1、本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若直线经过A(1,0),B(4,3)两点,则直线AB的倾斜角为()A.30B.45C.60D.1202.过点P(-1,3)且倾斜角为30的直线方程为()A.3x-3y+43=0B.3x-y+23=0C.3x-3y+23=0D.3x-y=03.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为()A.(x-2)2+(y+2)2=1B.(x+2)2+(y-2)2=1C.(x-2)2+(y-2
2、)2=1D.(x-2)2+(y-1)2=14.已知圆C1:x2+y2-6x+4y+12=0与圆C2:x2+y2-14x-2y+a=0,若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点,则实数a等于()A.14B.34C.14或45D.34或145.若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,则a=()A.2或-1B.-1C.2D.236.若直线ax+by=ab(a0,b0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为()A.1B.2C.4D.87.已知圆O:x2+y2=r2,点P(a,b)(ab0)是圆O内一点,过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1,直线l2的
3、方程为ax+by+r2=0,那么()A.l1l2,且l2与圆O相离B.l1l2,且l2与圆O相切C.l1l2,且l2与圆O相交D.l1l2,且l2与圆O相离8.已知圆C的圆心为原点O,且与直线x+y+42=0相切.点P在直线x=8上,过点P引圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如图所示,则直线AB恒过定点的坐标为()A.(2,0)B.(0,2)C.(1,0)D.(0,1)二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.下列说法错误的是()A.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0
4、与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件B.直线xsin+y+2=0的倾斜角的取值范围是0,434,C.过(x1,y1),(x2,y2)两点的所有直线的方程为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=010.在平面直角坐标系Oxy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值可以是()A.1B.2C.3D.411.已知直线xsin+ycos+1=0(R),则下列命题正确的是()A.直线的倾斜角是-B.无论如何变化,直线不过原点C.无论如何变化,直线总和
5、一个定圆相切D.当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积不小于112.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则下列说法错误的是()A.y-x的最大值为6-2B.x2+y2的最大值为7+43C.yx的最大值为32D.x+y的最大值为2+3三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线,则这两条切线的夹角等于度.14.在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是.15.已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点P(1,3)到直线l的距离为
6、2,则直线l的条数为. 16.已知直线l:y=k(x+4)与圆(x+2)2+y2=4相交于A、B两点,M是线段AB的中点,则M的轨迹方程为;M到直线3x-4y-6=0的距离的最小值为.(本题第一空3分,第二空2分)四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)直线l经过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点.(1)若直线l与直线3x+y-1=0平行,求直线l的方程;(2)若点A(3,1)到直线l的距离为5,求直线l的方程.18.(本小题满分12分)等腰直角ABC的直角为角C,且点C(0,-1),斜边AB所在的直线方
7、程为x+2y-8=0.(1)求ABC的面积;(2)求斜边AB中点D的坐标.19.(本小题满分12分)已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.(1)若此方程表示圆,求m的取值范围;(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M,N两点,且OMON(O为坐标原点),求m的值.20.(本小题满分12分)已知ABC中,BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,A的平分线所在的直线方程为y=0,点C的坐标为(1,2).(1)求点A和点B的坐标;(2)过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M、N,求MON(O为坐标原点)的面积最小值及此时直线l的方程.21.(本小题满分12分)在平面直角坐标
