1、 微专题 对三角不等式的理解和推导体验【学生版】知识梳理定理（三角不等式）如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。三角不等式是本教材的新增内容，与平均值不等式、常用不等式和三角不等式统称为基本不等式；三角不等式不仅是一个常用的基本不等式，名称来源于三角形両边之和大干第三边这一几何事实，在后续学习向量、复数等知识乃至高等数学的学习中具有重要作用；而且，理解其推导与变形非常有必要；同时，其在求简单的最大或最小值和证明其他的一些不等式方面有广泛应用；并且，它在以后学习向量、复数，以及高等数学中都会出现，有着十分重要的意义，增加这部分内容是十分必要的。典题例析例1、定理（三角不等式）：对任意的实数、
2、；有，且等号当且仅当时成立；【提示】；【证明】（方法1：分析法）（方法2：利用）变式1：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；【证明】方法1：方法2：变式2：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；【证明】方法1：方法2：将变式3：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；【提示】【证明】变式4：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；【提示】【证明】变式5：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；【提示】【证明】变式6：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；【提示】；【证明】变式7：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；【说明】变式8：对任意的实
3、数、；证明：，并指出等号成立的条件；【提示】【说明】方法归纳在运用三角不等式证明其他的不等式吋，一般都是先构造等式，再由等式放縮得到三角不等式；教材中以拓展与证明“对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件”为例；说明首先， ，同理， ，両式相加井同除以2即得要证明的不等式，用放縮法证明不等式，方法灵活多样，教学中应加强分析，启发引导，井注意控制难度；巩固练习1、函数的最小值及取得最小值时的值分别是（ ）A1，B3，0C3，D2，2、关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是（ ）ABCD3、不等式成立的充要条件是 4、实数a、b满足，则a、b之间的关系是 .5、函数的最小值为_.6、x为实
4、数，且不等式有解，则实数m的取值范围是 7、 取等号的条件是 8、若不等式的解集为，则实数的取值范围是_.9、设a、b为实数，求证：（1）；（2）。10、判断下列不等式是否成立：已知实数a、b，且ab0；现有 四个不等式； 微专题 对三角不等式的理解和推导体验【教师版】知识梳理定理（三角不等式）如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。三角不等式是本教材的新增内容，与平均值不等式、常用不等式和三角不等式统称为基本不等式；三角不等式不仅是一个常用的基本不等式，名称来源于三角形両边之和大干第三边这一几何事实，在后续学习向量、复数等知识乃至高等数学的学习中具有重要作用；而且，理解其推导与变形非常有必
5、要；同时，其在求简单的最大或最小值和证明其他的一些不等式方面有广泛应用；并且，它在以后学习向量、复数，以及高等数学中都会出现，有着十分重要的意义，增加这部分内容是十分必要的。典题例析例1、定理（三角不等式）：对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立；【提示】注意：利用等价变形进行证明与探究“等号”成立条件与变式；【证明】（方法1：分析法）为证明，只需证明，即，也就是，所以，等号当且仅当时成立；（方法2：利用）由两式相加就有，将（）看作一个整体时，上面的式逆用，即可证明；学习笔记变式1：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；【证明】方法1：分或或三种可能；当 时，不等式显然成立；当 时，
6、即，等号成立的条件且；方法2：将三角不等式中，取成“”， 取成“”，代入定理，移项即可；等号当且仅当，即时成立。变式2：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；【证明】方法1：分|或或三种可能。当 时，显然成立；当 时，即，等号当且仅当且时成立。方法2：将三角不等式中，取成“”， 取成“”，代入定理，移项即可；等号当且仅当，即时成立。变式3：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；【提示】；【证明】将三角不等式中，取成“”， 取成“”，有，则不等式成立；等号当且仅当，即时成立。变式4：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；【提示】；【证明】将三角不等式中，取成“”， 取成“
7、”，有，则不等式成立；等号当且仅当，即时成立。变式5：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；【提示】，；【证明】由且，两式相加，化简，则不等式成立；等号当且仅当且，即时成立。变式6：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；【提示】注意：“代换法”，用好代换；【证明】由以上三角不等式及其变式1，即可得原不等式成立；右边：当且仅当时，等号成立；左边：若，则平方整理得，等号当且仅当且时，等号成立；变式7：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；【说明】此时右边：当且仅当时，等号成立；左边：等号当且仅当时，等号成立；变式8：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；【提示】利用
8、代换，则【说明】此时，右边等号当且仅当时，等号成立左边等号当且仅当时，等号成立；方法归纳在运用三角不等式证明其他的不等式吋，一般都是先构造等式，再由等式放縮得到三角不等式；教材中以拓展与证明“对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件”为例；说明首先， ，同理， ，両式相加井同除以2即得要证明的不等式，用放縮法证明不等式，方法灵活多样，教学中应加强分析，启发引导，井注意控制难度；巩固练习1、函数的最小值及取得最小值时的值分别是（ ）A1，B3，0C3，D2，【提示】利用三角不等式，求得函数的最小值，并求得对应的值；【答案】C（2020全国（理）【解析】依题意，当且仅当，即时等号成立，故选C；
9、【说明】本题主要考查三角不等式，以及三角不等式等号成立的条件；2、关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是（ ）ABCD【提示】利用三角不等式，简单计算即可【答案】B；【解析】由，又不等式的解集不是空集，所以故选：B；3、不等式成立的充要条件是 【提示】注意：等价变形；【答案】a2+b20；【解析】因为，要保证分母不等于0，所以a、b不能同时为0，即a2+b20 ，所以，两边平方得2ab2|a|b|，不等式恒成立；2、实数a、b满足，则a、b之间的关系是 .【提示】注意：等价变形；【答案】ab0；【解析】因为，所以(a+b)2(a-b)2，即a2+2ab+b2a2-2ab+b2,所以4ab0
10、,故ab2即可【说明】本题三角不等式与不等式性质、数轴的简单交汇；7、 取等号的条件是 【提示】利用三角不等式（当且仅当时取等号）即可求得答案；【答案】（2020全国（理）改编）【解析】因为，当且仅当，即时取等号【说明】本题考查三角不等式，考查绝对值不等式取等号的条件，属于中档题.8、若不等式的解集为，则实数的取值范围是_.【提示】由题意得知对任意的恒成立，然后利用绝对值三角不等式求出的最大值为，得出，解出该不等式即可；【答案】【解析】由题意可知，不等式对任意的恒成立，由绝对值三角不等式可得，则，即，解得，因此，实数的取值范围是；故答案为；【说明】本题考查利用绝对值不等式的解集为空集求参数的取
11、值范围，转化为绝对值不等式在实数集上恒成立是解题的关键，同时借助绝对值三角不等式求解，考查化归与转化思想，属于中等题.9、设a、b为实数，求证：（1）；（2）。【提示】注意：依据三角不等式直接证明；【证明】（1）因为2a=(a+b)+(a-b),由三角不等式可得，即（2）因为2b=(a+b)-(a-b),由三角不等式可得，。，即【说明】本题考查了对三角不等式的初步了解与简单的“代换”；10、判断下列不等式是否成立：已知实数a、b，且ab0；现有 四个不等式；【提示】注意：正确使用不等式性质【答案】；.【解析】对于，因为ab0,即a、b同号且都不为0，则，故成立；对于，因为ab0,即a、b同号且都不为0，则，故不成立；对于，因为绝对值不等式,故不成立；对于，因为绝对值不等式,故成立；【说明】本题考查了对三角不等式的初步了解与简单的变形；
