1、天津市河西区2015届高考数学三模试卷（文科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数=( )AiBiC1213iD12+13i2已知命题p：对任意xR，总有2x0；q：“x1”是“x2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )ApqBpqCpqDpq3如图所示，程序框图的输出结果是( )ABCD4数列an的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n1），则a6=( )A344B344+1C44D44+15设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么|PF|=( )AB8CD166将函数f（x）=s
2、in（2x+）（）的图象向右平移（1）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（），则的值可以是( )ABCD7给定函数，y=|x1|，y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是( )ABCD8已知函数f（x）=x2+ex（x0）与g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )ABCD二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9已知某地区小学生3500人，初中生4500人，高中生2000人，近视情况如图所示为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近
3、视人数分别为_10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_11设常数aR，集合A=x|（x1）（xa）0，B=x|xa1，若AB=R，则a的取值范围为_12如图，P为O外一点，过P点作O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=_13设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=1+2（1，2为实数），则1+2的值为_14设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=9x+7若f（x）a+1对一切x0成立，则a的取值范围为_三.解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程
4、或演算步骤15某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9（）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率（）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5，23.9）中的概率16ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a=3，cosA=，B=A+（）求b的值；（）求ABC的面积17如图，在四棱锥PABCD中，PA面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，
5、PA=，ABC=120，G为线段PC上的点（）证明：BD平面PAC；（）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（）若G满足PC面BGD，求的值18椭圆C：=1（ab0）的离心率，a+b=3（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2mk为定值19正项数列an的前n项和Sn满足：Sn2（1）求数列an的通项公式an；（2）令b，数列bn的前n项和为Tn证明：对于任意nN*，都有T20已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）若曲线y=f（x
6、）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2（）求a，b，c，d的值；（）若x2时，f（x）kg（x），求k的取值范围天津市河西区2015届高考数学三模试卷（文科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数=( )AiBiC1213iD12+13i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：计算题分析：复数的分子中利用i2=1代入3，然后化简即可解答：解：故选A点评：本小题主要考查复数的基本运算，重点考查分母实数化的转化技巧2已知命题p：对任意xR，总有2x0；q：“x1”是“x2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )ApqBpqCpq
7、Dpq考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：判定命题p，q的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论解答：解：p：根据指数函数的性质可知，对任意xR，总有2x0成立，即p为真命题，q：“x1”是“x2”的必要不充分条件，即q为假命题，则pq为真命题，故选：D点评：本题主要考查复合命题的真假关系的应用，先判定p，q的真假是解决本题的关键，比较基础3如图所示，程序框图的输出结果是( )ABCD考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S的值解答：解：模拟执行程序框图
8、，可得满足条件28，S=，n=4，满足条件48，S=，n=6，满足条件68，S=，n=8，不满足条件88，程序结束，输出S=，故选：C点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题4数列an的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n1），则a6=( )A344B344+1C44D44+1考点：等比数列的通项公式；等比数列的前n项和 专题：计算题分析：根据已知的an+1=3Sn，当n大于等于2时得到an=3Sn1，两者相减，根据SnSn1=an，得到数列的第n+1项等于第n项的4倍（n大于等于2），所以得到此数列除去第1项，从第2项开始，为首项是第2项，公比为4的等比数列，由a1=1
9、，an+1=3Sn，令n=1，即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第6项的值解答：解：由an+1=3Sn，得到an=3Sn1（n2），两式相减得：an+1an=3（SnSn1）=3an，则an+1=4an（n2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以an=a2qn2=34n2（n2）则a6=344故选A点评：此题考查学生掌握等比数列的确定方法，会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，是一道基础题5设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为，那
10、么|PF|=( )AB8CD16考点：抛物线的简单性质；抛物线的定义 分析：先根据抛物线方程求出焦点坐标，进而根据直线AF的斜率为求出直线AF的方程，然后联立准线和直线AF的方程可得点A的坐标，得到点P的坐标，根据抛物线的性质：抛物线上的点到焦点和准线的距离相等可得到答案解答：解：抛物线的焦点F（2，0），准线方程为x=2，直线AF的方程为，所以点、，从而|PF|=6+2=8故选B点评：本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想6将函数f（x）=sin（2x+）（）的图象向右平移（1）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都