8、系Oxy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4与圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为23,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,且满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.22.(本小题满分12分)在平面直角坐标系Oxy中,直线l:x-3y-4=0交x轴于点M,以O为圆心的圆与直线l相切.(1)求圆O的方程;(2)设点N(x0,y0)为直线y=-x+3上一动点,若在圆O上存在点P,使得ONP=45
9、,求x0的取值范围;(3)是否存在定点S,对于经过点S的直线a,当a与圆O交于A,B两点时,恒有AMO=BMO?若存在,求出点S的坐标;若不存在,请说明理由.答案全解全析一、单项选择题1.A由A、B的坐标得kAB=3-04-1=33,因此直线AB的倾斜角为30,故选A.2.A由倾斜角为30知,直线的斜率k=33,因此,其直线方程为y-3=33(x+1),化简得,3x-3y+43=0,故选A.3.A圆C1的圆心为C1(-1,1),设圆C2的圆心为C2(a,b),依题意得a-12-b+12-1=0,b-1a+1=-1,解得a=2,b=-2,又圆C2的半径与圆C1的半径相等,所以圆C2的方程为(x-
10、2)2+(y+2)2=1.故选A.4.D设圆C1、圆C2的半径分别为r1、r2.圆C1的方程可化为(x-3)2+(y+2)2=1,圆C2的方程可化为(x-7)2+(y-1)2=50-a.由两圆相切得,|C1C2|=r1+r2或|C1C2|=|r1-r2|,|C1C2|=42+32=5,r2+1=5或|1-r2|=5r2=4或r2=6或r2=-4(舍去).因此,50-a=16或50-a=36a=34或a=14,故选D.5.B依题意得,a(a-1)-21=0,2(a2-1)-6(a-1)0,解得,a=-1或a=2,因为a=-1适合不等式,a=2不适合,所以a=-1,故选B.6.C易知直线在x轴、y
11、轴上的截距之和为a+b.直线ax+by=ab(a0,b0)过点(1,1),a+b=ab,即1a+1b=1,a+b=(a+b)1a+1b=2+ba+ab2+2baab=4,当且仅当ba=ab,即a=b=2时取等号,直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.7.A点P(a,b)在圆O内部,a2+b2r2|r|=|r|,l2与圆O相离.8.A依题意得圆C的半径r=4212+12=4,所以圆C的方程为x2+y2=16.因为PA,PB是圆C的两条切线,所以OAAP,OBBP,所以A,B在以OP为直径的圆上,设点P的坐标为(8,b),bR,则线段OP的中点坐标为4,b2,所以以OP为直径的圆的方程为(x-
12、4)2+y-b22=42+b22,bR,化简得x2+y2-8x-by=0,bR,因为AB为两圆的公共弦,所以直线AB的方程为8x+by=16,bR,即8(x-2)+by=0,所以直线AB恒过定点(2,0).二、多项选择题9.ACD当a=0时,两直线方程分别为y=1和x=2,此时也满足直线相互垂直,故A说法错误;直线的斜率k=-sin,则-1k1,即-1tan1,则0,434,故B说法正确;当x1=x2或y1=y2时,直线方程为x=x1或y=y1,此时直线方程y-y1y2-y1=x-x1x2-x1不成立,故C说法错误;若直线过原点,则直线方程为y=x,此时也满足条件,故D说法错误,故选ACD.1
13、0.AB过P点作圆的两条切线,切点分别是A,B,依题意得,四边形PACB是正方形,又C:(x-2)2+y2=4,|PC|=2|AC|=22,P点在以C(2,0)为圆心,22为半径的圆上.其方程为(x-2)2+y2=8.依题意得,直线y=k(x+1)与圆(x-2)2+y2=8有公共点,|2k+k|k2+122,解得k2-80-22k22.故选项AB正确.11.BCD根据直线倾斜角的范围为0,),而-R,所以A不正确;当x=y=0时,xsin+ycos+1=10,所以直线必不过原点,B正确;由点到直线的距离公式得原点到直线的距离为1,所以直线总和单位圆相切,C正确;当直线和两坐标轴都相交时,它和坐
14、标轴围成的三角形的面积为S=121-sin1-cos=1|sin2|1,所以D正确,故选BCD.12.CD对于A,设z=y-x,则y=x+z,z表示直线y=x+z的纵截距,当直线与圆(x-2)2+y2=3有公共点时,|2+z|23,解得-6-2z6-2,所以y-x的最大值为6-2,故A说法正确;对于B,x2+y2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方,易知原点到圆心的距离为2,则原点到圆上的最大距离为2+3,所以x2+y2的最大值为(2+3)2=7+43,故B说法正确;对于C,yx的几何意义是表示圆上的点与原点连线的斜率,则yx的最大值为tan60=3,故C说法错误;对于D,设m=x+y,则
15、y=-x+m,m表示直线y=-x+m的纵截距,当直线与圆(x-2)2+y2=3有公共点时,|-2+m|23,解得-6+2m6+2,所以x+y的最大值为6+2,故D说法错误.故选CD.三、填空题13.答案60解析如图,圆的方程可化为x2+(y-6)2=9,圆心为P(0,6),半径为3,过原点O作圆P的两条切线,切点分别为A,B.在RtPAO中,|OP|=6,|PA|=3,所以AOP=30,故这两条切线的夹角为60.14.答案(2,4)解析如图,设平面直角坐标系中任一点P,P到A,B,C,D的距离之和为PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PCBD+AC,故四边形ABCD的对角线的交点Q即为所
