1、第六章 平面向量及其应用专题强化练1 平面向量数量积及其应用一、选择题1.若向量a=(1,x),b=(1-x,2),且a(a-b),则x的值为 ()A.-1B.0C.1D.0或12.设a,b均为单位向量,则“a与b的夹角为3”是“|a+b|=3”的 ()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.对任意向量a,b,下列关系式不恒成立的是 ()A.|ab|a|b|B.(a+b)2=|a+b|2C.|a-b|a|-|b|D.(a+b)(a-b)=|a|2-|b|24.已知向量a,b,|a|=1,|a-2b|=4,|a+2b|=2,e是与b同向的单位向量,则a在b
2、上的投影向量为 ()A.-2eB.eC.-eD.2e5.在ABC中,已知AC=6,DC=2BD,ADAC=4,则ABAC= ()A.-6B.-9C.-12D.-156.在ABC内,使|AP|2+|BP|2+|CP|2的值最小的点P是ABC的 ()A.外心B.内心C.垂心D.重心二、填空题7.如图,在四边形ABCD中,AB=CD=1,BC,点M和点N分别是边AD和BC的中点,延长BA和CD,分别交NM的延长线于点P,Q,则(PM+QN)(AB-DC)的值为.三、解答题8.设向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),其中0,02,且a+b与a-b相互垂直.(1)求实数的值;(2)
3、若ab=45,且tan =2,求tan 的值.9.已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1.(1)若|a-b|=2,试求a与b的夹角的余弦值;(2)若对一切实数x,|a+xb|a+b|恒成立,求a与b的夹角.10.在直角梯形ABCD中,已知ABCD,DAB=90,AB=4,AD=CD=2,对角线AC交BD于点O,点M在AB上,且满足OMBD.(1)求AMBD的值;(2)若N为线段AC上任意一点,求ANMN的最小值.答案全解全析一、选择题1.Da=(1,x),b=(1-x,2),a-b=(x,x-2).a(a-b),a(a-b)=0,x+x(x-2)=0,即x(x-1)=0,x=0或x=1,
4、故选D.2.C由题可得,|a|=|b|=1.若a,b的夹角为3,则|a+b|2=a2+2ab+b2=1+21112+1=3,即|a+b|=3;若|a+b|=3,则(a+b)2=a2+2ab+b2=3,即ab=12,设a,b的夹角为,0,则cos =ab|a|b|=12,所以=3.所以“a与b的夹角为3”是“|a+b|=3”的充要条件.故选C.3.C对于A,|ab|=|a|b|cos |a|b|,故A中关系式恒成立;对于B,(a+b)2=(a+b)(a+b)=|a+b|a+b|cos 0=|a+b|2,故B中关系式恒成立;对于C,|a-b|a|-|b|,只有取等号时,|a-b|a|-|b|才成立
5、;对于D,(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2,故D中关系式恒成立.故选C.4.C|a|=1,|a-2b|=4,|a+2b|=2,(a-2b)2=a2-4ab+4b2=1-4ab+4|b|2=42,(a+2b)2=a2+4ab+4b2=1+4ab+4|b|2=22,联立,解得|b|=32,ab=-32,a在b上的投影向量为ab|b|e=-e.故选C.5.CDC=2BD,BD=13BC=13AC-13AB,AD=AB+BD=13AC+23AB,ADAC=13AC+23ABAC=13AC2+23ABAC=1362+23ABAC=4,ABAC=-12.故选C.6.D设CA=a,CB=
6、b,CP=m,则AP=CP-CA=m-a,BP=CP-CB=m-b,所以|AP|2+|BP|2+|CP|2=(m-a)2+(m-b)2+m2=3m2-2(a+b)m+a2+b2=3m-13(a+b)2-13(a+b)2+a2+b2,所以当m=13(a+b)时,|AP|2+|BP|2+|CP|2的值最小,此时PA+PB+PC=(a-m)+(b-m)+(-m)=a+b-3m=a+b-(a+b)=0,故点P为ABC的重心,故选D.二、填空题7.答案0解析解法一:由题意知P,Q,M,N四点共线,可设PM+QN=MN,由题图可得MN=MA+AB+BN,MN=MD+DC+CN.因为M,N分别为AD,BC的
7、中点,所以+可得2MN=0+AB+DC+0,即MN=12(AB+DC),故(PM+QN)(AB-DC)=2(AB+DC)(AB-DC)=2(|AB|2-|DC|2)=0.解法二:由于这类求值问题的结果是一个定值,角度对答案无影响,所以不妨设特殊值简化运算.设B=90,C=60,BC=2,以点B为原点,BC的方向为x轴正方向,BP的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(图略).过D作DDBC于D,则B(0,0),C(2,0),A(0,1),D32,32,故M34,12+34,N(1,0),所以MN=14,-12-34,AB=(0,-1),DC=12,-32,AB-DC=-12,-1+32,故MN(
8、AB-DC)=14-12+-12-34-1+32=0.由于P,Q,M,N四点共线,所以可设PM+QN=MN,故原式=0=0.三、解答题8.解析(1)由a+b与a-b互相垂直,可得(a+b)(a-b)=a2-b2=0,所以cos2+2sin2-1=0,又因为sin2+cos2=1,所以(2-1)sin2=0,因为00,所以=1.(2)由(1)知a=(cos ,sin ),由ab=45,得cos cos +sin sin =45,即cos(-)=45,因为02,所以-2-0,所以sin(-)=-1-cos2(-)=-35,所以tan(-)=sin(-)cos(-)=-34,因此tan =tan(-
9、+)=tan(-)+tan1-tan(-)tan=-34+21-342=12.9.解析(1)因为|a|=2,|b|=1,|a-b|=2,所以|a-b|2=4,即a2-2ab+b2=4,即2-2ab+1=4,所以ab=-12.设a与b的夹角为,则cos =ab|a|b|=-1221=-24.(2)设a与b的夹角为,0,.由|a+xb|a+b|,得(a+xb)2(a+b)2,即x2b2+2xab-2ab-b20,因为|a|=2,|b|=1,所以x2+22xcos -22cos -10对一切实数x恒成立.所以=8cos2+82cos +40,即(2cos +1)20,故cos =-22,因为0,所以
10、=34.10.解析解法一:(1)在梯形ABCD中,因为ABCD,AB = 2CD,所以AO = 2OC, AMBD=(AO+OM)BD=AOBD+OMBD=AOBD=23ACBD=23(AD+DC)(AD-AB)=23(AD2-DCAB)=23(4-241)=-83.(2)设AM=AB(01),则AMBD=ABBD=AB(AD-AB)=-AB2=-16=-83,解得=16,即AM=16AB.ANMN=AN(AN-AM)=AN2-ANAM=AN2-|AN|AM|cos 45=AN2-16|AN|AB|cos 45=|AN|2-23|AN|.令|AN|=t,则0t22,ANMN=t2-23t=t-262-118,所以当|AN|=26时, ANMN有最小值-118.解法二:(1)以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.则A(0,0),B(4,0),C(2,2),D(0,2),BD=(-4,2),由相似三角形易得O43,43. 设M(,0),04,则OM=-43,-43,OMBD=-43(-4)+-432=-4+83=0,解得=23.AM=23,0,AMBD=23(-4)+02=-83.(2)设N(a,a),0a2,则ANMN=(a,a)a-23,a=2a2-23a=2a-162-118,所以当a=16时, ANMN有最小值-118.
