1、第五章三角函数5.4三角函数的图像与性质第1课时正弦函数、余弦函数的图像考点1画图问题1.(2019银川一中月考)用“五点法”作y=2sin2x的图像时,首先描出的五个点的横坐标是()。A.0,2,32,2B.0,4,2,34,C.0,2,3,4D.0,6,3,2,23答案：B解析：由五点作图法,令2x=0,2,32,2,解得x=0,4,2,34,。2.(2019黄冈中学月考)函数y=-cosx(x0)的图像中与y轴最近的最高点的坐标为()。A.2,1B.(,1)C.(0,1)D.(2,1)答案：B解析：用五点作图法作出函数y=-cosx(x0)的一个周期内的图像如图所示,由图易知与y轴最近的
2、最高点的坐标为(,1)。3.(2019武汉二中周练)用“五点法”作函数y=cos4x-6在一个周期内的图像时,第四个关键点的坐标是()。A.512,0B.-512,1C.512,1D.-512,0答案：A解析：令4x-6=32,得x=512,该点坐标为512,0。4.(2019云南大理高一上期末)用“五点法”作函数y=2+sinx,x0,2的图像时的五个点分别是、。答案：(0,2)2,3(,2)32,1(2,2)解析：可结合函数y=sinx的图像的五个关键点寻找,即把y=sinx的图像上五个关键点向上平移2个单位长度。5.(2019四川广安高一上期末)利用“五点法”作出函数y=sinx-2,x
3、2,52的图像。答案：解:列表如下:x232252x-202322sinx-2010-10描点、连线,如图所示:考点2识图问题6.(2019山西孝义高一上期末)对于余弦函数y=cosx的图像,有以下描述:可以将其在0,2内的图像向左、向右无限延展;与y=sinx的图像形状完全一样,只是位置不同;与x轴有无数个交点;关于y轴对称。其中正确的描述有()。A.1个B.2个C.3个D.4个答案：D解析：根据余弦函数的图像可以判断都正确。7.(2019安徽滁州高一上期末)函数y=1-sinx,x0,2的大致图像是()。图5-4-1-1答案：B解析：当x=2时,y=0;当x=0时,y=1;当x=2时,y=
4、1;结合正弦函数的图像可知B正确。8.(2019深圳中学单元测评)与图5-4-1-2中曲线(部分)对应的函数解析式是()。图5-4-1-2A.y=|sinx|B.y=sin|x|C.y=-sin|x|D.y=-|sinx|答案：C解析：注意图像所对的函数值的正负,可排除选项A,D。当x(0,)时,sin|x|0,而图中显然小于零,因此排除选项B。故选C。9.(2019东北师大附中模块测试)函数y=cosx+|cosx|,x0,2的大致图像为()。图5-4-1-3答案：D解析：y=cosx+|cosx|=2cosx,x0,232,2,0,x2,32,故选D。10.(2019青岛调考)函数y=-x
5、cosx的部分图像是()。图5-4-1-4答案：D解析：y=-xcosx是奇函数,它的图像关于原点对称,排除A,C项;当x0,2时,y=-xcosx0,排除B项,故选D。考点3用图问题11.(2019福建宁德高一上期末)若点4,b在函数y=2sinx+1的图像上,则b=()。A.22B.2C.2D.3答案：C解析：由题意知b=2sin4+1=2。12.(2019广西贺州高一上期末)在0,2上,满足sinx22的x的取值范围是()。A.0,6B.4,54C.4,34D.34,答案：C解析：如图,在同一坐标系内作出y=sinx在0,2上的图像和y=22的图像。由图可知:满足sinx22的x的取值范
6、围是4,34。13.(2019衡水中学月考)方程x+sinx=0的根有()。A.0个B.1个C.2个D.无数个答案：B解析：设f(x)=-x,g(x)=sinx,在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图像,如图所示。由图知f(x)和g(x)的图像仅有一个交点,则方程x+sinx=0仅有一个根。14.(2019北大附中月考)方程|x|=cosx在(-,+)内()。A.没有根B.有且仅有一个根C.有且仅有两个根D.有无穷多个根答案：C解析：在同一坐标系中作出函数y=|x|及函数y=cosx的图像,如图所示。由图知两函数的图像有两个交点,所以方程|x|=cosx有两个根。15.(2019广西钦州
