
8、)由题设知g(x)lnx，g(x)，令g(x)0，得x1.当x(0,1)时，g(x)0，故(1，)是g(x)的单调递增区间，因此，x1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.(2)g()lnxx，设h(x)g(x)g()2lnxx，则h(x).当x1时，h(1)0，即g(x)g()当x(0,1)(1，)时，h(x)0，h(1)0，因此，h(x)在(0，)内单调递减当0xh(1)0，即g(x)g()，当x1时，h(x)h(1)0，即g(x)g()(3)由(1)知g(x)的最小值为1，所以g(a)g(x)0成立g(a)1，即lna1，从而得0a0时，(x2)exx20；(2)证明：当a0,1) 时，函数g(x)(x0) 有最小值设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域解析(1)f(x)ex，f(x)ex，因为当x(，2)(2，)时，f(x)0，所以f(x)在(，2)和(2，)上单调递增，所以x0时，exf(0)1，所以(x2)exx20.(2)g(x)，a0,1)由(1)知，当x0时，f(x)ex的值域为(1，)，只有一解，使得eta，t(0,2当x(0，t)时g(x)0，g(x)单调递增h(a)，记k(t)，在t(0,2时，k(t)0，所以k(t)单调递增，所以h(a)k(t).- 8 - 版权所有高考资源网