11、经过点P（），则的值可以是( )ABCD考点：函数y=Asin（x+）的图象变换；y=Asin（x+）中参数的物理意义 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：求出平移后的函数解析式，利用两个函数都经过P（0，），解出，然后求出即可解答：解：函数向右平移个单位，得到g（x）=sin（2x+2），因为两个函数都经过P（0，），所以，所以g（x）=sin（2x+2），sin（2）=，1，所以2=2k+，=k，与选项不符舍去，2=2k+，kZ，当k=1时，=故选B点评：本题考查函数图象的平移，函数值的求法，考查分析问题解决问题的能力与计算能力7给定函数，y=|x1|，y=2x+1，其中在区间（0，1
12、）上单调递减的函数序号是( )ABCD考点：函数单调性的判断与证明 专题：函数的性质及应用分析：本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；为增函数，为定义域上的减函数，y=|x1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，y=2x+1为增函数解答：解：是幂函数，其在（0，+）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+）内为减函数，故此项符合要求；中的函数图象是由函数y=x1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；中的函数图象
13、为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意故选B点评：本题考查了函数的单调性，要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件8已知函数f（x）=x2+ex（x0）与g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )ABCD考点：对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用；导数的综合应用分析：把函数图象点的对称问题转化为a=ex有解即可，利用导数判出最大值，即可得出a的范围解答：解：设x0，g（x）=x2+ln（x+a）图象上一点P（x，y），则P（x，y）在函数f（x）=x2+ex（x0）图象上，（x）2+ex=x2+ln
14、（x+a），化简得：a=ex有解即可，令m（x）=ex，m（x）=e（ex）1=e10，m（x）在（0，+）上单调递减，即m（x）m（0）=，要使a=ex有解，只需a即可故选：A点评：本题考察函数的性质在求解方程有解中的应用，知识综合大，属于难题二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9已知某地区小学生3500人，初中生4500人，高中生2000人，近视情况如图所示为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为200，20考点：分层抽样方法；频率分布直方图 专题：概率与统计分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结
15、论解答：解：该地区中小学生共有3500+4500+2000=10000，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量为100002%=200人，抽取的高中生为200=40人，高中生近视率为50%，故抽取的高中生近视人数为4050%=20，故答案为：200，20点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是1616考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：首先判断该几何体的形状，然后计算其体积即可解答：解：根据三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒，四棱柱的
16、底面是边长为2的正方形，高也为4故其体积为：224224=1616，故答案为：1616点评：本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断该几何体为圆柱中挖去一个棱柱，然后利用柱体的体积计算方法计算其体积差即可11设常数aR，集合A=x|（x1）（xa）0，B=x|xa1，若AB=R，则a的取值范围为a|a2考点：交集及其运算 专题：集合分析：分类讨论a的范围求出A中不等式的解集，再由B，以及两集合的并集为R，求出a的范围即可解答：解：当a1时，集合A中不等式解得：x1或xa，即A=x|x1或xa，B=x|xa1，且AB=R，a11，即1a2；当a1时，集合A中不等式解得：xa或x1
17、，即A=x|xa或x1，由B=x|xa1，且AB=R，得到a1满足题意，综上，a的范围为a|a2故答案为：a|a2点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键12如图，P为O外一点，过P点作O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=4考点：与圆有关的比例线段 专题：选作题；立体几何分析：利用切割线定理可得QA2=QCQD，可求QA，可得PA，利用圆的切线长定理，可得PB解答：解：QA是O的切线，QA2=QCQD，QC=1，CD=3，QA2=4，QA=2，PA=4，PA，PB是O的切线，PB=PA=4故答案为：4点评：本
18、题考查圆的切线长定理，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于基础题13设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=1+2（1，2为实数），则1+2的值为考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：平面向量及应用分析：由题意和向量的运算可得=，结合=1+2，可得1，2的值，求和即可解答：解：由题意结合向量的运算可得=，又由题意可知若=1+2，故可得1=，2=，所以1+2=故答案为：点评：本题考查平面向量基本定理及其意义，涉及向量的基本运算，属中档题14设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=9x+7若f（x）a+1对一切x0成立，则a的取值范围
19、为考点：函数奇偶性的性质；基本不等式 专题：函数的性质及应用分析：先利用y=f（x）是定义在R上的奇函数求出x0时函数的解析式，将f（x）a+1对一切x0成立转化为函数的最小值a+1，利用基本不等式求出f（x）的最小值，解不等式求出a的范围解答：解：因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以当x=0时，f（x）=0；当x0时，则x0，所以f（x）=9x+7因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）=9x+7；因为f（x）a+1对一切x0成立，所以当x=0时，0a+1成立，所以a1；当x0时，9x+7a+1成立，只需要9x+7的最小值a+1，因为9x+72=6|a|7，所以6|a|7a+
20、1，解得，所以故答案为：点评：本题考查函数解析式的求法；考查解决不等式恒成立转化成求函数的最值；利用基本不等式求函数的最值三.解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9（）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率（）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5， 23.9）中的概率考点
21、：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：（）写出从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人身高都在1.78以下的事件，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；（）写出从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5，23.9）中的事件，利用古典概型概率计算公式求解解答：（）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6个由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的选到
