1、综合提升A级基础巩固1.双曲线x2-y2m=1的离心率大于2的充分必要条件是()A.m12B.m1C.m1D.m2解析:由题意,知a=1,b=m,则c=1+m.因为e=ca=1+m2,所以m1.答案:C2.若双曲线x2-my2=1的实轴长是虚轴长的2倍,则m等于()A.14B.12C.2D.4解析:双曲线x2-my2=1的实轴长为2,虚轴长为21m.由题意,可得2=41m,解得m=4.答案:D3.若双曲线的实轴和虚轴等长,且过点(5,3),则双曲线方程为()A.x225-y225=1B.x29-y29=1C.y216-x216=1D.x216-y216=1解析:由题意,知所求双曲线是等轴双曲线
2、,设其方程为x2-y2=(0),将点(5,3)代入方程,可得=52-32=16,所以双曲线方程为x2-y2=16,即x216-y216=1.答案:D4.若0k0,b0)的一条渐近线为y=2x,则双曲线C的离心率为3.解析:由双曲线C的方程可得其渐近线的方程为y=bax,由题意可得ba=2,所以离心率e=ca=1+b2a2=3.6.焦点为(0,6),且与双曲线x22-y2=1有相同的渐近线的双曲线方程是y212-x224=1.解析:由待求双曲线与x22-y2=1有相同的渐近线,且焦点在y轴上,可设所求双曲线方程为x22-y2=(0),即x22-y2=1(0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点
3、P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,求此双曲线的离心率e的最大值.解:因为点P在双曲线的右支上,所以由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a.因为|PF1|=4|PF2|,所以4|PF2|-|PF2|=2a,所以|PF2|=23a.根据点P在双曲线的右支上,可得|PF2|=23ac-a,所以53ac,即e53,所以双曲线的离心率e的最大值为53.B级拓展提高8.若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,则点(4, 0)到双曲线C的渐近线的距离为()A.2B.2C.322D.22解析:由题意,得e=ca=2.又因为c2=a2+b2,所以a2=b2.因为a0,
4、b0,所以a=b,所以双曲线C的渐近线方程为xy=0,点(4,0)到渐近线的距离为42=22.答案:D9.若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则双曲线C的方程为()A.x28-y210=1B.x24-y25=1C.x25-y24=1D.x24-y23=1解析:双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=bax.由题意,知椭圆的焦点为(3,0),(-3,0),即双曲线C的焦点为(3,0),(-3,0),据此可得ba=52,c2=a2+b2,c=3,解得a2=4,b2=5.所以双曲线C的方程为x2
5、4-y25=1.答案:B10.已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为双曲线C的右焦点,过F的直线与双曲线C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|=()A.32B.3C.23D.4解析:由已知,得a2=3,b2=1,所以c2=a2+b2=4,所以点F的坐标为(2,0),双曲线C的渐近线方程为y=33x.如图,设两条渐近线的夹角为2,则有tan =33,所以=30,所以MON=2=60.又因为OMN为直角三角形,双曲线具有对称性,不妨设MNON.在RtONF中,|OF|=2,则|ON|=3.在RtOMN中,|MN|=|ON|tan 2=3tan 60=3.答案
6、:B11.(全国卷)已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,A为双曲线C的右顶点,B为双曲线C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则双曲线C的离心率为2.解析:因为F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点(c,0),A为C的右顶点(a,0),B为双曲线C上的点,且BF垂直于x轴,所以Bc,b2a.由AB的斜率为3,可得b2a-0c-a=3.把b2=c2-a2代入上式化简可得c2=3ac-2a2,结合e=ca,可得e2-3e+2=0,且e1,解得e=2.12.中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x-5)2+y2=16相切.(1)求
7、双曲线的离心率;(2)若P(3,-4)是渐近线上一点,F1,F2是双曲线的左、右焦点,且PF1PF2,求双曲线的方程.解:(1)设经过第一、三象限的双曲线的渐近线的方程为y=kx,则5kk2+1=4,且k0,解得k=43.若双曲线的焦点在x轴上,则ba=43,e=53;若双曲线的焦点在y轴上,则ab=43,e=54.故所求双曲线的离心率为e=53或e=54.(2)由题意,设F1(-c,0),F2(c,0)(c0).由PF1PF2,得F1PF2P=0.所以(3+c)(3-c)+16=0,解得c=5.由(1),知ba=43,又因为a2+b2=c2=25,所以a=3,b=4,所以双曲线的方程为x29
8、-y216=1.13.双曲线x2a2-y2b2=1(a1,b0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s45c,求双曲线的离心率e的取值范围.解:由题意,知直线l的方程为xa+yb=1,即bx+ay-ab=0.因为a1,所以点(1,0)到直线l的距离d1=b(a-1)a2+b2,点(-1,0)到直线l的距离d2=b(a+1)a2+b2,所以s=d1+d2=2aba2+b2=2abc.由s45c,得2abc45c,即5ac2-a22c2,于是有5e2-12e2,即4e4-25e2+250,解得54e25.因为e1,所以离心率
9、e的取值范围是52e5.C级挑战创新14.多选题若F1,F2分别是双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且向量PF1PF2=0,则下列结论正确的是()A.双曲线C的渐近线方程为y=xB.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1C.F1到双曲线的一条渐近线的距离为1D.PF1F2的面积为1解析:A项,由题意,得双曲线C的渐近线方程为y=x,正确.B项,由题意,得F1(-2,0),F2(2,0),则以F1F2为直径的圆的方程是x2+y2=2,错误.C项,F1(-2,0)到渐近线y=x的距离为1,正确.D项,由题意,得F1(-2,0),F2(2,0),设P(x0
10、,y0),根据点P在双曲线上,及PF1PF2=0,得(-2-x0)(2-x0)+y02=0,x02-y02=1,解得x0=62,y0=22,所以PF1F2的面积为122222=1,正确.答案:ACD15.多选题若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线上的点M(-1,3)关于另一条渐近线的对称点恰为双曲线的右焦点F,P是双曲线上的动点,则|PM|+|PF|的值可能为()A.4B.43C.2D.23解析:由双曲线方程得渐近线方程为y=bax.因为点M(-1,3)在渐近线上,所以渐近线方程为y=3x.设坐标原点为O,则|OM|=|OF|,所以c=1+3=2.当P,M,F三点共线且P在双曲线的右支上时,|PM|+|PF|最小,所以(|PM|+|PF|)min=|MF|=(2+1)2+(0-3)2=23.又因为P为双曲线上的动点,所以|PM|+|PF|无最大值.因为A,B,D选项中的值均不小于23,C选项中的值小于23,所以A,B,D选项中的值均有可能取得.答案:ABD16.多空题若双曲线C的两个焦点为(-2,0),(2,0),一个顶点是(1,0),则双曲线C的方程为x2-y2=1,渐近线方程为y=x.解析:根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,所以a=1,c=2,所以b2=c2-a2=1,所以双曲线方程为x2-y2=1,渐近线方程为y=x.
