1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015中等生百日综合提升篇专题四 立体几何解答题（文）以直线与平面所成的角相关的综合题【背一背重点知识】平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是的角直线与平面所成角的范围是.异面直线所成的角如图，已知两条异面直线，经过空间任一点作直线.则把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角)异面直线所成的角的范围是.二面角的平面角如图在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则叫做二面角的平面角二面角的范围是.【讲
2、一讲提高技能】必备技能：异面直线所成的角的范围是.求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；证明作出的角即为所求的角；利用三角形来求角; 补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角.直线与平面所成的角的范围是.求线面角方法:利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径.利用三棱锥的等体积，省去垂足,在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键
3、.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法-等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h,利用三棱锥的等体积，只需求出h，然后利用进行求解.妙用公式，直接得到线面角课本习题出现过这个公式：，如图所示：.其中为直线AB与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴.DBAC（3）确定点的射影位置有以下几种方法：斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线
4、与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心.二面角的范围，解题时要注意图形的位置和题目的要求.求二面角的方法:直接法.直接法求二面角大小的步骤是：
5、一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角,自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角, 自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；利用定义确定平面角, 在棱上任取一点，过这点在两个平面内
6、分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；射影面积法.利用射影面积公式 ；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等.典型例题：例1如图3，已知二面角的大小为，菱形在面内，两点在棱上，是的中点，面，垂足为.(1)证明：平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值.分析:(1)题目已知,利用线面垂直的性质可得,已知角和,利用余弦定理即可说明,即垂直于面内两条相交的直线,根据线面垂直的判断即可得到直线垂直于面.(2)菱形为菱形可得,则与所成角与角大小相等,即求角的余弦值即可,利用菱形所有边相等和一个角为即可求的的长度,
7、根据(1)可得面,即角为二面角的平面角为,结合为直角三角形与的长度,即可求的长度,再直角中,已知,利用直角三角形中余弦的定义即可求的角的余弦值,进而得到异面直线夹角的余弦值.【解析】例2已知某几何体的三视图和直观图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形PB1C1CBAN（）求证：；（）求直线与平面所成角的余弦值；（）设为中点，在棱上是否存在一点，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【答案】（）详见解析；（）；（）【解析】（）解：因为，所以平面，设到平面的距离为，由于，所以，解得设直线与平面所成角为，可知，所以直线与平面所成角的余弦值为【练一练提升能力】1如图
8、，四棱锥，底面，分别是的中点（1） 证明：平面；（2） 求直线与平面所成角的正弦值【解析】证明：(1)分别是的中点，又，又平面，平面，平面（2） 取线段中点，连接，则 故与平面所成的角等于与平面所成的角的大小，作，垂足为，连接，底面，又平面，平面，平面，平面是与平面所成的角，在中，与平面所成角的正弦值.2. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2，AC=AA1=4，ABC=90（1）求三棱柱ABCA1B1C1的表面积S；（2）求异面直线A1B与AC所成角的余弦值【解析】以立体几何中的距离、体积问题相关的综合题【背一背重点知识】（1）两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线
9、间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；常有求法先证线段为异面直线的公垂线段，然后求出的长即可找或作出过且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线间的距离找或作出分别过且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线间的距离根据异面直线间的距离公式EF （“”符号由实际情况选定）求距离.abEF（2）点到平面的距离点到直线的距离为点到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为，过作的垂线，垂足为连，则由三垂线定理可得线段即为点到直线的距离.在直角三角形中求出的长即可.常用求法作出点到平面的垂线后求出垂线段的长；转移法，如果平面的斜线上两点，到斜足的距离，的比为，则点，到平
10、面的距离之比也为特别地，时，点，到平面的距离相等；体积法（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离.（5）多面体的面积和体积公式名称侧面积()全面积()体 积 ()棱柱棱柱直截面周长+2= 直棱柱棱锥棱锥各侧面积之和+正棱锥棱台棱台各侧面面积之和+(+)正棱台 表中表示面积，分别表示上、下底面周长，h表斜高，h表示斜高，l表示侧棱长.（6）旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球侧全 (即)表中、分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，分别表示圆台
11、 上、下底面半径，表示半径.【讲一讲提高技能】1.必备技能：求距离的关键是化归.即空间距离向平面距离化归，具体方法如下：（1）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形.（2）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法.（3）求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：找出或作出表示有关距离的线段；证明它符合定义；归到解某个三角形若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之.异面直线上两点间距离
12、公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为q ，它们的公垂线AA的长度为d ，在a 上有线段AE m ，b 上有线段AF n ，那么EF （“”符号由实际情况选定）求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点：注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置.作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理.求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种：根据定义或图形特征作；根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线.解决办法，先找面面垂直，利用面面垂
