1、第十一章立体几何初步11.4空间中的垂直关系11.4.1直线与平面垂直课后篇巩固提升基础达标练1.如图所示,PA平面ABC,BCAC,则图中直角三角形的个数为()A.4B.3C.2D.1答案A解析因为PA平面ABC,BC平面ABC,所以PABC,PAAC,PAAB.又ACBC,PAAC=A,所以BC平面PAC,所以BCPC,所以直角三角形有PAB,PAC,ABC,PBC,共4个.故选A.2.在ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA平面ABC,PA=8,则点P到BC的距离是()A.5B.25C.35D.45答案D解析由题得PB=PC=82+52=89,则P到BC的距离d=PB2-12BC2,即
2、d=89-9=45.3.下列命题中,正确的有()如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线和这个平面垂直.过直线l外一点P,有且仅有一个平面与l垂直.如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.垂直于角的两边的直线必垂直于这个角所在的平面.过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.A.2个B.3个C.4个D.5个答案C解析正确,中当平面内的两条直线平行时,直线可能与平面平行、垂直或在平面内.4.如图所示,PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面,C为圆上异于A,B的任一点,则下列说法不正确的是()A.PABCB.BC平面PACC.ACPBD.PCBC
3、答案C解析因为PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面,即PA平面ABC,又BC平面ABC,所以PABC,故A正确;又C为圆上异于A,B的任一点,AB为圆O的直径,所以BCAC,所以BC平面PAC,所以BCPC,故B,D均正确.故选C.5.直线a与平面所成的角为50,直线ba,则直线b与平面所成的角等于()A.40B.50C.90D.150答案B解析根据两条平行直线和同一平面所成的角相等,知b与所成的角也是50.6.(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下列结论正确的是()A.BD平面CB1D1B.AC1BDC.AC1平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60答案ABC解
4、析BDB1D1,B1O1平面CB1D1,故A正确;ACBD,BDCC1,BD平面ACC1,BDAC1,故B正确;与B同理有AC1与B1D1,CB1垂直,则AC1平面CB1D1,故C正确;D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45,故D错误.故选ABC.7.空间四边形ABCD的四条边相等,则对角线AC与BD的位置关系为.答案垂直解析如图,取AC的中点E,连接BE,DE.由AB=BC,得ACBE.同理ACDE,所以AC平面BED.因此,ACBD.8.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PCBD,则平行四边形ABCD一定是.答案菱形解析由于PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.
5、又PCBD,且PC平面PAC,PA平面PAC,PCPA=P,所以BD平面PAC.又AC平面PAC,所以BDAC.又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形.9.如图所示,M,N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中BB1,B1C1的中点.(1)则MN与CD1所成的角为.(2)则MN与AD所成的角为.答案(1)60(2)45解析(1)由图易知MNAD1,ACD1构成正三角形.AD1与CD1成60角,MN与CD1成60角.(2)AD1与AD成45角,而MNAD1,MN与AD成45角.10.如图,在三棱锥A-BCD中,CA=CB,DA=DB.作BECD于点E,作AHBE于点H.求证:A
6、H平面BCD.证明取AB的中点F,连接CF,DF(图略).CA=CB,DA=DB,CFAB,DFAB.CFDF=F,AB平面CDF.CD平面CDF,ABCD.又CDBE,ABBE=B,CD平面ABE.AH平面ABE,CDAH.AHBE,BECD=E,AH平面BCD.能力提升练1.(2020江苏高一月考)已知是一个平面,m,n是两条直线,有下列四个结论,正确的是()A.如果m,mn,则nB.如果m,n,则mnC.若直线m垂直于平面内的无数条直线,则mD.如果m,mn,则n答案BD解析对于A,如果m,mn,则n或n,所以不正确;对于B,若m,n,那么mn,所以正确;对于C,根据线面垂直的定义,直线
7、m垂直于平面内的任意直线,则m,而直线m垂直于平面内的无数条直线,则m与不一定垂直,所以不正确;对于D,根据平行线中的一条垂直一个平面,另一条也垂直于这个平面,可得若m,mn,那么n,所以正确.2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=12,则下列结论错误的是()A.ACBEB.EF平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.AEF的面积与BEF的面积相等答案D解析由AC平面DBB1D1,BE平面DBB1D1知A正确;由EF平面A1B1C1D1,且平面A1B1C1D1平面ABCD知B正确;由BEF面积S=12112=14.VA-BEF
