1、专题强化练6椭圆的综合运用一、选择题1.(2020安徽阜阳高二上期末,)已知焦点在x轴上的椭圆x2m+y24=1的离心率为22,则实数m=()A.2B.8C.4+22D.4-222.()已知椭圆x25+y24=1,则以点M(-1,1)为中点的弦所在直线的方程为()A.4x+5y-1=0B.4x-5y+9=0C.5x-4y+9=0D.5x+4y-1=03.(2020海南海口海南中学高二上期中,)已知P是椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)上异于点A(-a,0),B(a,0)的一点,E的离心率为32,则直线AP与BP的斜率之积为()A.-34B.34C.-14D.144.()已知F是椭圆E:x
2、24+y2=1的右焦点,直线x-my=0与E交于A,B两点,则ABF的周长的取值范围为()A.(2,4)B.2,4)C.(6,8)D.6,8)5.(2020湖南五市十校高二上期中,)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左,右焦点分别为F1,F2,以F2为圆心的圆过椭圆C的中心,且与C在第一象限交于点P,若直线PF1恰好与圆F2相切于点P,则C的离心率为()A.3-1B.3-12C.22D.5-12二、填空题6.(2020河北石家庄二中高二上期中,)已知点P是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上的一点,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,F1PF2=120,且|PF1|=3|PF2|,
3、则椭圆的离心率为.7.()设F1,F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为.8.(2020广东惠州高二上期末,)椭圆x29+y225=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,则m的最大值为,此时点P的坐标为.三、解答题9.()已知椭圆E的中心为坐标原点O,焦点在坐标轴上,且经过点A(2,0),B(0,1).(1)求E的方程;(2)过点(1,0)作倾斜角为45的直线l,l与E相交于P,Q两点,求OPQ的面积.10.(2020福建漳州高二上期末质量检测,)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,A
4、(a,0),B(0,b),O(0,0),OAB的面积为3.(1)求椭圆C的方程;(2)过右焦点F作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P,Q两点,连接AP,AQ,分别交直线x=3于M,N两点,若直线MF,NF的斜率分别为k1,k2,试问:k1k2是不是定值?若是,求出该值,若不是,请说明理由.答案全解全析一、选择题1.B由题意,得a=m,b=2,则c=m-4,所以椭圆的离心率e=ca=m-4m=22,解得m=8.故选B.2.B设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),则4x12+5y12=20,4x22+5y22=204(x1+x2)(x1-x2)+5(y1+y2)(y1-y2)=0.又x1+x
5、2=-2,y1+y2=2,代入上式得-8(x1-x2)+10(y1-y2)=0,kAB=y2-y1x2-x1=45.因此弦所在直线的方程为y-1=45(x+1),即4x-5y+9=0.故选B.3.C设P(x,y),则y2=b21-x2a2.由e=ca=32,得c3=a2,设c3=a2=t0,则a=2t,c=3t,b=t.又直线AP的斜率kAP=y-0x+a,直线BP的斜率kBP=y-0x-a,kAPkBP=yx+ayx-a=y2x2-a2=b21-x2a2x2-a2=-b2a2=-t24t2=-14,故选C.4.D记椭圆E:x24+y2=1的左焦点为F,则四边形AFBF为平行四边形(如图所示)
6、,ABF的周长等于|AB|+|AF|+|BF|=|AB|+|AF|+|AF|=|AB|+2a,又|AB|2b,2a),故ABF的周长的取值范围为|AB|+2a2a+2b,4a)=6,8).5.A如图所示,依题意得F1PF2=90,|PF2|=c,|PF1|=2a-c,又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,(2a-c)2+c2=4c2,即c2+2ac-2a2=0,e2+2e-2=0,解得e=3-1或e=-3-1(舍),故选A.二、填空题6.答案134解析设|PF2|=m(m0),则|PF1|=3m,由F1PF2=120得,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|c
