1、综合拔高练五年高考练考点1直线方程及其应用1.(2016北京,7,5分,)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为()A.-1B.3C.7D.82.(2019江苏,10,5分,)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x(x0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是. 考点2圆的方程及其应用3.(2018课标全国,6,5分,)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则ABP面积的取值范围是()A.2,6B.4,8C.2,32D.22,324.(2019浙江,12,6分,)已知圆C的圆心坐标是
2、(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=,r=. 5.(2018课标全国,15,5分,)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=.6.(2016课标全国,15,5分,)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=23,则圆C的面积为.7.(2016天津,12,5分,)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为455,则圆C的方程为.8.(2019江苏,18,16分,)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥A
3、B(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB和桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.三年模拟练应用实践1.(2020湖南五市十校高二上期中,)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果,里面证明
4、过这样一个命题:平面内与两定点距离的比值为常数k(k0,k1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中,设A(-3,0),B(3,0),动点M满足|MA|MB|=2,则动点M的轨迹方程为()A.x2+(y-5)2=9B.x2+(y+5)2=9C.(x-5)2+y2=16D.(x+5)2+y2=162.(2020四川成都高二上期末,)圆(x+3)2+(y+4)2=16与圆x2+y2=4的位置关系为()A.相离B.内切C.外切D.相交3.(2020安徽阜阳高二上期末,)“-2a2”是“直线y=x+a与圆x2+y2=4相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条
5、件D.既不充分也不必要条件4.(2020河北保定高二上期末,)若关于x的方程4x-x2-kx+4k-3=0有且只有两个不同的实数根,则实数k的取值范围是()A.512,56B.23,34C.0,512D.512,345.(多选)()设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(kN*).下列四个命题中为真命题的是()A.存在一条定直线与所有的圆均相切B.存在一条定直线与所有的圆均相交C.存在一条定直线与所有的圆均不相交D.所有的圆均不经过原点6.(2020河北唐山一中高二上期中,)过点P(3,6),且被圆x2+y2=25所截弦长为8的直线方程为.易错7.(2020河南信阳高级中学高
6、二上期中,)已知圆N经过点A(3,1),B(-1,3),且它的圆心在直线3x-y-2=0上.(1)求圆N关于直线x-y+3=0对称的圆的方程;(2)若点D为圆N上任意一点,且点C(3,0),求线段CD的中点M的轨迹方程.8.(2020安徽铜陵高二上期末,)已知圆C的圆心坐标为C(3,0),且该圆经过点A(0,4).(1)求圆C的标准方程;(2)若点B也在圆C上,且弦AB的长为8,求直线AB的方程;(3)直线l交圆C于M,N两点,若直线AM,AN的斜率之积为2,求证:直线l过一个定点,并求出该定点的坐标.迁移创新9.(2020广东佛山一中高二上期中,)规定:在桌面上,用母球击打目标球,使目标球运
7、动,球的位置是指球心的位置,我们说球A是指该球的球心点A.两球碰撞后,目标球在两球的球心所确定的直线上运动,目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都简化为平面上半径为1的圆,且母球与目标球有公共点时,目标球就开始运动,在桌面上建立平面直角坐标系,解决下列问题:(1)如图,若母球A的位置为(0,0),目标球B的位置为(4,0),要使目标球B向B(8,-4)处运动,求母球A的球心运动的直线方程;(2)如图,若母球A的位置为(0,-2),目标球B的位置为(4,0),能否让母球A击打目标球B后,使目标球B向B(8,-4)处运动?(3)当A的位置为(0,a)时,
