1、1.2.2.充要条件 1.理解充要条件的定义2会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系3能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.若 pq 且 qp，则 pq，就说 p 是 q 的_，简称充要条件，那么 q 也是 p 的_概括地说，如果_，那么 p 与 q 互为_充分必要条件充要条件pq充要条件思考探究若“xA”是“xB”的充要条件，则 A 与 B 的关系怎样？提示：AB1.(2011江西上高高二期末)对于实数 a，b，c，“ab”是“ac2bc2”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由
2、 ac2bc2ab，但由 ab 推不出 ac2bc2.答案：B2假设命题“若 p，则 q”为假，逆命题为真，则 p 是q 的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若 p，则 q 为假，即 p q；若 q，则 p 为真，即 qp，故 p 为 q 的必要不充分条件答案：B3“a1”是“函数 f(x)|xa|在区间1，)上为增函数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：当 f(x)|xa|在1，)上为增函数时，a1，而 a1 时，f(x)|xa|在1，)上为增函数故选 A.答案：A4在ABC 中，sinAsinB
3、 是 ab 的_条件解析：在ABC 中，由正弦定理及 sinAsinB 可得2RsinA2RsinB，即 ab；反之也成立充要5求不等式 ax22x10 恒成立的充要条件解：当a0时，2x10不恒成立当a0时，只要a0044a1.故 ax22x10恒成立的充要条件为 a1.1.充分条件、必要条件、充要条件的判断处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件和结论，然后才能进行推理和判断常用的判断方法有以下三种：(1)定义法(直接法)判断“若 p，则 q”或“若 q，则 p”的真假.条件 p 与结论 q 的关系结论pq，但 qpp 是 q 成立的充分不必要条件qp，但 pqp 是 q 成立的必要不充分
4、条件pq，qp，即 pqp 是 q 成立的充要条件pq，qpp 是 q 成立的既不充分也不必要条件(2)集合法即用集合的包含关系判断，设命题 p、q 对应的集合分别为 A、B.若 AB，则 p 是 q 的充分条件，若A B，则 p 是 q 的充分不必要条件若 BA，则 p 是 q 的必要条件，若B A，则 p 是 q 的必要不充分条件若 AB，则 p，q 互为充要条件若 A B，且 B A，则 p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件(3)等价判断法即利用 AB 与綈 B綈 A 等价，BA 与綈 A綈 B 等价，AB 与綈 B綈 A 等价来判断一般地，对于条件或结论是否定形式的命题，
5、可运用等价转化法判断2充要条件的证明(1)证明 p 是 q 的充要条件，应分两步：充分性：把 p 当成条件，结合命题的前提条件或已学知识推出 q.必要性：把 q 当成已知条件，结合命题的前提条件或已学知识推出 p.综合以上可知 p 是 q 的充要条件(2)证明 p 是 q 的充要条件应注意的问题：首先应分清条件和结论，并不是在前面的就是条件，如若要证“p 是 q 的充要条件”，则 p 是条件，q 是结论；若要证“p 的充要条件是 q”，则 q 是条件，p 是结论，这是易错点必要性与充分性不要混淆必要性是由结论去推条件，充分性是由条件推结论充要性的证明必须做到充分性、必要性同时证，不要只证充分性
6、或只证必要性.充要条件的判断例 1 下列各小题中，p 是 q 的充要条件是()p：m6，q：yx2mxm3 有两个不同的零点；p：fxfx 1，q：yf(x)为偶函数；p：coscos，q：tantan；p：ABA，q：UBUA.A BCD解析 q：yx2mxm3 有两个不同零点m24(m3)0m6p.f(x)0 时，qp.若，k2(kZ)，此时有 coscos，但没有tantan.p：ABAABq：UAUB，中，p 是 q 的充要条件答案 D点拨 判断 p 是 q 的什么条件，常用方法是验证由 p能否推出 q，由 q 能否推出 p，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断练 1 对任意的 a、
7、b、cR，给出下列命题：“ab”是“acbc”的充要条件；“a5 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；“ab”是“a2b2”的充要条件；“a5”是“a0 两种情况，当 xy0 时，不妨设 x0，则|xy|y|，|x|y|y|，等式成立当 xy0 时，即 x0，y0，或 x0，y0，y0 时，|xy|xy，|x|y|xy，等式成立当 x0，y0 时，|xy|(xy)，|x|y|xy，等式成立总之，当 xy0 时，|xy|x|y|成立必要性：若|xy|x|y|且 x，yR，得|xy|2(|x|y|)2，即 x22xyy2x2y22|x|y|，|xy|xy，xy0.综上可知，xy0 是等式|xy
8、|x|y|成立的充要条件点拨 证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件尽管证明充要条件问题中前者是后者的充分条件，也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了一般地，证明“p 成立的充要条件为 q”时，在证充分性时应以 q 为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即 qp；证明必要性时则以 p为“已知条件”，即 pq.练 2 求证：实系数一元二次方程 x2pxq0 有两个异号根的充要条件是 q0.证明(1)先证充分性q0.方程 x2pxq0 有两个不相等的实根，设其为 x1，x2.x1x2q0，方程 x2
