1、专题09 幂函数与函数零点模块一：幂函数1.幂函数：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数2.幂函数的图象当分别为，时，幂函数图象如下图：3.幂函数的性质所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点；如果，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数；如果，则幂函数在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近轴当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴幂函数的奇偶性决定幂函数过的象限奇函数过一、三象限；偶函数过一、二象限；非奇非偶函数只过第一象限 当为负奇数时，幂函数为奇函数，图象在第一、三象限，但不过原点； 当为正分数时，设为（，是互质的正整数）如果， 都是奇数，幂函数
2、为奇函数，图象过第一、三象限及原点；如是奇函数，图象为：如果是偶数，为奇数，幂函数为非奇非偶函数，图象在第一象限及过原点；如是非奇非偶函数，图象只在第一象限，即如果为奇数，为偶数，幂函数为偶函数，图象过第一、二象限及原点如是偶函数，图象为： 当为负分数时，设为（，是互质的正整数）如果，都是奇数，幂函数为奇函数，图象在第一、三象限；如果为偶数，为奇数，幂函数的图象只在第一象限；如果为奇数，为偶数，幂函数为偶函数，图象在第一、二象限如是偶函数，图象为考点1：幂函数的图像与性质例1.（1）已知是幂函数，求的值.【解答】（2）幂函数在上为增函数，则的取值是A或BCD【解答】解：幂函数在上为增函数，则，
3、解得故选：模块二：函数的零点1.函数的零点（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.要点诠释：函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；函数的零点就是方程的实数根零点都是指变号零点（函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点）归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点考点2：函数的零点判断例1.（1）设则在下列区间中，使函数有零点的区间是ABCD【解答】解：（1），（2），（1）（2），则在内函数存在零点，故选：例2.（1）已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围为ABCD【解答】
4、解：函数有3个零点，即函数的图象与的图象有3个交点如图，由图可知，当直线过原点时，满足题意；联立，得由，得若函数有3个零点，则实数的取值范围为，故选：（2）设函数，若存在两个零点，则的取值范围是【解答】解：由题意可得有两个不同的实根，即函数的图象与直线有两个交点，作出的图象和直线，当直线经过点时，可得，即；当直线经过点可得，即，可得时，直线和的图象有两个交点，故答案为：，例3.已知，则函数的零点个数为【解答】解：根据题意，函数，若，解可得或，若，即，即，解可得，若，即，即，解可得或，则函数有3个零点；故答案为：3课后作业：1函数的零点所在区间为ABCD【解答】解：函数是增函数，（1），（2），（1）（2），的零点所在区间为故选：2函数的零点的个数为A0B1C2D3【解答】解：当时，令，解得，当时，则的解等价于函数与图象在时的交点的横坐标，作出函数与图象如下：由图可知，此时两图象有一个交点，故时，有一个解，综上共两个零点故选：3函数的零点个数最多是A2B3C4D5【解答】解：函数的零点的个数，即为函数与的图象交点个数，在同一坐标系内分别作出函数与的图象，知两函数图象最多有4个交点，即函数的零点个数最多是4故选：4已知幂函数在上单调递增，则值为【解答】解：幂函数在上单调递增，且，解得，故答案为：2