8、使得母球A击打目标球B,目标球B(42,0)运动方向可以碰到目标球C(72,-52),求a的最小值(只需要写出结果即可).图图答案全解全析五年高考练1.C如图,点P(x,y)在线段AB上且A(2,5),B(4,1),设z=2x-y,则y=2x-z,易知-z为y轴上的截距,则当-z最小时,z最大.由图知当直线y=2x-z经过点B(4,1)时,z取得最大值,最大值为24-1=7.2.答案4解析解法一:设Px0,x0+4x0,x00,则点P到直线x+y=0的距离d=x0+x0+4x02=2x0+2x04,当且仅当x0=2x0,即x0=2时取“=”.故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.解法二:作
9、直线x+y=0的平行线x+y+C=0(图略),当直线x+y+C=0与曲线y=x+4x(x0)相切于点P时,点P到直线x+y=0的距离最小,由x+y+C=0,y=x+4x得2x2+Cx+4=0,所以=C2-32=0,解得C=42.因为x0,所以y0,所以C0),则圆心到直线2x-y=0的距离d=|2a-0|4+1=455,解得a=2(负值舍去),半径r=(2-0)2+(0-5)2=3,所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.8.解析解法一:(1)过A作AEBD,垂足为E.由已知条件得,四边形ACDE为矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.因为PBAB,所以cosPBD=sinABE=810
10、=45,所以PB=BDcosPBD=1245=15.因此道路PB的长为15(百米).(2)不能,理由如下:若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处,连接AD,由(1)知AD=AE2+ED2=10,从而cosBAD=AD2+AB2-BD22ADAB=7250,所以BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当OBP90时,在PP1B中,PBP1B=15.由上可知,d15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使
11、得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ=QA2-AC2=152-62=321. 此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当PBAB,点Q位于点C右侧,且CQ=321时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+321)百米.解法二:(1)如图,过O作OHl,垂足为H.以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为x2+y2
12、=25.从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为34.因为PBAB,所以直线PB的斜率为-43,直线PB的方程为y=-43x-253.所以P(-13,9),PB=(-13+4)2+(9+3)2=15.因此道路PB的长为15(百米).(2)若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=45,所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),所以线段AD:y=-34x+6(-4x4).在线段AD上取点M3,154,因为OM=32+154232+42=5,所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上
13、,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当OBP90时,在PP1B中,PBP1B=15.由上可知,d15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由AQ=(a-4)2+(9-3)2=15(a4),得a=4+321,所以Q(4+321,9).此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当P(-13,9),Q(4+321,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+321-(-13)=17+321.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+321)百米.三年模拟练1.C设M(x,y),依题
