1、考点6.3 平面向量的数量积考点梳理1.向量的夹角已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是0，.2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积3.向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b).(3)(ab)cacbc.4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.结论符号
2、表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|概念方法微思考两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？提示不一定当夹角为0时，数量积也大于0.真题演练1（2020山东）已知是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】画出图形如图，它的几何意义是的长度与在向量的投影的乘积，显然，在处时，取得最大值，可得，最大值为6，在处取得最小值，最小值为，是边长为2的正六边形内的一点，所以的取值范围是故选A2（2020新课标）已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与垂直
3、的是（）ABCD【答案】D【解析】单位向量，对于，所以与不垂直；对于，所以与不垂直；对于，所以与不垂直；对于，所以与垂直故选D3（2020新课标）已知向量，满足，则，（）ABCD【答案】D【解析】向量，满足，可得，故选D4（2019新课标）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（）ABCD【答案】B【解析】，故选B5（2019新课标）已知，则（）ABC2D3【答案】C【解析】，即，则故选C6（2019新课标）已知向量，则（）AB2CD50【答案】A【解析】，故选A7（2018天津）如图，在平面四边形ABCD中，若点为边CD上的动点，则的最小值为（）ABCD3【答案】A【解析】如图所示，以为原点，
4、以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，过点做轴，过点做轴，设，当时，取得最小值为故选A8（2018天津）在如图的平面图形中，已知，则的值为（）ABCD0【答案】C【解析】解法，由题意，且，又，；，解题：不妨设四边形是平行四边形，由，知，故选C9（2018新课标）已知向量，满足，则（）A4B3C2D0【答案】B【解析】向量，满足，则，故选B10（2018浙江）已知，是平面向量，是单位向量若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（）ABC2D【答案】A【解析】由，得，如图，不妨设，则的终点在以为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点的两条射线上不妨以为例，则的最小值是
5、到直线的距离减1即故选A11（2018上海）已知、为平面上的两个定点，且，该平面上的动线段PQ的端点、，满足，则动线段PQ所形成图形的面积为（）A36B60C72D108【答案】B【解析】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示；则，设，；由，得；又，；动点在直线上，且，由相似三角形可知扫过的面积为48，即，则扫过的三角形的面积为，设点，动点在直线上，且，扫过的三角形的面积为，因此和为60，故选B12（2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AC与BD交于点，记，则（）ABCD【答案】C【解析】，由图象知，即，故选C13（2017新课标）已知是边长为2的等边三角形，为平面ABC内一点，则的最小
6、值是（）ABCD【答案】B【解析】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，设，则，则当，时，取得最小值，故选B14（2017新课标）设非零向量，满足，则（）ABCD【答案】A【解析】非零向量，满足，解得，故选A15（2017上海）如图所示，正八边形的边长为2，若为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（）ABCD【答案】B【解析】由题意，正八边形的每一个内角为，且，再由正弦函数的单调性及值域可得，当与重合时，最小为结合选项可得的取值范围为故选B16（2020天津）如图，在四边形中，且，则实数的值为_，若，是线段上的动点，且，则的最小值为_【答案】，【解析】以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐
7、标系，设，解得，设，则，其中，当时取得最小值，最小值为，故答案为：，17（2020上海）已知，是平面内两两互不相等的向量，满足，且，（其中，2，2，则的最大值是_【答案】6【解析】如图，设，由，且，分别以，为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个故满足条件的的最大值为6故答案为：618（2020北京）已知正方形的边长为2，点满足，则_；_【答案】，【解析】由，可得为的中点，则，故答案为：，19（2020新课标）已知单位向量，的夹角为，与垂直，则_【答案】【解析】向量，为单位向量，且，的夹角为，又与垂直，即，则故答案为：20（2020新课标）设，为单位向量，且，则_【答案】【解析
8、】，为单位向量，且，可得，所以，则故答案为：21（2020浙江）已知平面单位向量，满足设，向量，的夹角为，则的最小值是_【答案】【解析】设、的夹角为，由，为单位向量，满足，所以，解得；又，且，的夹角为，所以，；则，所以时，取得最小值为故答案为：22（2020上海）三角形中，是中点，则_【答案】【解析】在中，由余弦定理得，且是的中点，故答案为：23（2020上海）已知、五个点，满足，2，2，则的最小值为_【答案】【解析】设，则，设，如图，求的最小值，则：，当且仅当，即时取等号，的最小值为故答案为：24（2019天津）在四边形中，点在线段的延长线上，且，则_【答案】【解析】，在等腰三角形中，又，又
