1、第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数的几何意义课后篇巩固提升基础巩固1.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1解析设z=x+yi(x,yR).因为z-i=x+(y-1)i,所以|z-i|=x2+(y-1)2=1,则x2+(y-1)2=1.故选C.答案C2.若复数(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i表示的点在虚轴上,则实数m的值为()A.-1B.4C.-1或4D.-1或6解析由题意,知m2-3m-4=0,m=4或m=-1.答案
2、C3.已知复数z1=2+i,z2=-i,则|z1|z2|=()A.55B.15C.5D.5解析由已知得|z1|=5,|z2|=1,所以|z1|z2|=5.答案C4.设复数z1=a+2i(aR),z2=-2+i,且|z1|z2|,则实数a的取值范围是()A.a1B.-1a1D.a0解析因为|z1|=a2+4,|z2|=4+1=5,所以a2+45,即a2+45,所以a21,即-1a0,复数z=(a2+1)+ai在复平面内对应的点为(a2+1,a),所以复数z在复平面内对应的点在第一、四象限或实轴的正半轴上.(2)设z=x+yi(x,yR),则x=a2+1,y=a,消去a可得x=y2+1,所以复数z
3、在复平面内对应的点的轨迹方程为y2=x-1.9.当a取何值时,复数z=(a2-2a-8)+a2-a-2a+1i(aR)对应的点Z:(1)在复平面内实轴的下方;(2)在直线x+y+8=0上.解(1)点Z在复平面内实轴的下方,则a2-a-2a+10,解得a2,且a-1.故当a2,且a-1时,点Z在复平面内实轴的下方.(2)点Z在直线x+y+8=0上,则a2-2a-8+a2-a-2a+1+8=0,a3-3a-2=0,化简得(a+1)(a2-a-2)=0(a-1),解得a=2.故当a=2时,点Z在直线x+y+8=0上.能力提升1.复数z与它的模相等的充要条件是()A.z为纯虚数B.z为实数C.z为正实
4、数D.z为非负实数解析设z=x+yi(x,yR),依题意有x2+y2=x+yi,因此必有y=0,x2+y2=x,即y=0,x2=x,所以y=0,x0,即z为非负实数.答案D2.已知复数z1=2-ai(aR)在复平面内对应的点在直线x-3y+4=0上,则复数z2=a+2i在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析复数z1=2-ai对应的点为(2,-a),在直线x-3y+4=0上,故2+3a+4=0,解得a=-2,则复数z2=-2+2i对应的点为(-2,2),在第二象限.答案B3.复数z=cos 40-icos 50的模等于.解析|z|=cos240+(-cos5
5、0)2=cos240+sin240=1.答案14.设z1=1+i,z2=-1+i,O为原点,复数z1和z2在复平面内对应的点分别为A,B,则AOB的面积为.解析由已知可得A(1,1),B(-1,1),O为原点,AOB中,AB与x轴平行,|AB|=2,SAOB=1221=1.答案15.已知O为坐标原点,OZ1对应的复数为-3+4i,OZ2对应的复数为2a+i(aR).若OZ1与OZ2共线,求a的值.解因为OZ1对应的复数为-3+4i,OZ2对应的复数为2a+i,所以OZ1=(-3,4),OZ2=(2a,1).因为OZ1与OZ2共线,所以存在实数k使OZ2=kOZ1,即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),所以2a=-3k,1=4k,所以k=14,a=-38.即a的值为-38.6.设z=log2(1+m)+ilog12(3-m)(mR).(1)若z在复平面内对应的点在第三象限,求m的取值范围;(2)若z在复平面内对应的点在直线x-y-1=0上,求m的值.解(1)由题意,得log2(1+m)0,log12(3-m)0,解得-1m0,即m的取值范围是-1m0,3-m0,故m=12.
