1、Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 第四节 不等式的解法Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 考纲要求掌握简单不等式的解法，这里的简单不等式主要是指一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式以及由它们组成的不等式组，因此我们必须熟练地掌握这些不等式的解法考试热点简单的整式不等式、分式不等式及高次不等式的解法是高考常考的一个重要内容，它们有时单独出现在选择题、填空题以及解答题的前一、二题中，难度为中、低档题，有时与函数、三角、向量等知识综合，以解题工具的面貌出现在一些大、小综合题中.Copy
2、right 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1关于x的一元一次不等式axb的解集是.关于x的不等式axb的解集是R，则实数a、b满足的条件是 .a0，b0时，x；a0时，x0(a0)的解集受a的符号，b24ac的符号影响，解题过程为：用框图表示图1Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3分式不等式的解法(1)如能判断分母的符号，可直接去分母，转化为整式不等式；(2)(3)用穿根法Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4简单的高次不等式解法 穿根法操作过程(1)把不等式变形为一边是一次
3、因式的积，另一边是0的形式；(2)各因式中x的系数全部变为1，约去偶次因式；(3)把各个根从小到大依次排好，从右上方向左下方穿根；(4)严格检查因式的根(特别是约去的偶次因式的根)是否在解集内穿根法Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1不等式0的解集是 ()A(2,1)B(2，)C(2,1)(2，)D(，2)(1，)解析：(穿根法)原不等式等价于 0.原不等式的解集为x|2x2，选C.答案：C图2Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2不等式(x22)log2x0 的解集是()A(0,1)(2，)B(2，1)(2，)C(2，)D(2，2)答案：AC
4、opyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3不等式 0的解集是_ 图3 解析：穿根法 答案：(1,12,3Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4已知不等式(k1)x22x10对一切xR恒成立，则实数k的取值范围是_ 解析：若k10，即k1时，原不等式变为2x10对一切xR恒成立，不合题意 若k10，则 k2.实数k的取值范围是k2.答案：2，)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 5已知函数f(x)x2(x0，常数aR)(1)当a2时，解不等式f(x)f(x1)2x1；(2)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由Copyright 2
5、004-2009 版权所有 盗版必究 解：(1)当 a2 时，x22x(x1)2 2x12x1，2x 2x10，x(x1)0.原不等式的解集为x|0 x0；(2)(x4)(x5)2(2x)30(或f(x)0.把方程 x(2x5)(x3)0 的三个根 x10，x252，x33 顺次标在数轴上，然后从右上方开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图 4 中的阴影部分所示原不等式解集为x|52x3(2)原不等式等价于(x4)(x5)2(x2)30 x5(x4)(x2)0 xx2，原不等式解集为x|x5 或5x2图5图4Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 用“穿根法”解高次
6、不等式的一般步骤为：将高次不等式右边化为0，左边最高次数项的系数化为正数，然后对左边进行因式分解及同解变形，设xnxn1x20(a0，xixj，ij)解集是右起奇序数的区间a(xx1)(xx2)(xxn)0，xixj，ij)解集是右起偶序数的区间Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (1)解不等式(x3)(x2)(x1)2(x4)0.解：设y(x3)(x2)(x1)2(x4)函数y的各因式的根是2,1,3,4.应用四个根的值，把x的取值范围分为五个区间：x2，2x1,1x3,3x4.函数y在上述区间取值时，函数值符号如图6.由图可知，y0，原不等式的解集是 x|2x1，或
7、1x4图6Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2)不等式(x34x24x)(32xx2)0的解集为()Ax|x1或1x3 Bx|0 x3且x2 Cx|1x3 Dx|x1或0 x2或2x0 即x(x1)(x3)0且x20 x1或0 x2或2x0.分析 可转化为整式不等式(ax1)(x1)0求解Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解 原不等式等价于(ax1)(x1)0.当 a0 时，由(x1)0，得 x0 时，不等式化为(x1a)(x1)0，解得 x1a；当 a0 时，不等式化为(x1a)(x1)0；若1a1，即1a0，则1ax1，即 a1，则1x
8、1a.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 综上所述，a1 时，解集为x|1x1a；a1 时，原不等式无解；1a0 时，解集为x|1ax1；a0 时，解集为x|x0 时，解集为x|x1aCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 解分式不等式一般不能直接去分母，而是通过移项，把右边化为零，左边通分，依据分式的性质转化为整式不等式(组)或者采用穿根法求解不论哪种方法，在解带等号的分式不等式时，要注意分子的根能取到，而分母的根取不到；对于含参数的分式不等式，一般要分类讨论，而分类的标准往往是各因式根的大小比较Copyright 2004-2009 版
9、权所有 盗版必究 解不等式0.(x3)，(x2)，(x1)中负号为偶数个x30 或x20 x3 或1x3 或1x0，还可以同解化为x20(x3)(x1)0 或x20(x3)(x1)1，解关于x的不等式2loga(x1)loga1a(x2)分析 本题考查对数不等式的基本解法及分类讨论的思想，解对数不等式时，应注意同解变形，即使式子有意义，使其真数大于0.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解 由 a1 得原不等式等价于x101a(x2)0(x1)21ax2ax21a (x2)(xa)0 (1)当 1a2 时，由得 x2，a(21a)a1a20，a21a，原不等式的解集为x
10、|21ax2；(2)当 a2 时，原不等式的解集为x|x32且 x2；(3)当 a2 时，式变为 xa.原不等式的解集为x|21axaCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 解指数、对数不等式首先需整体判断不等式所属类型，从而采用相应的转化方法另外对所含的参数要根据解题的需要分类讨论，如本题为了比较式两根2和a的大小，需分1a2三种情况进行讨论Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解不等式 .Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：设 log2xt，原不等式可化为2t(1t)(1t)0.等价于 2t(1t)(1t)0，
11、或 t0，即 t(t1)(t1)0，或 t0.如图 7 所示：图 7可得 t1，或 0t1，即 log2x1，或 0log2x1，0 x12或 1x2.原不等式解集为x|0 x12，或 1x2Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 不等式解法的应用 例4(2009重庆一诊)已知函数f(x)x|xa|2.(1)当a1时，解不等式f(x)|x2|；(2)当x(0,1时，f(x)x21恒成立，求实数a的取值范围Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解(1)a1时，f(x)|x2|，即x|x1|2|x2|.(*)当x2时，由(*)x(x1)2x20 x2.又x
12、2，x；当1x2时，由(*)x(x1)22x 2x2.又1x2，1x2；当x1时，由(*)x(1x)22xxR.又x1，x1.综上所述，知(*)的解集为(，2)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)当 x(0,1时，f(x)12x21，即 x|xa|212x21 恒成立，也即12x1xa32x1x在 x(0,1上恒成立而 g(x)12x1x在(0,1上为增函数，故 g(x)maxg(1)12.h(x)32x1x232 6，当且仅当32x1x，即 x 63 时，等号成立故 a(12，6)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 已知函数f(x)，g(x
13、)x23ax2a2(a1和g(x)1，x23ax2a20(a0，即(x1)(x2)(x2)(x3)0，2x1 或 2x3.由得：(xa)(x2a)0，又 a0，2axa.不等式组的解集为，则故所求 a 的取值范围是(，212，0)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1一元二次不等式的解集与二次项系数及判别式的符号有关 2解分式不等式要使一边为零，转化为不等式组如果能分解，可用数轴标根法或列表法 3解高次不等式的思路是降低次数，利用数轴标根法求解较为容易 4解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究
