1、微专题2对称问题在解析几何中，对称问题主要分为两类：一是中心对称，二是轴对称在本章中，对称主要有以下四种：点点对称、点线对称、线点对称、线线对称，其中后两种可以化归为前两种类型，所以“点关于直线对称”是最重要的类型一、几类常见的对称问题例1已知直线l：y3x3，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标；(2)直线yx2关于l的对称直线的方程；(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程解(1)设点P关于直线l的对称点为P(x，y)，则线段PP的中点在直线l上，且直线PP垂直于直线l，即解得P点坐标为(2,7)(2)解方程组得则点在所求直线上在直线yx2上任取一点M(2,0)，设点M关于直线
2、l的对称点为M(x0，y0)，则解得点M也在所求直线上由两点式得直线方程为，化简得7xy220，即为所求直线方程(3)在直线l上取两点E(0,3)，F(1,0)，则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E(6,1)，F(7,4)因为点E，F在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为，即3xy170.反思感悟对称问题的解决方法(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P(2ax，2by)(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求设l的方程为AxByC0(A2B20)和点P(x0，y0)，则l关于P点的对称直线方程为A(2x0x)B(2y0y)C
3、0.(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”设P(x0，y0)，l：AxByC0(A2B20)，P关于l的对称点Q可以通过条件PQl；PQ的中点在l上来求得(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题二、对称问题的应用例2已知A(4,1)，B(0,4)两点，在直线l：3xy10上找一点M，使得|MA|MB|的值最大，并求此时点M的坐标及最大值解设B(0,4)关于直线l：3xy10的对称点为B(x0，y0)，则解得所以B(3,3)设M为l：3xy10上任意一点，则有|MA|MB|AB|，当且仅当M，B，A三点共线时，上式等号成立，此时|MA|MB|取得最大值|AB|
4、，即|MA|MB|取得最大值|AB|，且|AB|.因为过点A(4,1)，B(3,3)的直线方程为，即2xy90.解方程组得所以直线AB与直线l的交点为M(2,5)所以当点M的坐标为(2,5)时，|MA|MB|取得最大值，且最大值为.例3如图，一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x6y25反射后通过点P(4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程解设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得解得A的坐标为(4,3)反射光线的反向延长线过A(4,3)，又由反射光线过P(4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y3.由方程组解得由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y3.由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由A(4,3)，P(4,3)知，|AP|4(4)8，光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