14、意得,(x+3)2+y2(x-3)2+y2=2,化简得,x2-10x+y2+9=0,配方得,(x-5)2+y2=16.故选C.2.D圆(x+3)2+(y+4)2=16的圆心坐标为(-3,-4),半径r=4,圆x2+y2=4的圆心坐标为(0,0),半径R=2,两圆的圆心距d=(-3-0)2+(-4-0)2=5,r+R=4+2=65,|R-r|=4-2=25,两圆相交.故选D.3.A若直线y=x+a与圆x2+y2=4相交,则圆心到直线的距离d=|a|22,即-22ad,Ck含于Ck+1之中,选项A错误;当k无限增大时,可以认为所有直线都与圆相交,选项C错误;将(0,0)代入圆Ck的方程,则有(-k
15、+1)2+9k2=2k4,即10k2-2k+1=2k4(kN*),因为等号左边为奇数,等号右边为偶数,所以不存在k使上式成立,即所有圆均不经过原点,选项D正确.故选BD.6.答案x=3或3x-4y+15=0解析设圆心到直线的距离为d,依题意得,42+d2=25,d=3.当直线的斜率不存在时,直线方程为x=3,符合题意;当直线的斜率存在时,设其方程为y-6=k(x-3),即kx-y-3k+6=0,d=|-3k+6|k2+1=3,化简得,4k-3=0k=34,此时直线的方程为y-6=34(x-3),即3x-4y+15=0.综上,直线的方程为x=3或3x-4y+15=0.易错警示在设直线的斜率求直线
16、的方程时,不要遗漏斜率不存在的直线.一方面,要能发现“遗漏”:在化简含有k的方程时,若消去二次项,要怀疑直线有“遗漏”的情况;另一方面,要能找回“遗漏”的直线,此时只要直接验证斜率不存在的直线是否符合题意即可.7.解析(1)由已知可设圆心N(a,3a-2),又由已知得|NA|=|NB|,从而有(a-3)2+(3a-2-1)2=(a+1)2+(3a-2-3)2,解得a=2,所以圆N的圆心为N(2,4),半径r=10,所以圆N的方程为(x-2)2+(y-4)2=10,圆心关于x-y+3=0的对称点为(1,5),所以圆N关于直线x-y+3=0对称的圆的方程为(x-1)2+(y-5)2=10.(2)设
17、M(x,y),D(x1,y1),则由C(3,0)及M为线段CD的中点得,x=x1+32,y=y1+02,解得x1=2x-3,y1=2y.又点D在圆N:(x-2)2+(y-4)2=10上,所以(2x-3-2)2+(2y-4)2=10,即x-522+(y-2)2=52,故所求的轨迹方程为x-522+(y-2)2=52.8.解析(1)因为圆经过点A(0,4),所以半径为|AC|=5,所以圆的标准方程为(x-3)2+y2=25.(2)当斜率k不存在时,直线AB的方程为x=0;当斜率k存在时,设直线AB的方程为y=kx+4,B(xB,yB),联立方程y=kx+4,(x-3)2+y2=25,解得xB=-8
18、k-61+k2,yB=-k(8k-6)1+k2+4,又|AB|=8,所以k=-724,所以直线AB的方程为7x+24y-96=0,综上所述,直线AB的方程为x=0或7x+24y-96=0.(3)设直线MN:y=kx+t,M(x1,kx1+t),N(x2,kx2+t),则kAMkAN=kx1+t-4x1kx2+t-4x2=2(k2-2)x1x2+k(t-4)(x1+x2)+(t-4)2=0,联立y=kx+t,(x-3)2+y2=25(k2+1)x2+(2kt-6)x+t2-16=0,所以x1+x2=-(2kt-6)1+k2,x1x2=t2-161+k2,代入得(k2-2)(t2-16)+(kt-
19、4k)(-2kt+6)+(t-4)2(1+k2)=0,化简得k=t6+2,所以直线l的方程为y=t6+2x+t,所以过定点(-6,-12).9.解析(1)过点B(4,0)与点B(8,-4)的直线方程为x+y-4=0,依题意,知A,B两球碰撞时,球A的球心在直线x+y-4=0上,且在第一象限,此时|AB|=2.设A,B两球碰撞时球A的球心坐标为A(a,b),则有a+b-4=0,(a-4)2+b2=2,a0,b0,解得a=4-2,b=2,即A,B两球碰撞时球A的球心坐标为A(4-2,2),所以母球A运动的直线方程为y=24-2x=22+17x.(2)由(1)知,A(4-2,2),又A(0,-2),
20、B(4,0),AA=(4-2,2+2),BA=(-2,2),AABA=(4-2,2+2)(-2,2)=4-220,故AAB为锐角.所以点B(4,0)到线段AA的距离小于2,故球A的球心未到直线BB上的点A之前就会与球B碰撞.故不可能让母球A击打目标球B后,使目标球B向B(8,-4)处运动.(3)a的最小值为-22.要使得a最小,临界条件为母球A从目标球B的左上方A处撞击目标球B后, 目标球B从目标球C的右上方B处撞击目标球C.如图所示,设B(x,y)是目标球B可碰到目标球C的所有路径中最远离BC的那条路径上离目标球C最近的点,则有BBBC,|BC|=2,联立(x-42)(x-72)+y(y+52)=0,(x-72)2+(y+52)2=4,解得x=82,y=-42,B(82,-42),直线CB的倾斜角为45,直线AB的倾斜角为135,易得A(32,2).过A(32,2)作倾斜角为45的直线,交y轴于点A,易得A(-22,0),若a-22,则母球A会在到达A之前就与目标球B碰撞,不合题意.因此a的最小值为-22.
