1、课时分层作业(六)函数的极值与导数(建议用时：40分钟)一、选择题1函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有()A1个B2个C3个D4个B依题意，记函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当axx1时，f(x)0；当x1xx2时，f(x)0；当x2xx4时，f(x)0；当x4xb时，f(x)0.因此，函数f(x)分别在xx1，xx4处取得极大值，选B.2设a0，若xa为函数f(x)a(xa)2(xb)的极大值点，则()Aab Bab Caba2 Daba2D法一：函
2、数f(x)a(xa)2(xb)(xa)2(axab)，求导得f(x)2(xa)(axab)a(xa)2a(xa)(3xa2b)令f(x)0，结合a0可求得xa或x.(1)当a0时，若a，即ba，此时易知函数f(x)在(，a)上单调递增，在上单调递减，所以xa为函数f(x)的极大值点，满足题意；若a，即ba，此时函数f(x)a(xa)3在R上单调递增，无极值点，不满足题意；若a，即ba，此时易知函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以xa为函数f(x)的极小值点，不满足题意(2)当aa，即ba，此时易知函数f(x)在(，a)上单调递减，在上单调递增，所以xa为函数f(x)的极小值点，不满足题
3、意；若a，即ba，此时函数f(x)a(xa)3在R上单调递减，无极值点，不满足题意；若a，即ba，此时易知函数f(x)在上单调递增，在(a，)上单调递减，所以xa为函数f(x)的极大值点，满足题意综上可知：当a0且ba时满足题意，当a0且ba2成立故选D.法二：当a1，b2时，函数f(x)(x1)2(x2)，作出该函数的图象(图略)，观察可知x1为函数的极大值点，满足题意所以根据a1，b2可判断选项B，C错误当a1，b2时，函数f(x)(x1)2(x2)，作出该函数的图象(图略)，观察可知x1为函数的极大值点，满足题意所以根据a1，b2可知选项A错误故选D.3已知a是函数f(x)x312x的极
4、小值点，则a()A4 B2 C4 D2Df(x)x312x，f(x)3x212，令f(x)0，则x12，x22.当x(，2)，(2，)时，f(x)0，则f(x)单调递增；当x(2,2)时，f(x)0，则f(x)单调递减，f(x)的极小值点为a2.4当x1时，三次函数有极大值4，当x3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是()Ayx36x29x Byx36x29xCyx36x29x Dyx36x29xB三次函数过原点，故可设为yx3bx2cx，y3x22bxc.又x1,3是y0的两个根，即yx36x29x，又y3x212x93(x1)(x3)当x1时，f(x)极大值4 ，当x3时，f(x)极小值
5、0，满足条件，故选B.5函数f(x)x33bx3b在(0,1)内有且只有一个极小值，则()A0b1 Bb0 DbAf(x)3x23b，要使f(x)在(0,1)内有极小值，则即解得0b1.二、填空题6已知曲线f(x)x3ax2bx1在点(1，f(1)处的切线斜率为3，且x是yf(x)的极值点，则ab_.2f(x)3x22axb，即解得a2，b4，ab242.7设aR，若函数yexax(xR)有大于零的极值点，则a的取值范围为_(，1)yexax，yexa，令yexa0，则exa，即xln(a)，又x0，a1，即a1.8若直线ya与函数f(x)x33x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是_(
6、2,2)令f(x)3x230，得x1，则极大值为f(1)2，极小值为f(1)2.如图，观察得2a2时恰有三个不同的公共点三、解答题9求函数f(x)x2ex的极值解函数的定义域为R，f(x)2xexx22xexx2exx(2x)ex，令f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)04e2由上表可以看出，当x0时，函数有极小值，且为f(0)0；当x2时，函数有极大值，且为f(2)4e2.10设函数f(x)ln(ax)，已知x0是函数yxf(x)的极值点(1)求a；(2)设函数g(x)，证明：g(x)1.解(1)由题意
7、得yxf(x)xln(ax)，则yln(ax)xln(ax).因为x0是函数yxf(x)的极值点，所以y|x0ln a0，所以a1.(2)由(1)可知，f(x)ln(1x)，其定义域为x|x1，当0x1时，ln(1x)0，此时xf(x)0.当x0时，ln(1x)0，此时xf(x)0，易知g(x)的定义域为x|x1且x0，故要证g(x)1，只需证xf(x)xf(x)，即证xln(1x)xln(1x)0，令1xt，则t0且t1，则只需证1tln t(1t)ln t0，即证1ttln t0.令h(t)1ttln t，则h(t)1ln t1ln t，所以h(t)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调
8、递增，所以h(t)h(1)0，即g(x)1成立1已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，则的值为()A B2 C2或 D不存在Af(x)3x22axb且f(x)在x1处取得极大值10，f(1)32ab0，f(1)1aba27a10，a28a120，a2，b1或a6，b9.当a2，b1时，f(x)3x24x1(3x1)(x1)当x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0，f(x)在x1处取得极小值，与题意不符当a6，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)；当x1时，f(x)0，当1x3时，f(x)0，f(x)在x1处取得极大值，符合题意；.2设函数f(x)在R上可导
9、，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D由图可知，当x2时，f(x)0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.由此可以得到函数在x2处取得极大值，在x2处取得极小值3函数yxex在其极值点处的切线方程为_y由题知yexxex，令y0，解得x1，代入函数解析式可得极值点的坐标为，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y.4若函
10、数f(x)x3x2ax4在区间(1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为_1,5)f(x)3x22xa，函数f(x)在区间(1,1)上恰有一个极值点，即f(x)0在(1,1)内恰有一个根又函数f(x)3x22xa的对称轴为x.应满足1a5.5设a为实数，函数f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点？解(1)f(x)3x22x1.令f(x)0，则x或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值是f a，极小值是f(1)a1.(2)函数f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)0，x取足够小的负数时，有f(x)0，所以曲线yf(x)与x轴至少有一个交点由(1)知f(x)极大值f a，f(x)极小值f(1)a1.曲线yf(x)与x轴仅有一个交点，f(x)极大值0或f(x)极小值0，即a0或a10，a或a1，当a(1，)时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点
