1、模块测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2020北京高考)在(x-2)5的展开式中,x2的系数为()A.-5B.5C.-10D.10解析(x-2)5展开式的通项为Tk+1=C5k(x)5-k(-2)k=(-2)kC5kx5-k2,令5-k2=2可得k=1,则x2的系数为(-2)1C51=(-2)5=-10.故选C.答案C2.(2020湖北华中师大一附中高二期中)若甲、乙、丙、丁四人站成一排照相,则满足甲、乙相邻且甲不在最左边的站法有()A.9种B.10种C.11种D.12种解析将甲、乙绑
2、定,分甲在乙左或乙在甲左两类.若甲在乙左,则甲乙、丙、丁三组站成一排,甲乙不能站最左,故有两种选择,丙、丁随意,故一共有221=4(种)站法.若乙在甲左,则乙甲、丙、丁三组站成一排,乙甲、丙、丁三组随意站,故一共有321=6(种)站法.故共有6+4=10(种)站法.故选B.答案B3.(2019山东高二期末)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,用X表示所选3人中女生的人数,则E(X)等于()A.0B.1C.2D.3解析由题意可知X的可能取值为0,1,2,由题中数据可得P(X=0)=C43C63=4654321=420=15,P(X=1)=C42C21C63=62654321=1220=3
3、5,P(X=2)=C41C22C63=4654321=420=15,所以E(X)=015+135+215=1.故选B.答案B4.(2020山西怀仁第一中学云东校区高二期中)某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教,每所学校至少安排一名,其中甲、乙因属同一学科,不能安排在同一所学校,则不同的安排方法种数为()A.18B.24C.30D.36解析四名大学毕业生中有两名分在一所学校的种数是C42A33种,而甲、乙被分在同一所学校的有A33种,故不同的安排方法种数是C42A33-A33=30.答案C5.一名篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b
4、,不得分的概率为c(a,b,c(0,1).已知他投篮一次得分的均值是2,则2a+13b的最小值为()A.163B.283C.143D.323解析由题意得3a+2b+0c=2,即3a+2b=2.所以2a+13b=2a+13b3a+2b2=126+23+4ba+ab126+23+24baab=163,当且仅当4ba=ab,即a=2b=12时取等号.故选A.答案A6.(2020湖北高三模拟)已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为925,则该队员每次罚球的命中率p为()A.35B.25C.15D.45解析设罚球命中的次数为X,则1-P(X=2)=925,即1-C
5、22p2(1-p)0=925,解得p=45.故选D.答案D7.设随机变量B(2,p),B(4,p),若P(1)=59,则P(2)的值为()A.3281B.1127C.6581D.1681解析B(2,p),P(1)=59,C21p(1-p)+C22p2=2p-p2=59,解得p=13.又B4,13,P(2)=C42p2(1-p)2+C43p3(1-p)+C44p4=61949+412723+181=1127,故选B.答案B8.(2020安徽合肥高三模拟)已知甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每
6、局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数的均值为()A.24181B.26681C.27481D.670243解析依题意可知的所有可能取值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,则第一轮结束时比赛停止的概率为232+132=59.若第一轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在第一轮中必是各得一分,此时,第一轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(=2)=59,P(=4)=4959=2081,P(=6)=492=1681,故E()=259+42081+61681=26681,故选B.答案B二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全
7、部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.在2020年3月15日,某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查,5家商场的价格x(单位:元)和销售量y(单位:件)之间的一组数据如下表所示:价格x99.51010.511销售量y1110865根据公式计算得样本相关系数r的绝对值|r|=0.986,其经验回归方程是y=-3.2x+a,则下列说法正确的有()A.由样本相关系数r可知变量x,y不具有线性相关关系B.经验回归直线恒过定点(10,8)C.a=40D.当x=8.5时,y的预测值为12.8解析对于A,因为|r|=0.986,所以变量x,y具有线性相关关系,故A不
