1、第七章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2020山东枣庄第三中学高二月考)已知随机变量XB8,12,则E(3X-1)=()A.11B.12C.18D.36解析随机变量XB8,12,E(X)=812=4,E(3X-1)=3E(X)-1=34-1=11.故选A.答案A2.(2020黑龙江鹤岗一中高二期末)已知离散型随机变量的概率分布如下表,则其均值E()等于()135P0.5m0.2A.1B.0.6C.2+3mD.2.4解析依题意,0.5+m+0.2=1,解得m=0.3,故E()=10.5
2、+30.3+50.2=2.4.故选D.答案D3.现在分别有A,B两个容器,在容器A里有7个红球和3个白球,在容器B里有1个红球和9个白球.现从这两个容器里任意抽出一个球,则在抽到的是红球的情况下,是来自容器A里面的球的概率是()A.0.5B.0.7C.0.875D.0.35解析设A=“抽到的是红球”,B=“抽到的是来自容器A里面的球”,则AB=“抽到的是来自容器A里面的红球”.由题意可知,P(AB)=720,P(A)=820,故P(B|A)=P(AB)P(A)=0.875,故选C.答案C4.(2019广东高考模拟)从某班6名学生(其中男生4人、女生2人)中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设
3、所选3人中女生人数为,则均值E()=()A.45B.1C.75D.2解析依题意,=0,1,2,则P(=0)=C43C63=15,P(=1)=C42C21C63=35,P(=2)=C41C22C63=15,故E()=015+135+215=1.故选B.答案B5.(2020湖北高二期末)甲、乙两人进行羽毛球比赛,假设每局比赛甲胜的概率是23,各局比赛是相互独立的,采用5局3胜制,则乙以31战胜甲的概率为()A.827B.227C.881D.3281解析由题意知,前3局乙胜2局,第4局乙胜,故所求概率P=C32231-233=227.故选B.答案B6.(2020宁夏石嘴山第三中学高二期中)设随机变量
4、X的概率分布为P(X=i)=13,i=1,2,3,则D(X)等于()A.13B.23C.1D.2解析P(X=i)=13,i=1,2,3,E(X)=113+213+313=2,D(X)=(1-2)213+(2-2)213+(3-2)213=23.故选B.答案B7.(2019黑龙江高三期中)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是12.质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为()A.125B.C52125C.C51125D.C52C53125解析依题意,质点在移动过程中向右移动2次,向上移动3次,因此质点P移动5次后位于点(
5、2,3)的概率P=C521221-123=C52125.答案B8.(2020四川高三月考)小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏,规则是:3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势,规定相同手势人数多者每人得1分,其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏,每次游戏互不影响,记小明4次游戏得分之和为X,则X的均值为()A.1B.2C.3D.4解析进行“手心手背”游戏,小明与另外2名同学选择手势的所有可能情况为(心,心,心),(心,心,背),(心,背,心),(心,背,背),(背,心,心),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背),则小明得1分的概率为34,得0分的概率为14.进行4次游戏,小
6、明得分之和X的可能结果为0,1,2,3,4,则P(X=0)=C40144=1256,P(X=1)=C4134143=364,P(X=2)=C42342142=27128,P(X=3)=C4334314=2764,P(X=4)=C44344=81256,故E(X)=01256+1364+227128+32764+481256=3.故选C.答案C二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.已知随机变量X服从正态分布N(2,2),且P(X4)=0.2B.P(X0)=0.6C.P(0X2)=0.3D.
