1、综合提升A级基础巩固1.已知平面的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面内,则平面外一点P(-2,1,4)到的距离为()A.10B.3C.83D.103解析:由题意,知PA=(1,2,-4).因为平面的一个法向量为n=(-2,-2,1),所以点P到的距离为(1,2,-4)(-2,-2,1)4+4+1=-2-4-43=103.答案:D2.如图,这个立体图形是由正四棱锥P-ABCD和正方体ABCD-A1B1C1D1组成的,其中AB=2,PA=6,则点B1到平面PAD的距离为()A.6B.355C.655D.322解析:如图,建立空间直角坐标系,设平面PAD的法向量是n=(x
2、,y,z).由题意,知B1(2,0,0),A(0,0,2),D(0,2,2),P(1,1,4),所以AD=(0,2,0),AP=(1,1,2),所以ADn=0,APn=0.所以2y=0,x+y+2z=0,取z=1,得x=-2,y=0.所以n=(-2,0,1)是平面PAD的一个法向量.因为B1A=(-2,0,2),所以点B1到平面PAD的距离d=|B1An|n|=655.答案:C3.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1C与平面A1C1D的距离d是()A.36B.33C.233D.32解析:如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,连接BD1,BD,BD交AC于点E,则
3、B(1,1,0),D(0,0,0),D1(0,0,1),E12,12,0.因为DD1AC,ACBD,所以AC平面D1DB,所以BD1AC.同理可证BD1AB1.因为ACAB1=A,所以BD1平面AB1C,即BD1是平面AB1C的一个法向量.因为平面AB1C平面A1C1D,所以点D到平面AB1C的距离即为两平面之间的距离.因为DE=12,12,0,BD1=(-1,-1,1),所以d=|DEBD1|BD1|=12(-1)+12(-1)+011+1+1=33.故选B.答案:B4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,F,G分别是AB,CC1的中点,则点D1到直线GF
4、的距离为423.解析:如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则D1(0,0,2),F(1,1,0),G(0,2,1),所以GF=(1,-1,-1),GD1=(0,-2,1),所以GFGD1|GF|=2-13=33,|GD1|=5,所以点D1到直线GF的距离为5-13=423.5.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN到平面ACD1的距离为32.解析:如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则平面ACD1的一个法向量为(1,1,1),由
5、题意,知M1,1,12,A(1,0,0),所以AM=0,1,12,所以点M到平面ACD1的距离为d=0,1,12(1,1,1)3=32.易知MNAD1,又因为MN平面ACD1,AD1平面ACD1,所以MN平面ACD1,所以MN到平面ACD1的距离为32.6.如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,ABC=4,OA底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.(1)求异面直线AB与MD夹角的大小;(2)求点B到平面OCD的距离.解:如图,作APCD于点P,以A为坐标原点,AB,AP,AO所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),P0,
6、22,0,D-22,22,0,O(0,0,2),M(0,0,1).(1)设异面直线AB与MD的夹角为,因为AB=(1,0,0),MD=-22,22,-1,所以cos =|ABMD|AB|MD|=12,所以=3.所以异面直线AB与MD夹角的大小为3.(2)因为OP=0,22,-2,OD=-22,22,-2,设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),则nOP=0,nOD=0,得22y-2z=0,-22x+22y-2z=0.取z=2,则x=0,y=4,所以n=(0,4,2)是平面OCD的一个法向量.设点B到平面OCD的距离为d.因为OB=(1,0,-2),所以d=|OBn|n|=23,所以点B到平面
7、OCD的距离为23.B级拓展提高7.在空间直角坐标系中,定义平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,DR,且A,B,C不同时为零),点P(x0,y0,z0)到平面的距离d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2,则在底面边长与高都为2的正四棱锥中,底面中心O到侧面的距离等于()A.55B.255C.2D.5解析:如图,作出正四棱锥P-ABCD,以底面中心O为坐标原点,建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),A(1,1,0),B(-1,1,0),P(0,0,2).设平面PAB的方程为Ax+By+Cz+D=0,将点A,B,P的坐标代入计算,可得A=0,B=-D,C=-12D,
8、所以平面PAB的方程为-Dy-12Dz+D=0,即2y+z-2=0,所以点O到侧面的距离d=|20+0-2|22+12=255.答案:B8.如图,P是正方形ABCD所在平面外一点,且PDAD,PDDC,PD=3,AD=2,若M是AB的中点,则点M到平面PAC的距离d为32222.解析:如图,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,3),M(2,1,0).设n=(x,y,z)为平面PAC的法向量.因为PA=(2,0,-3),PC=(0,2,-3),由nPA=0,nPC=0,得2x-3z=0,2y-3z=0,所以x=3z2,y=3z2,取z=2,则x=y=3.所以n=