7、高一上期末)若函数y=sinx,x2,52的图像与直线y=1围成一个封闭图形,则这个封闭图形的面积是()。A.2B.4C.2D.4答案：C解析：如图,由正弦函数图像的对称性知,所围成平面图形的面积等于长为52-2=2,宽为1的矩形的面积,S=2。故选C。16.(2019河南郑州二中单元测评)函数y=cosx+4,x0,2的图像与直线y=4的交点坐标为。答案：2,4,32,4解析：作出函数y=cosx+4,x0,2的图像(图略),容易发现它与直线y=4的交点坐标为2,4,32,4。考点4正弦函数、余弦函数的图像的综合问题17.(2019湖南长郡中学高一模块检测)函数y=cosx|tanx|0x3
8、2且x2的图像是下列图像中的()。图5-4-1-5答案：C解析：y=cosx|tanx|=sinx,0x2或x32,-sinx,2x|cosx|成立的x的取值范围是()。A.4,34B.4,254,32C.4,2D.54,74答案：A解析：sinx|cosx|,sinx0,x(0,)。在同一坐标系中画出y=sinx,x(0,)与y=|cosx|,x(0,)的图像,如图。观察图像易得使sinx|cosx|成立的x4,34,故选A。20.(2019南昌调考)对于函数f(x)=sinx,sinxcosx,cosx,sinxcosx,下列说法中正确的是()。A.该函数的值域是-1,1B.当且仅当x=2
9、k+2(kZ)时,函数取得最大值1C.当且仅当x=2k-2(kZ)时,函数取得最小值-1D.当且仅当2k+x2k+32(kZ)时,f(x)0答案：D解析：画出函数f(x)的图像(图略),由图像容易看出:该函数的值域是-22,1;当且仅当x=2k+2或x=2k,kZ时,函数取得最大值1;当且仅当x=2k+54,kZ时,函数取得最小值-22;当且仅当2k+x2k+32,kZ时,f(x)0,可知A,B,C不正确,故选D。21.(2019成都诊断)方程x2-cosx=0的实数解的个数是。答案：2解析：作出函数y=cosx与y=x2的图像,如图所示,由图像可知原方程有两个实数解。22.(2019济南调考
10、)已知函数f(x)=12(sinx+cosx)-12|sinx-cosx|,x0,2,则f(x)的值域是。答案：-1,22解析：f(x)=cosx,sinxcosx,sinx,sinxcosx。作出区间0,2内f(x)的图像,如图。由f(x)的图像可得f(x)的值域为-1,22。23.(2019南京模拟)函数f(x)=sinx,x0,x+2,x12的解集是。答案：x-32x0或6+2kx12时,函数f(x)的图像位于函数y=12的图像的上方,此时-32x0或6+2kx1;y1,在直线y=1下方部分时y1;当x(0,)时,y1。(2)若直线y=a与y=1-2sinx,x-,的图像有两个交点,求a
11、的取值范围。答案：如图,当直线y=a与y=1-2sinx,x-,的图像有两个交点时,1a3或-1a1,所以a的取值范围是(-1,1)(1,3)。第2课时正弦函数、余弦函数的性质(1)考点1周期函数的判定与周期的求解问题1.下列函数中,周期为2的是()。A.y=sinx2B.y=sin2xC.y=cosx4D.y=cos4x答案：D解析：由公式T=2|可得,选D。2.下列函数中,不是周期函数的是()。A.y=|cosx|B.y=cos|x|C.y=|sinx|D.y=sin|x|答案：D解析：作出各函数图像,观察可得,选D。3.函数f(x)=cos2x-6的最小正周期是()。A.2B.C.2D.