8、正确.对于B,x=15(9+9.5+10+10.5+11)=10,y=15(11+10+8+6+5)=8.故经验回归直线恒过定点(10,8),故B正确.对于C,因为经验回归直线恒过定点(10,8),所以8=-3.210+a,解得a=40,故C正确.对于D,当x=8.5时,y=-3.28.5+40=12.8,故D正确.故选BCD.答案BCD10.(2020广东高二期末)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期,某农户利用精准扶贫政策,贷款承包了一个新型温室鲜花大棚,种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(,302)和N(280,402),则下列选项正确的是()附:
9、若随机变量X服从正态分布N(,2),则P(-X+)0.682 7.A.若红玫瑰日销售量范围在(-30,280)内的概率是0.682 7,则红玫瑰日销售量的平均数约为250B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D.白玫瑰日销售量范围在(280,320)内的概率约为0.341 35解析对于A,+30=280,即=250,故A正确;对于B,C,利用越小,数据越集中,3040,故B正确,C不正确;对于D,P(280X320)=P(X+)0.6827120.34135,故D正确.故选ABD.答案ABD11.(2020江苏高二期末)关于排列组合数,下列结论正确的是
10、()A.Cnm=Cnn-mB.Cn+1m=Cnm-1+CnmC.Anm=mAn-1m-1D.Anm+mAnm-1=An+1m解析根据组合数的性质或组合数的计算公式Cnm=n!(n-m)!m!,可知A,B正确;Anm=n!(n-m)!,而mAn-1m-1=m(n-1)!(n-m)!,故C错误;Anm+mAnm-1=n!(n-m)!+mn!(n-m+1)!=(n-m+1)n!(n-m+1)!+mn!(n-m+1)!=(n+1)!(n+1-m)!=An+1m,故D正确.故选ABD.答案ABD12.(2020江苏苏州第四中学高二期中)已知(x+3x)n(其中n15)的展开式中第9项、第10项、第11项
11、的二项式系数成等差数列,则下列结论正确的是()A.n的值为14B.二项展开式中常数项为第8项C.二项展开式中有理项有3项D.二项式系数最大的项是第7项解析由题意可知2Cn9=Cn8+Cn10,化简得(n-14)(n-23)=0.n3.841=x0.05,根据=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为小鼠是否感染与服用疫苗有关联.答案0.0516.(2020湖北高三二模)有人收集了七月份的日平均气温t(单位:摄氏度)与某冷饮店日销售额y(单位:百元)的有关数据,为分析其关系,该店做了五次统计,所得数据如下:日平均气温t/摄氏度3132333435日销售额y/百元567810由资料可知,y
12、关于t的经验回归方程是y=1.2t+a,给出下列说法:a=-32.4;日销售额y与日平均气温t成正相关;当日平均气温为33摄氏度时,日销售额一定为7百元.其中正确说法的序号是.解析由统计表可得t=31+32+33+34+355=33,y=5+6+7+8+105=7.2,则a=y-1.2t=7.2-1.233=-32.4,故正确;由统计表可得日销售额y(单位:百元)与日平均气温t(单位:摄氏度)成正相关,故正确;由经验回归方程的概念可得当日平均气温为33摄氏度时,日销售额的预测值为y=1.233-32.4=7.2,故错误.答案四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
13、步骤)17.(10分)(2020江苏高二期末)在(3x-1)n的展开式中,第5项与第3项的二项式系数之比为143.(1)求正整数n;(2)若(3x-1)n=a0+a1x+a2x2+anxn,求i=1n|ai|.解(1)由第5项与第3项的二项式系数之比为143,得Cn4Cn2=143,即n(n-1)(n-2)(n-3)1234n(n-1)12=(n-2)(n-3)12=143,即(n-10)(n+5)=0,解得n=10(n=-5舍去).(2)由n=10,得(3x-1)10=a0+a1x+a2x2+a10x10,当x=0时,代入式得a0=1.因为i=1n|ai|=|a1|+|a2|+|a3|+|a
14、10|=-a1+a2-a3+-a9+a10,所以令x=-1得,410=a0-a1+a2-a3+-a9+a10.所以i=110|ai|=410-1.18.(12分)(2020全国,理18)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):空气质量等级锻炼人次0,200(200,400(400,6001(优)216252(良)510123(轻度污染)6784(中度污染)720(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率.(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(3)若某天的空