22、的2人身高都在1.78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C）共3个因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p=；（）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10个由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5，23.9）中的事件有：（C，D）（C，E），（D，E）共3个因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5，23.9）中的概率p=点评：本题考查了古典概型及其
23、概率计算公式，解答的关键在于列举基本事件时做到不重不漏，是基础题16ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a=3，cosA=，B=A+（）求b的值；（）求ABC的面积考点：正弦定理 专题：解三角形分析：（）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值（）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案解答：解：（）cosA=，sinA=，B=A+sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，b=sinB=3（）sinB=，B=A+cosB=，sinC=sin（AB）=sin（A+B）=
24、sinAcosB+cosAsinB=（）+=，S=absinC=33=点评：本题主要考查了正弦定理的应用解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用17如图，在四棱锥PABCD中，PA面ABCD，AB=BC=2， AD=CD=，PA=，ABC=120，G为线段PC上的点（）证明：BD平面PAC；（）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（）若G满足PC面BGD，求的值考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算 专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何分析：（）由PA面ABCD，可得PABD；设AC与BD的交点为O，
25、则由条件可得BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BDAC再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD面PAC（）由三角形的中位线性质以及条件证明DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tanDGO的值（）先证 PCOG，且 PC=由COGCAP，可得，解得GC的值，可得PG=PCGC 的值，从而求得 的值解答：解：（）证明：在四棱锥PABCD中，PA面ABCD，PABD AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BDAC而PAAC=A，BD面PAC（）若G是PC的中点，O为AC
26、的中点，则GO平行且等于PA，故由PA面ABCD，可得GO面ABCD，GOOD，故OD平面PAC，故DGO为DG与平面PAC所成的角由题意可得，GO=PA=ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC22ABBCcosABC=4+4222cos120=12，AC=2，OC=直角三角形COD中，OD=2，直角三角形GOD中，tanDGO=（）若G满足PC面BGD，OG平面BGD，PCOG，且 PC=由COGCAP，可得，即 ，解得GC=，PG=PCGC=，=点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角，空间距离的求法，属于中档题18椭圆C：=1（ab0）的离心率，a+b
27、=3（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2mk为定值考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由题目给出的离心率及a+b=3，结合条件a2=b2+c2列式求出a，b，则椭圆方程可求；（2）设出直线方程，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M点坐标，由D，P，N三点共线解出N点坐标，由两点求斜率得到MN的斜率m，代入2mk化简整理即可得到2mk为定值解答：（1）解：因为，所以，即a2=4b2，a=2
28、b又a+b=3，得a=2，b=1所以椭圆C的方程为；（2）证明：因为B（2，0），P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为联立，得（4k2+1）x216k2x+16k24=0所以，则所以P（）又直线AD的方程为联立，解得M（）由三点D（0，1），P（），N（x，0）共线，得，所以N（）所以MN的斜率为=则所以2mk为定值点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了二次方程中根与系数关系，考查了由两点求斜率的公式，是中高档题19正项数列an的前n项和Sn满足：Sn2（1）求数列an的通项公式an；（2）令b，数列bn的前n项和为Tn证明：对于任意nN*，都有T考点：数列的求和
29、；等差数列的通项公式 专题：计算题；证明题；等差数列与等比数列分析：（I）由Sn2可求sn，然后利用a1=s1，n2时，an=snsn1可求an（II）由b=，利用裂项求和可求Tn，利用放缩法即可证明解答：解：（I）由Sn2可得，（Sn+1）=0正项数列an，Sn0Sn=n2+n于是a1=S1=2n2时，an=SnSn1=n2+n（n1）2（n1）=2n，而n=1时也适合an=2n（II）证明：由b=点评：本题主要考查了递推公式a1=s1，n2时，an=snsn1在求解数列的通项公式中的应用及数列的裂项求和方法的应用20已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）若曲线y=f（
30、x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2（）求a，b，c，d的值；（）若x2时，f（x）kg（x），求k的取值范围考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题 专题：压轴题；导数的综合应用分析：（）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b， c，d的值；（）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）kg（x）恒成立，从而求出k的范围解答：解：（）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f（0
31、）=4，g（0）=4，而f（x）=2x+a，g（x）=ex（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1）设F（x）=kg（x）f（x）=2kex（x+1）x24x2，则F（x）=2kex（x+2）2x4=2（x+2）（kex1），由题设得F（0）0，即k1，令F（x）=0，得x1=lnk，x2=2，若1ke2，则2x10，从而当x（2，x1）时，F（x）0，当x（x1，+）时，F（x）0，即F（x）在（2，x1）上减，在（x1，+）上是增，故F（x）在2，+）上的最小值为F（x1），而F（x1）=x1（x1+2）0，x2时F（x）0，即f（x）kg（x）恒成立若k=e2，则F（x）=2e2（x+2）（exe2），从而当x（2，+）时，F（x）0，即F（x）在（2，+）上是增，而F（2）=0，故当x2时，F（x）0，即f（x）kg（x）恒成立若ke2时，F（x）=2e2（x+2）（exe2），而F（2）=2k2+2=2e2（ke2）0，所以当x2时，f（x）kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是1，e2点评：此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题
