1、第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1向量的数量积8.1.1向量数量积的概念课后篇巩固提升基础达标练1.已知|b|=3,a在b方向上的投影的数量是32,则ab为()A.3B.92C.2D.12解析设a与b的夹角为.|a|cos=32,ab=|a|b|cos=332=92.答案B2.设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则等于()A.150B.120C.60D.30解析如图所示.因为|a|=|b|=|c|,所以OAB是等边三角形.所以=120.答案B3.如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中,最大的是()A.P1P2P1P3B.P1P2P1P4C.P
2、1P2P1P5D.P1P2P1P6解析设正六边形的边长为a,则P1P2P1P3=32a2,P1P2P1P4=a2,P1P2P1P5=0,P1P2P1P6=-12a2.答案A4.在ABC中,已知|AB|=|AC|=4,且ABAC=8,则ABC的形状为.解析ABAC=|AB|AC|cosA=16cosA=8.cosA=12,即A=3,ABC为等边三角形.答案等边三角形5.若四边形ABCD满足AB+CD=0,且ABBC=0,试判断四边形ABCD的形状.解因为AB+CD=0,所以AB=DC,即ABDC,且AB=DC,所以四边形ABCD为平行四边形.又因为ABBC=0,所以ABBC,即ABBC.所以四边
3、形ABCD为矩形.6.在ABC中,M是BC的中点,AM=3,点P在AM上,且满足AP=2PM,求PA(PB+PC)的值.解如图.AP=2PM,|AP|=2|PM|.又AM=3,|AP|=2,|PM|=1.又PB+PC=2PM,PA(PB+PC)=PA(2PM)=PAAP=-|AP|2=-4.能力提升练1.有4个式子:0a=0;0a=0;0-AB=BA;|ab|=|a|b|.其中正确式子的个数为()A.4B.3C.2D.1解析因为向量乘以实数仍然为向量,所以0a=0,式子正确,错误;由AB+BA=AA=0,所以0-AB=BA,式子正确;由|ab|=|a|b|cos|,得|ab|=|a|b|不一定
4、成立,式子错误.故选C.答案C2.(多选)对于非零向量a,b,c,下列命题正确的是()A.若0,2,则ab0B.若ab,则ab=(ab)2C.若ab,则a在b上的投影的数量为|a|D.若1a+2b=0(1,2R,且120),则ab解析对于选项A,当=2时,ab=0,故A错误;对于选项B,若ab,所以ab=0,则ab=(ab)2,故B正确;对于选项C,若ab,则a在b上的投影的数量为|a|,故C错误;对于选项D,若1a+2b=0(1,2R,且120),推出a=-21b,由平行向量基本定理可知ab,故D正确.故选BD.答案BD3.(2020河北邯郸高一检测)在RtABC中,C=90,AC=4,则A
5、BAC=()A.-16B.-8C.8D.16解析设CAB=,则在RtABC中,AB=ACcos=4cos.ABAC=|AB|AC|cos=4cos4cos=16.答案D4.已知ABC的外接圆半径为1,圆心为O,满足AO=12(AB+AC),且|AB|=1,则BA在BC方向上的投影的数量为()A.12B.-12C.32D.-32解析由AO=AB+AC2可知O为BC中点,所以ABC为直角三角形,BAC=90,由|AB|=1,|BC|=2,可得ABC=60,BA与BC的夹角为60.因此BA在BC上的投影的数量为|BA|cos60=112=12,故选A.答案A5.已知|a|=4,e为单位向量,当a,e
6、的夹角为23时,a在e上的投影的数量为()A.2B.-2C.23D.-23解析a在e上的投影的数量为|a|cos=4cos23=-2,故选B.答案B6.在梯形ABCD中,ABCD,AB=4,BC=CD=DA=2,若E为BC的中点,则ACAE=()A.3B.3C.23D.12解析由题意可知ABC为直角三角形,ACB=90,AC=23,根据向量数量积的几何意义可得ACAE=|AC|2=12,故选D.答案D7.如图,AB为圆O的一条弦,且|AB|=4,则OAAB=()A.4B.-4C.8D.-8解析设AB的中点为M,连接OM,则OMAB,OAAB=2AMOA=2|AM|OA|cos(-OAB)=-2
7、2|AO|cosOAB=-4|AM|=-8.故选D.答案D8.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=4,且ab=42,则a与b的夹角为.若向量c,d满足c为单位向量,cd=4,=3,则|d|=.解析设向量a与b的夹角为,则cos=ab|a|b|=4224=22,又因为0,所以=4.因为c为单位向量,所以|c|=1,由向量数量积公式得cd=|c|d|cos,得4=1|d|cos3,所以|d|=8.答案48素养培优练如图,在扇形AOB中,AB的中点为M,动点C,D分别在OA,OB上,且OC=BD,OA=1,AOB=120.(1)若D是线段OB靠近点O的四分之一分点,用OA,OB表示向量MC;(2)求MCMD的取值范围.解(1)由已知可得OC=34OA,MC=OC-OM,易得四边形OAMB是菱形,则OM=OA+OB,所以MC=OC-OM=34OA-(OA+OB)=-14OA-OB.(2)易知DMC=60,且|MC|=|MD|,那么只需求MC的最大值与最小值即可.当MCOA时,MC最小,此时MC=32,则MCMD=3232cos60=38.当MC与MO重合时,MC最大,此时MC=1,则MCMD=cos60=12.所以MCMD的取值范围为38,12.