7、P(0X4)=0.4解析P(X4)=0.2.XN(2,2),P(X4)=0.2.P(0X4)=P(X4)-P(X0)=1-P(X0)=0.8,P(0X2)=12P(0X1)=p,则P(-11)=p,所以P(01)=12-p,所以P(-10(i=1,2,n),i=1npi=1,定义X的信息熵H(X)=-i=1npilog2pi.()A.若n=1,则H(X)=0B.若n=2,则H(X)随着p1的增大而增大C.若pi=1n(i=1,2,n),则H(X)随着n的增大而增大D.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,m),则H(X)H(Y)解析
8、对于A,若n=1,则p1=1,所以H(X)=-(1log21)=0,所以A正确.对于B,若n=2,则p2=1-p1,所以H(X)=-p1log2p1+(1-p1)log2(1-p1),当p1=14时,H(X)=-14log214+34log234,当p1=34时,H(X)=-34log234+14log214,两者相等,所以B错误.对于C,若pi=1n(i=1,2,n),则H(X)=-1nlog21nn=-log21n=log2n,则H(X)随着n的增大而增大,所以C正确.对于D,若n=2m,随机变量Y的所有可能的取值为1,2,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,m).则H(
9、X)=-i=12mpilog2pi=i=12mpilog21pi=p1log21p1+p2log21p2+p2m-1log21p2m-1+p2mlog21p2m.H(Y)=(p1+p2m)log21p1+p2m+(p2+p2m-1)log21p2+p2m-1+(pm+pm+1)log21pm+pm+1=p1log21p1+p2m+p2log21p2+p2m-1+p2m-1log21p2+p2m-1+p2mlog21p1+p2m.因为pi0(i=1,2,2m),所以1pi1pi+p2m+1-i,所以log21pilog21pi+p2m+1-i,所以pilog21pipilog21pi+p2m+1
10、-i,所以H(X)H(Y),所以D错误.故选AC.答案AC三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2019山东高二期末)按照国家标准规定,500 g袋装奶粉每袋质量必须服从正态分布XN(500,2),经检测某种品牌的奶粉P(490X510)=0.95,一超市一个月内共卖出这种品牌的奶粉400袋,则卖出的奶粉质量在510 g以上袋数大约为.解析因为XN(500,2),且P(490X510)=0.95,所以P(X510)=1-0.952=0.025,所以卖出的奶粉质量在510g以上袋数大约为4000.025=10(袋).答案1014.(2020山东青岛高二月考)抛掷两个骰子,至少有
11、一个4点或5点出现时,就说这次试验成功,则在8次试验中,成功次数的均值是.解析在一次试验中,成功的概率为1-2323=59.依题意,B8,59,故E()=859=409.答案40915.若随机变量XB(4,p),且E(X)=2,则D(2X-3)=.解析由随机变量XB(4,p),且E(X)=2,可得4p=2,解得p=12,则D(X)=41212=1,故D(2X-3)=4D(X)=4.答案416.(2020浙江高考)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设拿出黄球的个数为,则P(=0)=;E()=.解析依题意,的取值可能为0,1,2,则P(=0)=14+14
12、13=13,P(=1)=2413+241312+142312=13,P(=2)=1-13-13=13,故E()=013+113+213=1.答案131四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2020河南高二期中)某校从学生文艺部6名成员(4男2女)中,挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.(1)求男生甲被选中的概率;(2)在已知男生甲被选中的条件下,女生乙被选中的概率;(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下,求女生乙被选中的概率.解(1)记4名男生为A,B,C,D,2名女生为a,b,从6名成员中挑选2人,所有可能的结果为(A,B),(
13、A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),(a,b),共15种,不妨设男生甲为A,女生乙为b,设事件M=“男生甲被选中”,N=“女生乙被选中”,S=“被选中的两人为一男一女”.(1)事件M所包含的可能的结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),共5种,故P(M)=515=13.(2)事件MN包含的可能的结果为(A,b),则P(MN)=115,又P(M)=13,故P(N|M)=P(MN)P(M)=15.(3)事件S包含的可能的结果为(A,a),(A,b),(B,