9、(3,3,2)为平面PAC的一个法向量.因为MA=(0,-1,0),所以d=|nMA|n|=322=32222,所以点M到平面PAC的距离d为32222.9.如图,在四面体ABCD中,O为BD的中点,AB=AD=2,CA=CB=CD=BD=22,AO平面BCD,则点D到平面ABC的距离为2427.解析:如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,6,0),D(-2,0,0),所以AB=(2,0,-2),BC=(-2,6,0).设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则ABn=0,BCn=0,即2x-2z=0,-2x+6y=0,令y=1,则x=3,z
10、=3.所以n=(3,1,3)是平面ABC的一个法向量.又因为AD=(-2,0,-2),所以点D到平面ABC的距离d=|ADn|n|=|-23-23|3+1+3=2427.10.如图,平面PAD平面ABCD,四边形ABCD为正方形,PAD=90,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,PD的中点.问:线段CD上是否存在一点Q,使得点A到平面EFQ的距离为45?若存在,求出CQ的值;若不存在,请说明理由.解:由题意,知PA,AD,AB两两垂直.如图,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),E(0,0,1),F(0,1,1).假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件,令CQ=m(0m2
11、),则DQ=2-m.所以点Q的坐标为(2-m,2,0),所以EQ=(2-m,2,-1).因为EF=(0,1,0),设平面EFQ的法向量为n=(x,y,z),则nEF=0,nEQ=0,所以y=0,(2-m)x+2y-z=0,令x=1,则y=0,z=2-m.所以n=(1,0,2-m)是平面EFQ的一个法向量.因为AE=(0,0,1),所以点A到平面EFQ的距离d=|AEn|n|=|2-m|1+(2-m)2=45,即(2-m)2=169,所以m=23或m=103(舍去).故存在点Q,使得点A到平面EFQ的距离为45,此时,CQ=23.C级挑战创新11.多空题如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱
12、长为a,则直线AB1与平面BDC1的距离为33a,异面直线AB1与BC1的距离为33a.解析:如图,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),B1(a,a,a),C1(0,a,a),所以AB1=DC1=(0,a,a),DB=(a,a,0).所以AB1DC1,所以AB1平面BDC1.设平面BDC1的一个法向量为n=(x,y,1),则nDC1=0,nDB=0,即ay+a=0,ax+ay=0,解得x=1,y=-1.所以n=(1,-1,1).因为AB=(0,a,0),AB1平面BDC1,所以直线AB1到平面BDC1的距离为|ABn|n|=33a.因为BC1=(-a,0
13、,a),所以n=(1,-1,1)是两异面直线AB1与BC1的公垂线的方向向量.因为AAB1,BBC1,AB=(0,a,0),所以两异面直线AB1与BC1的距离为|ABn|n|=33a.12.多空题如图所示,多面体是由底面为ABCD的长方体被平行四边形AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.则BF的长为26,点C到平面AEC1F的距离为43311.解析:如图,建立空间直角坐标系,则B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).设F(0,0,z).由题意,知四边形AEC1F为平行四边形,所以由AF=EC1,得(-2,0,z
14、)=(-2,0,2).所以z=2,所以F(0,0,2).所以BF=(-2,-4,2).所以|BF|=26,即BF的长为26.设n1为平面AEC1F的一个法向量,显然n1不垂直于平面ADF.因为AE=(0,4,1),AF=(-2,0,2),所以可设n1=(x,y,1),则由n1AE=0,n1AF=0,得4y+1=0,-2x+2=0,所以x=1,y=-14.所以n1=1,-14,1.因为CC1=(0,0,3),设CC1与n1的夹角为,则cos =CC1n1|CC1|n1|=331+116+1=43333.所以点C到平面AEC1F的距离为d=|CC1|cos =343333=43311.13.多空题
15、如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,BAC=90,M为BB1的中点,N为BC的中点.则点M到直线AC1的距离为322,点N到平面MA1C1的距离为355.解析:如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,2),M(2,0,1),C1(0,2,2),N(1,1,0),所以直线AC1的一个单位方向向量为s0=0,22,22,AM=(2,0,1),故点M到直线AC1的距离为|AM|2-|AMs0|2=5-12=322.因为A1C1=(0,2,0),A1M=(2,0,-1),设平面MA1C1的法向量为n=(x,y,z),则nA1C1=0,nA1M=0,即2y=0,2x-z=0,取x=1,得y=0,z=2,故n=(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量,与n同向的单位法向量为n0=55,0,255.因为MN=(-1,1,-1),所以点N到平面MA1C1的距离d=|MNn0|=355.
