1、等 差 数 列一、知识点1定义：2通项：，推广：3前n项的和：4中项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项:2b=a+c5简单性质:(1)(2)组成公差为的等差数列.(3)组成公差为的等差数列.二、思维点拔1等差数列的判定方法(1)定义法: (2)中项法:(3)通项法: (4)前n项和法:2知三求二(),要求选用公式要恰当.3设元技巧: 三数: 四数三、举例例1.(1)在等差数列中,已知解:设首项为,公差为,则(2)若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390,求这个数列项数. 解:,(3)已知为等差数列,前10项的和为前100项的和,求前110项的和分析一:方
2、程的思想,将题目条件应用公式表示成关于首项与公差的两个方程.解法一:设的首项为,公差,则分析二:运用前n项和变式: 解法二: 为等差数列,故可设,则解法三：例2（P119变式2）已知两个等差数列5，8，11，和3，7，11都有100项，问它们有多少相同的项？并求出所相同项的和。分析一：两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数。解：设两个数列相同项按原来的前后次序组成的新数列为，则数列5，8，11，和3，7，11的公差分别为3与4又因为数列5，8，11，和3，7，11的第100项分别是302和399，所以两个数列有25个相同的项。其和分析二：由条件
3、可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解法来求解。解：设数列5，8，11，和3，7，11分别为设中的第n项与中的第m项相同，即根据题意得：从而有25个相同的项，且公差为12，其和例3（P118例2）数列的前n项和(1) 是什么数列? (2)设的前n项和.分析:本题考查数列的基础知识,以及含绝对值的数列前n项和的求法.在求和前前首先要确定,从哪一项开始该项的值为负,然后将和分段表示.解:(1)又(2)令当,所以的前n项和 当,由得数列的前n项和为由得数列的前n项和为例4.(P119例3)设是等差数列，求证：以为通项公式的数列是等差数列。分析：解题过程使用了等差数列的判断方法和前n项和公式，
4、要求能利用所学知识解题。解法一：设等差数列的公差为，前n项和为，则是等差数列。解法二：设的前n项和为，是等差数列。例5.已知数列的首项,通项与前n项和之间满足(1)求证:是等差数列,并求公差;(2)求数列的通项公式;(3)数列中是否存在正整数k,使得不等式对任意不小于k的正整数都成立?若存在,求出最小的k,若不存在,请说明理由.解:(1)当(2)(3)所求最小k=3.四、小结1定义：2通项：，推广：3前n项的和：4中项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项:2b=a+c5简单性质:(1)(2)组成公差为的等差数列.(3)组成公差为的等差数列.五、作业P120 基础强化7 能力提高 7 8 高考预测