14、a),(B,b),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),共8种,事件SN包含的可能的结果为(A,b),(B,b),(C,b),(D,b),共4种,则P(S)=815,P(SN)=415,故P(N|S)=P(SN)P(S)=12.18.(12分)(2020浙江高二期末)一个袋中有10个大小相同的球,其中标号为1的球有3个,标号为2的球有5个,标号为3的球有2个.第一次从袋中任取一个球,放回后第二次再任取一个球(假设取到每个球的可能性都相等).记两次取到球的标号之和为X.(1)求随机变量X的分布列;(2)求随机变量X的均值.解(1)依题意,随机变量X的可能取值为2,3,4,5,6,则P(
15、X=2)=310310=9100,P(X=3)=3105102=310,P(X=4)=3102102+510510=37100,P(X=5)=5102102=15,P(X=6)=210210=125.故随机变量X的分布列为X23456P91003103710015125(2)由(1)可知,E(X)=29100+3310+437100+515+6125=195.19.(12分)某学习小组有6名同学,其中4名同学从来没有参加过数学研究性学习活动,2名同学曾经参加过数学研究性学习活动.(1)现从该小组中任选2名同学参加数学研究性学习活动,求恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率;(2)
16、若从该小组中任选2名同学参加数学研究性学习活动,活动结束后,该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学人数是一个随机变量,求随机变量的分布列及均值.解(1)记“恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件A,则P(A)=C41C21C62=815.故恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为815.(2)依题意,随机变量的取值可能为2,3,4,则P(=2)=C42C62=25,P(=3)=C41C21C62=815,P(=4)=C22C62=115.故随机变量的分布列为234P25815115E()=225+3815+4115=83.20.(12分)(2020黑龙江哈尔滨第
17、六中学校高三一模)甲、乙二人进行一次象棋比赛,每局胜者得1分,负者得0分(无平局),约定一方得4分时就获得本次比赛的胜利并且比赛结束.设在每局比赛中,甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,各局比赛结果相互独立,已知前3局中,甲得1分,乙得2分.(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;(2)设从第4局开始到比赛结束所进行的局数为X,求X的分布列及均值.解(1)设“甲获得这次比赛胜利”为事件A,则P(A)=233+C3123313=1627,故甲获得这次比赛胜利的概率为1627.(2)依题意,X的取值可能为2,3,4,则P(X=2)=132=19,P(X=3)=233+C2123132=49,P(X=
18、4)=C32232131=49.故X的分布列为X234P194949E(X)=219+349+449=103.21.(12分)(2020江苏高三三模)某娱乐活动中,共有5扇门,游戏者根据规则开门,并根据打开门的数量获取相应奖励.已知开每扇门相互独立,且规则相同,开每扇门的规则是:从给定的6把钥匙(其中有且只有1把钥匙能打开门)中,随机地逐把抽取钥匙进行试开,钥匙使用后不放回.若门被打开,则转为开下一扇门;若连续4次未能打开,则放弃这扇门,转为开下一扇门;直至5扇门都进行了试开,活动结束.(1)设随机变量X为试开第一扇门所用的钥匙数,求X的分布列及均值E(X);(2)求恰好成功打开4扇门的概率.
19、解(1)由题意可知,随机变量X的可能取值为1,2,3,4,则P(X=1)=16,P(X=2)=5615=16,P(X=3)=564514=16,P(X=4)=5645341=12.故随机变量X的分布列为X1234P16161612E(X)=116+216+316+412=3.(2)每扇门被打开的概率为P=1-56453423=23,设“恰好成功打开4扇门”为事件A,则P(A)=C5423413=80243.22.(12分)(2020吉林东北师大附中高三模拟)一次大型考试后,某年级对某学科进行质量分析,随机抽取了40名学生的成绩,分组为50,60),60,70),70,80),80,90),90,100,得到如图所示的频率分布直方图.从抽取的成绩在50,60),90,100之间的学生中,随机选择三名学生做进一步调查分析,记X为这三名学生中成绩在50,60)之间的人数,求X的分布列及均值E(X).