13、直的性质定理即可找到面的垂线；作棱的垂面.作二面角的平面角应把握先找后作的原则.此外在解答题中一般不用公式“ ”求二面角否则要适当扣分.求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质.而间接法中常用的是等积法及转移法.求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离.求体积常见方法直接法（公式法）直接根据相关的体积公式计算；转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；分割法求和法：把所求几何体分割成
14、基本几何体的体积；补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；四面体体积变换法；利用四面体的体积性质：（）底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（）高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（）用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方.求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体.补形：三棱锥三棱柱平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是1：2：3和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等.求体积常见技巧当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我
15、们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积(3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素组合体的表面积和体积的计算方法实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、
16、台、球，而是由柱、锥、台、球或其一部分组成的组合体，解决这类组合体的表面积或体积的基本方法就是“分解”，将组合体分解成若干部分，每部分是柱、锥、台、球或其一个部分，分别计算其体积，然后根据组合体的结构，将整个组合体的表面积或体积转化为这些“部分的表面积或体积”的和或差易错提示空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和对于简单的组合体的表面积，一定要注意其表面积是如何构成的，在计算时不要多算也不要少算，组合体
17、的表面积要根据情况决定其表面积是哪些面积之和求解几何体体积的策略及注意问题(1)与三视图有关的体积问题关键是准确还原几何体及弄清几何体中的数量关系(2)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高(3)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握(4)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征2.典型例题：例1如图,直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上为的中点（1）求证： 平面A1PB（2）若，AC=2 ，求三棱锥的体积分析：（1）证明： 三棱柱 为直三棱柱，连接与交于点E, 可知E为中点，连接PE，为的中点，得到PE ；即
18、得平面A1PB.（2）在直三棱柱 中，由知 计算；进一步求“高”计算体积.【解析】在中， ，,在中， ， .例2如图，在正三棱柱（侧面垂直于底面，且底面是正三角形）中，是棱上一动点（1）若，分别是，的中点，求证：平面；（2）求证：三棱锥的体积为定值，并求出该定值【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，【解析】因为平面平面，平面，平面，所以平面易知，又是棱上一动点，故不论在何位置，都有【练一练提升能力】1. 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，是的中点.（）证明：/平面；（）设，三棱锥的体积，求到平面的距离.【解析】2. 如图，四棱锥中，底面为菱形，面，为的中点（1）求证：平面；（2）设，求点
19、到平面的距离【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】故平面，又，所以到平面的距离为 解答题（共10题）1. 如图，四棱锥中，底面是边长为 4的菱形， ，为中点（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若，求三棱锥的体积【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【解析】试题分析：（1）利用条件可证明，再利用线面平行的判定即可得证；（2）根据线面垂直的判定可证明平面，再根据面面垂直的判定即可得证；（3）利用求得底面积和高即可求解2. 如图，已知的直径AB3，点C为上异于A，B的一点，平面ABC，且VC2，点M为线段VB的中点.(1)求证：平面VAC；(2)若AC1，求直线AM与平面VAC所
20、成角的大小. 【解析】(1)平面，平面，点C为上一点，且AB为直径，又平面VAC，平面VAC；(2)如图，取VC的中点N，连接MN，AN，则MNBC，由(1)得，BC平面VAC，MN平面VACMAN为直线AM与平面VAC所成的角， ，直线AM与平面VAC所成角的大小为.3. 如图，四棱锥中，底面为菱形，面，为的中点（1）求证：平面；（2）设，求点到平面的距离【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】故平面，又，所以到平面的距离为 4. 如图，多边形ABCDE中，ABC90，ADBC，ADE是正三角形，AD2，ABBC1，沿直线AD将ADE折起至ADP的位置，连接PB，BC，构成四棱锥PABCD，
21、使得PAB90.点O为线段AD的中点，连接PO.(1)求证：PO平面ABCD；(2)求异面直线CD与PA所成角的余弦值.EABCDOPABCDO【解析】(1)证明：ABC90，ADBC，5. 如图甲，的直径，圆上两点、在直径的两侧，使，沿直径折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），为的中点，为的中点根据图乙解答下列各题：（1）求证：；（2）在弧上是否存在一点，使得平面？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由【答案】（1）详见解析；（2）为弧的中点【解析】6. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，E、F分别是PB、CD的中点，且.（1）求证：；（2）求证：;（3）求二面角的余弦值
22、.【解析】（1）取的中点连结 ,为正三角形， 又 , 平面,同理可证 又平面. 7. 在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为的等边三角形，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）详见解析；（2）【解析】试题解析：（1）由题意知，都是边长为的等边三角形，取中点，连接，则，又平面平面，平面，作平面，那么，根据题意，点落在上，和平面所成的角为，四边形是平行四边形，不包含于平面，平面，平面（2）作，垂足为，连接，平面，又，平面，就是二面角的平面角中，即二面角的余弦值为8. 如图，底面是正三角形的直三棱柱中，D是BC的中点，.（）求
23、证：平面；（）求的A1 到平面的距离.【解析】解法二：由可知，点到平面的距离等于点C到平面的距离为，设点C到面的距离为h，即，解得.9.如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，为的中点（1）求异面直线与所成的角；（2）在底边上是否存在一点，使平面？证明你的结论【答案】（1）；（2）存在点为的中点，使平面，理由见解析【解析】10. 如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，O，M分别为，的中点（）求证：平面；（）设是线段上一点，满足平面平面，试说明点的位置；（）求三棱锥的体积【答案】（）详见解析；（）中点；（）【解析】试题分析：（）根据线面平行的判定定理，因为O，M分别为，的中点，所以，即可证明平面；（）根据面面平行的性质定理，两个平行平面被第三个平面所截，则交线平行，根据已知平面平面，与平面交于，所以，则能推出点的位置 高考资源网版权所有，侵权必究！（上海，甘肃，内蒙，新疆，陕西，山东，湖北，河北）八地区试卷投稿QQ 2355394501