9、pxq0 有两个异号实根(2)再证必要性方程 x2px10 有两个异号实根，设其为 x1，x2.x1x20.x1x2q，q0，x11x210，即k14，x1x220，x1x2x1x210，由根与系数的关系，得k14，2k120，k22k110，解得 k2.所以所求的充要条件为 k1，x21x1x22，x1x21”但反过来“x1x22，x1x21 x11，x21”，例如取 x11，x23，有 x1x22，且 x1x21，但没有保证两个根都大于 1.0，x1x22，x1x21仅是两根都大于 1 的必要条件，不是充分条件练 3 设 a，b，c 为ABC 的三边，试求关于 x 的方程x22axb20
10、与 x22cxb20 有公共根的充要条件解 设 是方程 x22axb20 与 x2 2cxb20的公共根，则22ab20 22cb20 ，由得(ac)(0 舍去)，将(ac)代入，整理得 a2b2c2，A90，此即为方程 x22axb20与 x22cxb20有公共根的必要条件下面证明A90是两方程有公共根的充分条件：A90，a2b2c2.方程 x22axb20 可化为x22ax(ac)(ac)0，即x(ac)x(ac)0，解得 x1(ac)，x2(ac)同理，方程 x22cxb20 的两根为 x3(ac)，x4(ca)，显然 x1 x3，即两方程有公共根因此，A90是方程 x22axb20 与
11、 x22cxb20 有公共根的充要条件一、选择题1(2011甘肃天水一中段考)在ABC 中，“sin 2A32”是“A30”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析：若 A30，显然有 sin 2A 32，但 sin 2A 32 时，在ABC 中，有 2A60或 2A120，即不一定有 A30，故“sin 2A 32”是“A30”的必要不充分条件答案：B2(2010广东)“m14”是“一元二次方程 x2xm0有实数解”的()A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件解析：先求出已知方程有实数解时 m 的取值范围，再进行条件判定一元二次
12、方程 x2xm0 有实数解14m0m14.当 m14时，m14成立，但 m14时，m14不一定成立故“m14”是“一元二次方程 x2xm0 有实数解”的充分不必要条件答案：A3(2010四川文)函数 f(x)x2mx 1 的图象关于直线 x1 对称的充要条件是()Am2 Bm2 Cm1 Dm1解析：依据二次函数的图象和性质及充要条件的定义可得正确答案当 m2 时，f(x)x22x1，其图象关于直线 x1对称，反之也成立，所以 f(x)x2mx1 的图象关于直线x1 对称的充要条件是 m2.答案：A4(2010山东文)设an是等比数列，则“a1a2a3”是“数列an是递增数列”的()A.充分不必
13、要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析：由题可知，若 a1a2a3，即a1a1qa1q0时，解得 q1，此时数列an是递增数列，当 a10 时，解得0q1，此时数列an是递增数列；反之，若数列an是递增数列，则 a1a2a3成立，所以“a1a2a3”是“数列an是递增数列”的充要条件，故选 C.答案：C5(2010浙江文)设 0 x2，则“xsin2x1”是“xsinx1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析：结合三角函数的定义及不等式的基本性质，寻找推式，利用定义进行条件判定当 0 x2时，0sinx1，故 xsinx1xsin
14、xsinxsin x1xsin2x1，但 xsin2x1xsinx1，故不能保证 xsin x1.故“xsin2x1”是“xsin x4”是“x38”的必要不充分条件；在ABC中，“AB2AC2BC2”是“ABC 以 A 为直角的直角三角形”的充要条件；若 a、bR，则“a2b20”是“a、b全不为零”的充要条件；若 a、bR，则“a2b20”是“a、b 不全为零”的充要条件()A BCD解析：结合选项，对于结论，由 x38x4，但 x24 x3d”和“ad 为真，cdabef 为真，又efab 为假，abcd 为假，efcd 为假，“cd”是“ef”的充分不必要条件充分不必要9有以下四组命题
15、：(1)p：(x2)(x3)0，q：x20.(2)p：同位角相等；q：两直线平行(3)p：x9.(4)p：0a0 且 a1)为减函数其中 p 是 q 的充分不必要条件的是_，p 是 q 的必要不充分条件是_，p 是 q 的充要条件的是_(3)(1)(2)(4)解析：(1)x20(x2)(x3)0，但(x2)(x3)0 x20，所以 p 是 q 的必要不充分条件(2)同位角相等两直线平行，所以 p 是 q 的充要条件(3)x9，但 x29 x3，所以 p 是 q 的充分不必要条件(4)0a0 且 a1)是减函数，所以 p 是 q 的充要条件三、解答题10已知 p 是 q 的充分条件，q 是 r
16、的必要条件，也是 s的充分条件，r 是 s 的必要条件，问：(1)p 是 r 的什么条件？(2)s 是 q 的什么条件？(3)p、q、r、s 中哪几对互为充要条件？解：作出“”图，如图所示，可知：pq，rq，qs，sr.(1)pqsr，且 rq，q 能否推出 p 未知，p 是 r 的充分条件(2)srq，qs，s 是 q 的充要条件(3)共有三对充要条件，qs；sr；rq.11求证：关于 x 的方程 ax2bxc0 有一个根为 1的充要条件是 abc0.证明：先证必要性：方程 ax2bxc0 有一个根为1，x1 满足方程 ax2bxc0，则 a12b1c0，即abc0.再证充分性：abc0，cab，代入方程ax2bxc0 中，可得 ax2bxab0，即(x1)(axab)0，故方程 ax2bxc0 有一个根为 1.因此，关于 x 的方程 ax2bxc0 有一个根为 1 的充要条件是 abc0.12设集合 Ax|2xa，By|y2x3，xA，Cz|zx2，xA，求 BCB 的充要条件解：BCBCB.因为 Ax|2xa，所以 By|y2x3，xAy|1y2a3又当2a2 时，Cz|0za2，所以当2a2 时，CB42a3，即12a2；当 a2 时，CBa22a3，即 2a3.综上所述，所求的充要条件是12a3.