9、，故答案为：25（2019新课标）已知，为单位向量，且，若，则，_【答案】【解析】，故答案为：26（2019江苏）如图，在中，是的中点，在边上，与交于点若，则的值是_【答案】【解析】设，故答案为：27（2018上海）在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为_【答案】【解析】根据题意，设，；，或；且；当时，；的最小值为；的最小值为，同理求出时，的最小值为故答案为：28（2018江苏）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，以为直径的圆与直线交于另一点若，则点的横坐标为_【答案】3【解析】设，则圆的方程为联立，解得解得：或又，即的横坐标为3故答案为：329（2017
10、山东）已知， 是互相垂直的单位向量，若 与的夹角为，则实数的值是_【答案】【解析】【方法一】由题意，设，则，；又夹角为，即，解得【方法二】， 是互相垂直的单位向量，且；又 与的夹角为，即，化简得，即，解得故答案为：30（2017江苏）在平面直角坐标系中，点在圆上若，则点的横坐标的取值范围是_【答案】，【解析】根据题意，设，则有，化为：，即，表示直线以及直线上方的区域，联立，解可得或，结合图形分析可得：点的横坐标的取值范围是，故答案为：，31（2017天津）在中，若，且，则的值为_【答案】【解析】如图所示，中，又，解得故答案为：32（2017新课标）已知向量，的夹角为，则_【答案】【解析】【解法
11、一】向量，的夹角为，且，【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形；在中，由余弦定理得，即故答案为：强化训练1（2020二模拟）已知向量，满足，且，则，的夹角的最小值为（）ABCD【答案】C【解析】设，的夹角为，即，当且仅当时，等号成立，即的最小值为故选C2（2020沙坪坝区校级模拟）已知向量满足，则（）A0B2C4D6【答案】D【解析】，故选D3（2020南岗区校级模拟）中，是BC边的中点，则（）A0BCD【答案】C【解析】如图，是的中点，故选C4（2020武昌区校级模拟）若平面向量与的夹角为，则向量的模为（）A2B4C6D12【答案】B【解析】，即，解得或（舍负）故选B5（2020宝鸡
12、三模）已知向量与向量平行，且，则（）A12BC5D12或【答案】D【解析】由题意知，向量与向量的夹角或，当时，；当时，故选D6（2020西湖区校级模拟）设，为平面向量，若，则的最大值是（）ABCD【答案】B【解析】，即，设，则，整理得，向量的终点的轨迹是以为圆心，为半径的圆设，当直线与圆相切时，取得最大值或最小值，此时有，解得或，的最大值为故选B7（2020西安三模）已知向量，向量，则的值为（）A17B5CD25【答案】C【解析】根据题意，向量，向量，则，故；故选C8（2020东湖区校级模拟）中，是AC的中点，若，则（）A0B2C4D8【答案】D【解析】根据题意，作出如下所示的图形：，是的中点
13、，故选D9（2020红岗区校级模拟）若，且与的夹角为，则（）ABC7D3【答案】B【解析】由题可知，故选B10（2020德阳模拟）设向量，若，设、的夹角为，则（）ABCD【答案】D【解析】，可得，可得，可得，设、的夹角为，则故选D11（2020襄州区校级四模）已知向量，且，则（）ABC4D5【答案】A【解析】根据题意，向量，若，则有，解可得，则，则，则；故选A12（2020武侯区校级模拟）设向量，且，则（）A1B2CD【答案】D【解析】由得，得故选D13（2020兴庆区校级模拟）平面向量与的夹角为，则（）ABC3D7【答案】B【解析】，故选B14（2020贵港四模）在直角中，设BF与CE交于，
14、则，（）ABCD【答案】B【解析】如图，以坐标原点、所在直线为轴，所在直线为轴，建立坐标系，则由题意，则，所以，直线的方程为，直线的方程为，由，解得，即，故选B15（2020运城模拟）已知向量满足，且与的夹角为，则（）ABC1D13【答案】C【解析】向量满足，且与的夹角为，所以，所以故选C16（20206月份模拟）已知向量，若向量在向量方向上的投影为，则向量与向量的夹角是（）ABCD【答案】C【解析】由向量数量积的定理可知，故，所以，而，故夹角为故选C17（2020唐山二模）已知向量，满足，则与的夹角的最大值为（）ABCD【答案】A【解析】，且，时，的夹角最大为故选A18（2020河南模拟）若
15、非零向量满足，则向量与夹角的余弦值为（）ABCD【答案】A【解析】由，所以，且；即，所以；且，代入得，解得；所以向量与夹角的余弦值为故选A19（2020淮北二模）已知，记，若，则与的夹角是（）ABCD【答案】C【解析】，且，解得，与的夹角是故选C20（2020黑龙江三模）已知向量，满足，且，则向量与的夹角的余弦值为（）ABCD【答案】A【解析】，故选A21（2020中山区校级一模）已知平面向量，则与的夹角等于（）ABCD【答案】C【解析】，且，且，与的夹角等于故选C22（2020潍坊模拟）已知向量，若，则与的夹角为（）ABCD【答案】B【解析】由，可得，故，则，设与的夹角为，则，因为，故故选B
16、23（2020道里区校级四模）已知向量，若，则（）ABCD6【答案】A【解析】向量，若，则，故选A24（2020河南模拟）已知向量，若，则（）ABCD【答案】B【解析】，且，解得故选B25（2020临汾模拟）已知向量，向量在向量方向上的投影为若，则实数的值为（）ABCD【答案】C【解析】向量，向量在向量方向上的投影为，若，则，故选C26（2020沙坪坝区校级模拟）向量，若，则（）ABC0D6【答案】A【解析】向量，若，则，则，故选A27（2020太原二模）已知是两个非零向量，其夹角为，若，且，则（）ABCD【答案】B【解析】是两个非零向量，其夹角为，若，则，则，故选B28（2020厦门模拟）已
17、知向量，且，则（）ABCD5【答案】C【解析】向量，且，则，故选C29（2020黄州区校级二模）已知向量，且在方向上的投影为，则（）A0BCD【答案】C【解析】在方向上的投影为，又，故选C30（2020三模拟）的顶角，的对边长依次等于2，3，4，则（）ABCD【答案】C【解析】根据余弦定理，故选C31（2020桃城区校级模拟）已知在中，点满足，则（）ABCD【答案】A【解析】，得，为等边三角形以的中点为坐标原点，以，分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，点的坐标为，故选A32（2020广元模拟）已知，则在方向上的投影为（）ABCD【答案】D【解析】由数量积定义可知，在方向上的投影为故选D33（2020重庆模拟）已知向量，则在上的投影为（）ABCD【答案】A【解析】由数量积定义可知，在方向上的投影为故选A
