1、空间向量及其运算的坐标表示【学习目标】课程标准学科素养1.学会空间直角坐标系的建立方法，掌握空间向量的坐标表示2.会判断两向量平行或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式1、直观想象2、数学运算3、数学抽象【自主学习】1.空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底i，j，k，以O为原点，分别以i，j，k方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立，O叫做，i，j，k都叫做。对于空间任意一个向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxe1ye2ze3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作。2
2、. 空间向量的坐标运算空间向量a，b，其坐标形式为a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量运算向量表示坐标表示加法abab减法abab数乘aa数量积abab3. 空间向量的平行、垂直及模、夹角设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则名称满足条件向量表示形式坐标表示形式abab(R)a1b1，a2b2，a3b3(R)abab0ab模|a|a|夹角cosa，bcosa，b【小试牛刀】1已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴，z轴的正方向上的单位向量，且ijk，则点B的坐标是()A(1,1，1) B(i，j，k)C(1，1，1) D不确定2、 判断对错。(1)
3、空间直角坐标系中，向量的坐标与终点B的坐标相同()(2)设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)且b0，则ab.()(3)四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同()(4)设A(0,1，1)，O为坐标原点，则(0,1，1)()【经典例题】题型一空间直角坐标系注意：建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示例1已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PAAD1，建立适当坐标系，求向量的坐标跟踪训练 1 如图在边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，取D点为原点建
4、立空间直角坐标系，O，M分别是AC，DD1的中点，写出下列向量的坐标._，_.题型二空间向量的坐标运算例2 （1）设a(1，1，3)，b(2，1，2)，则a2b_.（2） 设a(1，1，1)，b(2，0，1)，则cosa，b_.（3）已知点A(1，2，0)，B(1，0，2)，则|_.跟踪训练 2 若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，且满足条件(ca)(2b)2，则x_.题型三空间向量坐标运算的运用例3 设a(1,5，1)，b(2,3,5)(1)若(kab)(a3b)，求k；(2)若(kab)(a3b)，求k.跟踪训练 3 已知正三棱柱ABCA1B1C1，底面边长AB2，
5、AB1BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.【当堂达标】1.已知向量a(0，2，1)，b(1，1，2)，则a与b的夹角为()A.0 B.45 C.90 D.1802.设O为坐标原点，M(5，1，2)，A(4，2，1)，若，则点B应为()A.(1，3，3) B.(9，1，1)C.(1，3，3) D.(9，1，1)3若ABC的三个顶点坐标分别为A(1，2,1)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则ABC的形状是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等边三角形4已知a(2，3,1)，则下
6、列向量中与a平行的是()A(1,1,1) B(4,6，2) C(2，3,5) D(2，3,5)5已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是()A1 B.C.D.6.已知a(1t，1t，t)，b(2，t，t)，则|ab|的最小值为()A. B. C. D.7.已知A(2,3,1)，B(2，5,3)，C(8,1,8)，D(4,9,6)，求证：四边形ABCD为平行四边形8.设O为坐标原点，向量(1，2，3)，(2，1，2)，(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，求点Q的坐标.【参考答案】【自主学习】1.空间直角坐标系Oxyz原点坐标向量p(x，
7、y，z)2. a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)(a1，a2，a3)a1b1a2b2a3b33.a1b1a2b2a3b30【小试牛刀】1.D解析由ijk只能确定向量(1,1，1)，而向量的起点A的坐标未知，故终点B的坐标不确定2.（1）（2）（3）（4）【经典例题】例1 解以AD，AB，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示，则M(0，0)，N(，)(，0，)跟踪训练 1(2,0,1)(1,1,2)解析A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，B1(2,2,2)，(0,0,1)(2,0,0)(2,0,1)，(1,1,2)例2（1）(3，1，7)解
8、析a2b(1,1,3)2(2，1，2)(1，1，3)(4，2，4)(3，1，7).（2）解析cosa，b.（3）2解析|2.跟踪训练 2 2 解析据题意，有ca(0,0,1x),2b(2,4,2)，故(ca)2b2(1x)2,解得x2.例3 解 (1)kab(k2,5k3，k5)，a3b(132,533，135)(7，4，16)因为(kab)(a3b)，所以，解得k.(2) 因为(kab)(a3b)，所以(k2)7(5k3)(4)(k5)(16)0，解得k.跟踪训练 3 解(1)设侧棱长为b,则A(0，1，0)，B1(，0，b)，B(，0，0)，C1(0，1，b)，所以(，1，b)，(，1，b
9、).因为AB1BC1，所以(，1，b)(，1，b)()212b20，解得b.故侧棱长为.(2)由(1)知(，1，)，(，1，0)，因为|，|2，(，1，)(，1，0)()2112，所以cos，.所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为.【当堂达标】1. C 解析cosa，b0，0a，b180，a，b90.2. B 解析设B(x，y，z)，由得(5，1，2)(x4，y2，z1)，3.A解析(3,4,2)，(5,1,3)，(2，3,1)由0，得A为锐角；由0，得C为锐角；由0，得B为锐角所以ABC为锐角三角形4.B解析若b(4,6，2)，则b2(2，3,1)2a，所以ab.5.D解析依题意得(ka
10、b)(2ab)0，所以2k|a|2kab2ab|b|20，而|a|22，|b|25，ab1，所以4kk250，解得k.6. C 解析ab(1t，1t，t)(2，t，t)(1t，12t，0)，|ab|，|ab|min.7.证明设O为坐标原点，依题意=（-2，3，1），=（2，-5，3），= = (2, 5,3) (2,3,1) = (4, 8 , 2).同理可得= (4,8,2), = (6,6,5),= (6,6,5).由 =， =，可知，所以四边形ABCD是平行四边形. 8. 解设，(1，2，3)(1，1，2)(1，2，32)，(2，1，2)(1，1，2)(2，1，22)，则(1，2，32)(2，1，22)(1)(2)(2)(1)(32)(22)621610，当时，取得最小值.又(1，1，2).所以，所求点Q的坐标为.
