1、5.2平面与平面垂直课后篇巩固提升基础达标练1.过平面外两点且垂直于平面的平面()A.有且只有一个B.有一个或两个C.有且仅有两个D.有一个或无数个答案D2.下列命题中正确的是()A.平面和分别过两条互相垂直的直线,则B.若平面内的一条直线垂直于平面内的两条平行直线,则C.若平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线,则D.若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线,则解析当平面和分别过两条互相垂直且异面的直线时,平面和有可能平行,故A错;由平面与平面垂直的判定定理知,B,D错,C正确.答案C3.如图,在四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,将ABD沿BD折起,使
2、平面ABD平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列结论正确的是()A.平面ABD平面ABCB.平面ADC平面BDCC.平面ABC平面BDCD.平面ADC平面ABC解析由已知得BAAD,CDBD,又平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,所以CD平面ABD,从而CDAB,故AB平面ADC.又AB平面ABC,所以平面ABC平面ADC.答案D4.如图,A,B,C,D为空间四点,在ABC中,AB=2,AC=BC=2,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB平面ABC时,则CD=.解析如图,取AB的中点E,连接DE,CE,因为ADB是等边三角形,所以DEAB.当平面A
3、DB平面ABC时,因为平面ADB平面ABC=AB,所以DE平面ABC.又CE平面ABC,可知DECE.由已知可得DE=3,EC=1,在RtDEC中,CD=DE2+CE2=2.答案25.如图,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,平面PAB平面PBC.求证:BCAB.证明如图,在平面PAB内,作ADPB于D.因为平面PAB平面PBC,且平面PAB平面PBC=PB.所以AD平面PBC.又BC平面PBC,所以ADBC.又因为PA平面ABC,BC平面ABC,所以PABC,又因为PAAD=A,所以BC平面PAB.又AB平面PAB,所以BCAB.能力提升练1.(多选)在正四面体P-ABC中,D,E,F分别
4、是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中正确的是()A.BC平面PDFB.DF平面PAEC.平面PDF平面ABCD.平面PAE平面ABC解析如图所示,因为BCDF,DF平面PDF,BC平面PDF,所以BC平面PDF,所以A正确.由BCPE,BCAE,AEPE=E,所以BC平面PAE,所以DF平面PAE,所以B正确.因为BC平面ABC,BC平面PAE,所以平面ABC平面PAE,所以D正确.答案ABD2.如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.若CD=2,平面ABCD平面DCEF,则线段AN的长为,线段MN的长为.解析由题意可知在ADN中,ADN=9
5、0,因此AN=5;再取CD的中点G,连接MG,NG,因为ABCD,DCEF为正方形,且边长为2,所以MGCD,MG=2,NG=2.因为平面ABCD平面DCEF,且平面ABCD平面DCEF=CD,所以MG平面DCEF,可得MGNG,所以MN=MG2+NG2=6.答案563.(2019北京,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点.(1)求证:BD平面PAC;(2)若ABC=60,求证:平面PAB平面PAE;(3)棱PB上是否存在点F,使得CF平面PAE?说明理由.(1)证明因为PA平面ABCD,所以PABD.又因为底面ABCD为菱形,所以BDAC
6、.所以BD平面PAC.(2)证明因为PA平面ABCD,AE平面ABCD,所以PAAE.因为底面ABCD为菱形,ABC=60,且E为CD的中点,所以AECD.所以ABAE.所以AE平面PAB.所以平面PAB平面PAE.(3)解棱PB上存在点F,使得CF平面PAE.取F为PB的中点,取G为PA的中点,连接CF,FG,EG.则FGAB,且FG=12AB.因为底面ABCD为菱形,且E为CD的中点,所以CEAB,且CE=12AB.所以FGCE,且FG=CE.所以四边形CEGF为平行四边形.所以CFEG.因为CF平面PAE,EG平面PAE,所以CF平面PAE.素养培优练(2019全国高考)图1是由矩形AD
7、EB,RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC平面BCGE;(2)求图2中的四边形ACGD的面积.(1)证明由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得ABBE,ABBC,故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.(2)解取CG的中点M,连接EM,DM.因为ABDE,AB平面BCGE,所以DE平面BCGE,故DECG.由已知,四边形BCGE是菱形,且EBC=60得EMCG,故CG平面DEM.因此DMCG.在RtDEM中,DE=1,EM=3,故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.