15、气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的22列联表,依据=0.05的独立性检验,能否认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关联?空气质量情况人次400人次400好不好附:2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)0.0500.0100.001x3.8416.63510.828解(1)由所给数据,该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表:空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210.09(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1100(10020
16、+30035+50045)=350.(3)零假设为H0:一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关联.根据所给数据,可得22列联表:空气质量情况人次400人次400合计好333770不好22830合计5545100根据列联表得2=100(338-2237)2554570305.8203.841=x0.05.依据=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关联.19.(12分)(2020内蒙古呼和浩特开来中学高二期末)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位:克),质量的分组
17、区间为(490,495,(495,500,(510,515,由此得到样本的频率分布直方图如图所示.(1)根据频率分布直方图,求质量超过500克的产品数量;(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列及均值.解(1)质量超过500克的产品数量是40(0.075+0.055+0.015)=26(件).(2)由题意知Y的所有可能取值为0,1,2.质量超过505克的产品数量是40(0.055+0.015)=12(件),质量未超过505克的产品数量是28件.P(Y=0)=C282C402=63130,P(Y=1)=C121C281C402=56130,P(Y=2
18、)=C122C402=11130.所以Y的分布列为Y012P631305613011130E(Y)=063130+156130+211130=3965.20.(12分)(2020辽宁盘锦第二高级中学高二月考)一个口袋中有4个白球、2个黑球,每次从袋中取出一个球.(1)若有放回地抽取2次球,求第二次取出的是黑球的概率;(2)若不放回地抽取2次球,求在第一次取出白球的条件下,第二次取出的是黑球的概率;(3)若有放回地抽取3次球,求取出黑球次数X的分布列及E(X).解设Ai=“第i次取到白球”,Bi=“第i次取到黑球”.(1)因为每次都是从6个球中取球,每次取球的结果互不影响,所以P(B2)=13.
19、(2)问题相当于“从3个白球、2个黑球中取一次球,求取到黑球的概率”,所以所求的概率P=25.(3)若有放回地取3个球,则取到黑球次数X的可能取值为0,1,2,3.三次取球互不影响,由(1)可知每次取出黑球的概率均为13.所以P(X=0)=C30233=827;P(X=1)=C3113232=49;P(X=2)=C32132231=29;P(X=3)=C33133=127.X0123P8274929127这个试验为3次独立重复事件,X服从二项分布,即XB3,13,所以E(X)=313=1.21.(12分)(2020山东高三二模)携号转网,也称作号码携带、移机不改号,即无需改变自己的手机号码就能
20、转换运营商,并享受其提供的各种服务.2019年11月27日,工信部宣布携号转网在全国范围内正式启动.某运营商为提质量保客户,从运营系统中选出300名客户,对业务水平和服务水平的评价进行统计,其中业务水平的满意率为1315,服务水平的满意率为23,对业务水平和服务水平都满意的客户有180人.(1)完成下面22列联表,依据=0.025的独立性检验,能否认为业务水平与服务水平有关联?类别对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计对业务水平满意人数对业务水平不满意人数合计(2)为进一步提高服务质量,在选出的对服务水平不满意的客户中,抽取2名征求改进意见,用X表示对业务水平不满意的人数,求X的分布列与均