16、求距离之和最小的点.易知直线AC的方程为y=2x,直线BD的方程为x+y-6=0,解方程组y=2x,x+y-6=0得x=2,y=4,故填(2,4).15.答案4解析由题意知,若直线l在两坐标轴上的截距为0,则设所求直线l的方程为y=kx.由题意知|k-3|k2+1=2,解得k=1或k=-7,此时直线l的方程为x-y=0或7x+y=0.若直线l在两坐标轴上的截距不为0,则设所求直线l的方程为x+y-a=0(a0).由题意知|1+3-a|12+12=2,解得a=2或a=6,此时直线l的方程为x+y-2=0或x+y-6=0.综上,所求直线l的方程为x-y=0或7x+y=0或x+y-2=0或x+y-6
17、=0,故有4条直线.16.答案(x+3)2+y2=1(x-4);2解析圆(x+2)2+y2=4的圆心C(-2,0),半径r=2,则圆心C到直线y=k(x+4)的距离d=|-2k+4k|k2+1=|2k|k2+10,m5.(5分)(2)由x2+y2-2x-4y+m=0,x+2y-4=0消去x,得(4-2y)2+y2-2(4-2y)-4y+m=0,(6分)化简得5y2-16y+m+8=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=165,y1y2=m+85.(8分)由OMON得y1y2+x1x2=0,即y1y2+(4-2y1)(4-2y2)=0,16-8(y1+y2)+5y1y2=0,(
18、10分)将代入上式得16-8165+5m+85=0,解得m=85.(12分)20.解析(1)因为点A在BC边上的高所在的直线x-2y+1=0上,且在A的平分线所在的直线y=0上,所以解方程组x-2y+1=0,y=0,得A(-1,0).(2分)因为BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,所以kBC=-2,因为点C的坐标为(1,2),所以直线BC的方程为2x+y-4=0,(4分)因为kAC=1,kAB=-kAC=-1,所以直线AB的方程为x+y+1=0,解方程组x+y+1=0,2x+y-4=0,得B(5,-6),故点A,点B的坐标分别为(-1,0),(5,-6).(6分)(2)依题意得直线的
19、斜率存在,设直线l的方程为y-2=k(x-1)(k0),则Mk-2k,0,N(0,2-k),所以SMON=12k-2k(2-k)=124-k-4k124+2-4k(-k)=4,(10分)当且仅当-4k=-k,即k=-2时取等号,所以(SMON)min=4,此时直线l的方程是2x+y-4=0.(12分)21.解析(1)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,所以圆心C1(-3,1)到直线l的距离d=|-3k-1-4k|k2+(-1)2=4-2322=1,(2分)化简得24k2+7k=0,解得k=0或k=-724.(3分)所以直线l的方程为y=0或y=-
20、724(x-4),即y=0或7x+24y-28=0.(5分)(2)设点P的坐标为(m,n),不妨设直线l1,l2的方程分别为y-n=k(x-m),y-n=-1k(x-m),即kx-y+n-km=0,-1kx-y+n+mk=0.(6分)因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,两圆的半径也相等,所以圆心C1(-3,1)到直线l1的距离与圆心C2(4,5)到直线l2的距离相等,即|-3k-1+n-km|k2+(-1)2=-4k-5+n+mk-1k2+(-1)2,(8分)化简得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5,关于k的方程有无穷多解,则2-m-n=0,
21、m-n-3=0或m-n+8=0,m+n-5=0,(10分)解得m=52,n=-12或m=-32,n=132,故满足条件的点P的坐标为52,-12或-32,132.(12分)22.解析(1)由直线l:x-3y-4=0,得原点到直线的距离d=41+3=2,故圆O的方程为x2+y2=4.(4分)(2)过N 作圆O的切线,切点为Q,如图所示,图则ONQONP=45,sinONQ=|OQ|ON|sinONP=22,|ON|22.(6分)由点N(x0,y0)为直线y=-x+3上一动点,得x02+y02=x02+(3-x0)28,解得3-72x03+72.(8分)(3)存在定点S(1,0),使得AMO=BM
22、O恒成立,如图所示.图设直线AB:y=kx+m(k0),直线AB与圆O的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程y=kx+m,x2+y2=4,得(1+k2)x2+2kmx+m2-4=0,则x1+x2=-2km1+k2,x1x2=m2-41+k2,由AMO=BMO,得kAM+kBM=0,由M(4,0),得2kx1x2+(m-4k)(x1+x2)-8m=0,2km2-41+k2+(m-4k)-2km1+k2-8m=0,化简得m=-k.此时直线AB:y=kx-k,恒过定点S(1,0).(10分)当直线AB的斜率不存在时,由圆的对称性知直线过S(1,0)时也满足AMO=BMO.由此存在定点S(1,0),使得AMO=BMO恒成立.(12分)