8、=132214=224知C正确;D中两三角形以EF为底边,高不等,则面积不等,故D错误.3.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别为棱A1D1,A1A,A1B1的中点,下列结论正确的是()A.EFB1CB.BC1平面EFGC.A1C平面EFGD.异面直线FG,B1C所成角的大小为4答案ABC解析如图,连接AD1,则EFAD1BC1,又BC1B1C,EFB1C,故A正确;BC1EF,EF平面EFG,BC1平面EFG,BC1平面EFG,故B正确;A1CEF,A1CEG,EFEG=E,A1C平面EFG,故C正确;FGAB1,AB1C为异面直线FG,B1C所成角,连接AC,可
9、得AB1C为等边三角形,则AB1C=3,即异面直线FG,B1C所成角的大小为3,故D错误.故选ABC.4.在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A.30B.45C.60D.90答案C解析如图,取BC的中点E,连接AE,则AE平面BCC1B1.故ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角.设各棱长为a,则AE=32a,DE=12a.所以tanADE=3.所以ADE=60.5.如图,三条相交于点P的线段PA,PB,PC两两垂直,点P在平面ABC外,PH平面ABC于点H,则垂足H是ABC的()A.外心B.内
10、心C.垂心D.重心答案C解析PCPA,PCPB,PAPB=P,PC平面PAB.又AB平面PAB,ABPC.又ABPH,PHPC=P,AB平面PCH.又CH平面PCH,ABCH.同理BCAH,ACBH.H为ABC的垂心.6.(2020上海高三专题练习)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F,G,H分别是棱A1A,B1B,C1C,D1D的中点,则与直线A1O垂直的立方体的截面为.(写出一个即可)答案GBD(或AFC1H或ED1B1)解析如图所示,连接OG,A1C1,易知BDAC,BDAA1,故BD平面ACC1A1,A1O平面ACC1A1,故BDA1O.设正方体边长为2
11、,则A1O=AA12+AO2=4+2=6,OG=OC2+CG2=2+1=3,A1G=A1C12+C1G2=8+1=3,故A1G2=A1O2+OG2,故A1OOG,OGBD=O,故A1O平面GBD.7.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面内,若AC与所成的角为30,则斜边上的中线CM与所成的角为.答案45解析如图,设C在平面内的射影为点O,连接AO,MO,则CAO=30,CMO就是CM与所成的角.设AC=BC=1,则AB=2,CM=22,CO=12.sinCMO=COCM=22,CMO=45.8.ABC的三个顶点A,B,C到平面的距离分别为2 cm,3 cm,4 cm,且它们在的同侧,则ABC的
12、重心到平面的距离为.答案3 cm解析如图,设A,B,C在平面内的射影分别为A,B,C,ABC的重心为G,连接CG并延长交AB于中点E,又设E,G在平面内的射影分别为E,G,则EAB,GCE,EE=12(AA+BB)=52,CC=4,CGGE=21,在直角梯形EECC中,取GC,GC的中点H,H,设GG=x1,HH=x2,则x1=x2+522,x2=x1+42,解得x1=3,即ABC的重心到平面的距离为GG=3.9.如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=13,ABC=90,AB=8,BC=6,M为AC的中点.(1)求证:PM平面ABC;(2)求直线BP与平面ABC所成的角的正切值.(1)
13、证明PA=PC,M为AC的中点,PMAC.又ABC=90,AB=8,BC=6,AM=MC=MB=12AC=5.在PMB中,PB=13,MB=5.PM=PC2-MC2=132-52=12.PB2=MB2+PM2,PMMB.由可知PM平面ABC.(2)解PM平面ABC,MB为BP在平面ABC内的射影,PBM为BP与底面ABC所成的角.在RtPMB中,tanPBM=PMMB=125.素养培优练如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,ABC=120.G为线段PC上的点.(1)证明:BD平面APC;(2)若G为PC的中点,求DG与平面APC所成角的正切值
14、;(3)若G满足PC平面BGD,求PGGC的值.(1)证明设点O为AC,BD的交点.由AB=BC,AD=CD,得BD垂直平分线段AC.所以O为AC的中点,BDAC.又因为PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.又PAAC=A,所以BD平面APC.(2)解连接OG.由(1)可知OD平面APC,则DG在平面APC内的射影为OG,所以OGD是DG与平面PAC所成的角.由题意得OG=12PA=32.在ABC中,因为AB=BC,ABC=120,AO=CO,所以ABO=12ABC=60,所以AO=OC=ABsin60=3.在RtOCD中,OD=CD2-OC2=2.在RtOGD中,tanOGD=ODOG=433.所以DG与平面APC所成角的正切值为433.(3)解因为PC平面BGD,OG平面BGD,所以PCOG.在RtPAC中,PC=(3)2+(23)2=15.所以GC=ACOCPC=2155.从而PG=3155,所以PGGC=32.