21、值.(3)若用频率代替概率,假定在业务服务协议终止时,对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为5%,只对其中一项不满意的客户流失率为34%,对两项都不满意的客户流失率为85%,从该运营系统中任选4名客户,则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少?附:2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).0.100.050.0250.0100.0050.001x2.7063.8415.0246.6357.87910.828解(1)由题意知对业务水平满意的有3001315=260(人),对服务水平不满意的有3001-23=100(人),得22列联表如下所示:类别对服务水平
22、满意人数对服务水平不满意人数合计对业务水平满意人数18080260对业务水平不满意人数202040合计200100300零假设为H0:业务水平与服务水平无关联.经计算得2=300(18020-8020)220010026040=75135.775.024=x0.025,依据=0.025的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为业务水平满意与服务水平满意有关联.(2)X的可能值为0,1,2.则P(X=0)=C200C802C1002=316495,P(X=1)=C201C801C1002=160495,P(X=2)=C202C1002=19495.所以X的分布列为X012P316495160495
23、19495E(X)=0316495+1160495+219495=25.(3)在业务服务协议终止时,对业务水平和服务水平都满意的客户流失的人数为1805%=9,只有一项不满意的客户流失的人数为10034%=34,对二者都不满意的客户流失的人数为2085%=17.所以从运营系统中任选一名客户流失的概率为9+17+34300=15.所以在业务服务协议终止时,从运营系统中任选4名客户,至少有2名客户流失的概率P=1-C40454-C4145315=113625.22.(12分)(2020山东师范大学附中高三模拟)从2019年底开始,非洲东部的肯尼亚等国家爆发出了一场严重的蝗虫灾情.蝗虫能对农作物造成
24、严重伤害,每只蝗虫的平均产卵数y和平均温度x有关,现收集了以往某地的7组数据,得到下面的散点图及一些统计量的值.平均温度x/21232527293235平均产卵数y/个711212466115325xyzi=1n(xi-x)(zi-z)i=1n(xi-x)227.42981.2863.61240.182147.714表中zi=ln yi,z=17i=17zi.(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=cedx(其中e=2.718为自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的经验回归模型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)求出y关于x的经验回归方程.(结果精确到小数点后第三位)(
25、3)根据以往统计,该地每年平均温度达到28 以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害,需要人工防治,其他情况均不需要人工防治,记该地每年平均温度达到28 以上的概率为p(0p1).记该地今后n(n3,nN*)年恰好需要2次人工防治的概率为f(p),求f(p)取得最大值时对应的概率p0;根据中的结论,当f(p)取最大值时,记该地今后6年需要人工防治的次数为X,求X的均值和方差.附:对于一组数据(x1,z1),(x2,z2),(x7,z7),其经验回归方程z=a+bx的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=i=17(xi-x)(zi-z)i=17(xi-x)2,a=z-bx.解(1)由散点图可以判断,y=ce
26、dx更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的经验回归模型.(2)对y=cedx两边取自然对数得lny=lnc+dx,令z=lny,a=lnc,b=d,则z=a+bx.因为b=i=17(xi-x)(zi-z)i=17(xi-x)2=40.182147.7140.272,a=z-bx=3.612-0.27227.429=-3.849,所以z关于x的经验回归方程为z=0.272x-3.849.所以y关于x的经验回归方程为y=e0.272x-3.849.(3)由题意可知f(p)=Cn2p2(1-p)n-2,所以f(p)=2Cn2p(1-p)n-2-(n-2)Cn2p2(1-p)n-3=Cn2p(1-p)n-32(1-p)-(n-2)p=Cn2p(1-p)n-3(2-np).因为n3且nN*,所以当0p0;当2np1时,f(p)0.所以函数f(p)在区间0,2n上单调递增,在区间2n,1上单调递减.所以函数f(p)在p=2n处取得极大值,亦即最大值.所以p0=2n.由可知,当p=2n时,f(p)取最大值.又因为n=6,所以p=13.由题意可知X6,13,所以E(X)=613=2,D(X)=61323=43.