7、os120,4c2=9m2+m2+3mm=13m2.因此,c=132m,又2a=|PF1|+|PF2|=4ma=2m,e=ca=132m2m=134.7.答案15解析在椭圆x225+y216=1中,a=5,b=4,c=3,所以焦点坐标分别为F1(-3,0),F2(3,0).|PM|+|PF1|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2|).|PM|-|PF2|MF2|,当且仅当P在直线MF2上时取等号,当点P与图中的点P0重合时,有(|PM|-|PF2|)max=|MF2|=(6-3)2+(4-0)2=5,此时|PM|+|PF1|取最大值,最大值为10+5=15.8.答案25
8、;(3,0)(或分开写(-3,0)和(3,0)解析设F1、F2为椭圆的两焦点,m=|PF1|PF2|PF1|+|PF2|22=2a22=a2=25,当且仅当|PF1|=|PF2|=5时,等号成立,此时取最大值25,即点P在短轴端点时,m取最大值,所以点P的坐标为(3,0)时,m取最大值,最大值为25.三、解答题9.解析解法一:(1)依题意知,A,B分别为椭圆E的右顶点、上顶点,所以E的焦点在x轴上.设E的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则a=2,b=1,所以E的方程为x22+y2=1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),不妨设y1y2,依题意,得直线l的方程为y=x-1.由y=
9、x-1,x2+2y2=2,得3y2+2y-1=0,解得y1=13,y2=-1.记点(1,0)为F,则SOPQ=SOFP+SOFQ=12|OF|y1-y2|=12143=23.所以OPQ的面积为23.解法二:(1)同解法一.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),不妨设x1x2.依题意,得直线l的方程为y=x-1.由y=x-1,x2+2y2=2得3x2-4x=0,解得x1=0,x2=43,所以|PQ|=1+k2|x1-x2|=1+10-43=423,原点O到直线l的距离d=|-1|1+1=22,所以SOPQ=12|PQ|d=1242322=23.所以OPQ的面积为23.10.解析解法一:(1
10、)由题意得ca=12,12ab=3,a2=b2+c2,解得a2=4,b2=3.所以椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)由(1)知F(1,0),A(2,0),当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,联立x=1,x24+y23=1,得x=1,y=32,不妨设P1,32,Q1,-32,则直线AP的方程为y=321-2(x-2),令x=3,得y=-32,则M3,-32,此时k1=-323-1=-34,同理k2=34,所以k1k2=-3434=-916;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),联立y=k(x-1),x24+y23=1得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=
11、0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2,直线AP的方程为y=y1x1-2(x-2),令x=3,得y=y1x1-2,则M3,y1x1-2,同理,N3,y2x2-2,所以k1=y1x1-23-1=y12(x1-2)=k(x1-1)2(x1-2),k2=y2x2-23-1=y22(x2-2)=k(x2-1)2(x2-2),所以k1k2=k(x1-1)2(x1-2)k(x2-1)2(x2-2)=k2x1x2-(x1+x2)+14x1x2-2(x1+x2)+4=k24k2-123+4k2-8k23+4k2+144k2-123+4k2-2
12、8k23+4k2+4=k2(4k2-12-8k2+3+4k2)4(4k2-12-16k2+12+16k2)=-916.综上所述,k1k2为定值-916.解法二:(1)同解法一.(2)由(1)知F(1,0),A(2,0),设直线l的方程为x=my+1,联立x=my+1,x24+y23=1,得(3m2+4)y2+6my-9=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4.直线AP的方程为y=y1x1-2(x-2),令x=3,得y=y1x1-2,则M3,y1x1-2,同理,N3,y2x2-2,所以k1=y1x1-23-1=y12(x1-2)=y12(my1-1),k2=y2x2-23-1=y22(x2-2)=y22(my2-1),所以k1k2=y12(my1-1)y22(my2-1)=y1y24m2y1y2-m(y1+y2)+1=-93m2+44m2-93m2+4-m-6m3m2+4+1=-94(-9m2+6m2+3m2+4)=-916,所以k1k2为定值-916.
