1、课时规范练32基本不等式及其应用 基础巩固组1.(2019山东济南历下区校级月考)设a,b(0,+),则下列各式中不一定成立的是()A.a+b2abB.ba+ab2C.a2+b2ab2abD.2aba+bab2.若a,b都是正数,则1+ba1+4ab的最小值为()A.7B.8C.9D.103.(2019四川成都模拟)已知a0,by,x+2y=3,则1x-y+9x+5y的最小值为()A.83B.3C.32D.2336.若lg a+lg b=0且ab,则2a+1b的取值范围为()A.22,+)B.(22,+)C.22,3)(3,+)D.(22,3)(3,+)7.已知ab0,则2a+3a+b+2a-
2、b的最小值为()A.22+23B.2+3C.22+3D.2+328.(2019辽宁大连测试)已知E为ABC的重心,AD为BC边上的中线,令AB=a,AC=b,过点E的直线分别交AB,AC于P,Q两点,且AP=ma,AQ=nb,则1m+1n=()A.3B.4C.5D.139.已知x0,y0,xy=x+2y,若xym-2恒成立,则实数m的最大值是.10.已知x,yR且满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围为.11.(2019江苏无锡二模)经过长期观测,某一公路段在交通繁忙的时段内,汽车的车流量(千辆/时)与vv2-5v+900成正比,其中v(千米/时)是汽车的平均速度.则该公路
3、段在交通繁忙的时段内,汽车的平均速度v为时,车流量最大.12.已知a0,b0,a+b=1,求证:(1)1a+1b+1ab8;(2)1+1a1+1b9.综合提升组13.(2019吉林长春模拟)设a,b,c,d均为大于零的实数,且abcd=1,令m=a(b+c+d)+b(c+d)+cd,则a2+b2+m的最小值为()A.8B.4+23C.5+23D.4314.(2019山东济南历下区模拟)设x,y(0,+),(x+y)1x+1ya恒成立,则实数a的最大值为()A.2B.4C.8D.1615.(2019山东烟台质检)已知x0,y0,则代数式M=(3x+2y)1x+6y中的x和y满足时,M取得最小值,
4、其最小值为.创新应用组16.(2019湖南郴州质检)已知ABC满足BAAC+23=0,BAC=30,点P在ABC内且PCA,PAB,PBC的面积分别为12,x,y.(1)求x+y的值;(2)求1x+9y的最小值.参考答案课时规范练32基本不等式及其应用1.D由a+b2ab,得a+b2ab,A成立;ba+ab2baab=2,B成立;a2+b2ab2abab=2ab,C成立;2aba+b2ab2ab=ab,D不一定成立.故选D.2.Ca,b都是正数,1+ba1+4ab=5+ba+4ab5+2ba4ab=9,当且仅当b=2a时取等号.故选C.3.Da0,b0,所以a=-b3+b6+16b22b2=-
5、b2+b4+162b.所以2a+b=-b2+b4+16b+b=-b+b2+16b2+b=b2+16b22b216b2=22.当且仅当b=2时,等号成立.故选C.5.A因为x+2y=3,所以2x+4y=6,所以(x-y)+(x+5y)=6,所以1x-y+9x+5y=161x-y+9x+5y6=161x-y+9x+5y(x-y)+(x+5y)=1610+x+5yx-y+9(x-y)x+5y16(10+29)=83,当且仅当x=2,y=12时取最小值.故选A.6.Alg a+lg b=0且ab,lg ab=0,即ab=1.2a+1bab=2b+a22ab=22,当且仅当a=2b=2时取等号.2a+1
6、b的取值范围为22,+),故选A.7.Aab0,2a+3a+b+2a-b=a+b+a-b+3a+b+2a-b,a+b+3a+b23,当且仅当a+b=3时取等号;a-b+2a-b22,当且仅当a-b=2时取等号.联立a+b=3,a-b=2,解得a=3+22,b=3-22.当a=3+22,b=3-22时,a+b+a-b+3a+b+2a-b22+23,即2a+3a+b+2a-b取得最小值22+23.8.A由E为ABC的重心可得,AE=13(AB+AC).AP=ma,AQ=nb,AE=13(AB+AC)=131mAP+1nAQ.P,E,Q共线,131m+1n=1,则1m+1n=3,故选A.9.10因为
7、xy=x+2y22xy,则(xy)28xy,当且仅当x=2y时等号成立;又因为x0,y0,所以xy8,故m-28,所以m10.10.4,122xy=6-(x2+4y2),而2xyx2+4y22,6-(x2+4y2)x2+4y22,x2+4y24(当且仅当x=2y时取等号).(x+2y)2=6+2xy0,即2xy-6,z=x2+4y2=6-2xy12(当且仅当x=-2y时取等号).综上可知4x2+4y212.11.30设y=kvv2-5v+900(k0).v0,y=kv+900v-5.v+900v60,yk55.当且仅当v=900v,即v=30(千米/时)时,车流量最大.12.证明 (1)a+b
8、=1,a0,b0,1a+1b+1ab=1a+1b+a+bab=21a+1b=2a+ba+a+bb=2ba+ab+44baab+4=8当且仅当a=b=12时,等号成立,1a+1b+1ab8.(2)1+1a1+1b=1a+1b+1ab+1,由(1)知1a+1b+1ab8.1+1a1+1b9.13.Ba,b,c,d均大于零且abcd=1,m=a(b+c+d)+b(c+d)+cd,a2+b2+m=a2+b2+(a+b)(c+d)+ab+cd2ab+2ab2cd+ab+cd=4+3ab+cd4+23abcd=4+23.当且仅当a=b,c=d,3ab=cd,即a=b=1314,c=d=314时取等号,a2
9、+b2+m的最小值为4+23.故选B.14.Bx,y(0,+),(x+y)1x+1y=2+xy+yx4,所以a的最大值为4.故选B.15.y=3x27代数式M=(3x+2y)1x+6y=15+2yx+18xy15+236=27,当且仅当2yx=18xy,2yx+18xy=12时,即y=3x时等号成立.16.解 (1)由已知得ABAC=bccosBAC=23,得bc=4,故SABC=x+y+12.又12bcsin A=1,则x+y=12.(2)1x+9y=21x+9y(x+y)=210+yx+9xy210+2yx9xy=32,即1x+9y32.当且仅当yx=9xy且x+y=12,即x=18,y=38时取等号.1x+9y的最小值为32.