12、4答案：B解析：T=2|=22=。故选B。4.(2019石家庄模拟)定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+2)=-1f(x),则()。A.f(x)不是周期函数B.f(x)是周期函数,且最小正周期为2C.f(x)是周期函数,且最小正周期为4D.f(x)是周期函数,且4是它的一个周期答案：D解析：f(x+4)=-1f(x+2)=f(x),T=4。故选D。5.(2018东北三校联考)下列是定义在R上的四个函数图像的一部分,其中不是周期函数的是()。图5-4-2-1答案：D解析：由周期函数的概念易知D不具备周期性。6.(2019湖北荆州调考)已知函数f(x)=cos3x,则f(1)+f(2)+f(3
13、)+f(2019)的值为。答案：-1解析：f(1)=cos3=12,f(2)=cos23=-12,f(3)=cos=-1,f(4)=cos43=-12,f(5)=cos53=12,f(6)=cos2=1,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0。同理可得,每连续六项的和均为0,而2019=3366+3,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(2019)=f(2017)+f(2018)+f(2019)=f(1)+f(2)+f(3)=12-12-1=-1。考点2函数周期性的应用7.(2018长沙检测)设函数f(x)(xR)满足f(x+)=f(x)+sinx。当0x时,f(x
14、)=0,则f236的值为()。A.12B.32C.0D.-12答案：A解析：f236=f+176=f176+sin176=f+116+sin3-6=f116+sin6+sin116=f116=f+56=sin56=12。8.(2019山东调考)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)。当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1x0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值应是。答案：13解析：由T=2k42,解得k4。又kN*,满足题意的最小k值是13。11.(2018济南调考)设f(x)是定义域为R,最小正周期为32的函数,若f(x)=cosx,-2x0,sinx,00,即0
15、0时,-bbcosxb,所以a-ba-bcosxa+b。所以a+b=32,a-b=-12,解得a=12,b=1,所以g(x)=-4bsinax=-4sin12x。同理,当b0)在区间0,3上单调递增,在区间3,2上单调递减,则的最小值为()。A.32B.23C.2D.3答案：A解析：由题意,知当x=3时,函数f(x)取得最大值,则sin3=1,所以3=2k+2(kZ),所以=6k+32,kZ。又0,所以min=32,故选A。11.(2018吉林长春外国语学校高一下期中考试)sin35,sin45,sin910的大小关系为_(用“”连接)。答案：sin35sin45sin910解析：235459
16、10sin45sin910。12.函数y=cosx在区间-,a上为增函数,则a的取值范围是。答案：(-,0解析：y=cosx在-,0上是增函数,在0,上是减函数,只有当-0,2k+22x+42k+32(kZ),解得2k+22x+42k+(kZ),即k+8x0)在区间0,3上单调递增,在区间3,2上单调递减,则=()。A.3B.2C.32D.23答案：C解析：因为当0x2时,函数f(x)是增函数,当2x时,函数f(x)为减函数,即当0x2时,函数f(x)为增函数,当2x时,函数f(x)为减函数,所以2=3,所以=32。19.(2018天津五区县高一期末)函数y=3-2cos2x-3的单调递减区间
17、是()。A.k+6,k+23(kZ)B.k-3,k+6(kZ)C.2k+3,2k+43(kZ)D.2k-3,2k+6(kZ)答案：B解析：函数y=3-2cos2x-3的单调递减区间,即函数y=2cos2x-3的单调递增区间。令2k-2x-32k,kZ,解得k-3xk+6,kZ,所以原函数的单调递减区间为k-3,k+6,kZ。结合所给的选项,可知选B。20.已知f(x)=sin2x+cosx,x-3,23,则f(x)的值域为。答案：14,54解析：f(x)=1-cos2x+cosx=-cosx-122+54。x-3,23,cosx-12,1,f(x)14,54。21.若函数f(x)=sinx+a
18、cosx的图像关于直线x=6对称,则a=。答案：3解析：f(x)的图像关于直线x=6对称,f(0)=f3,即a=sin3+acos3,a=3。22.(2019河南洛阳高一上期末)已知f(x)=-sin2x+sinx+a。(1)当f(x)=0有实数解时,求实数a的取值范围;答案：由f(x)=0,得a=sin2x-sinx=sinx-122-14。当sinx=-1时,amax=2;当sinx=12时,amin=-14。实数a的取值范围为-14,2。(2)若对xR,恒有1f(x)174,求实数a的取值范围。答案：由1f(x)174,得1-sin2x+sinx+a174,即asin2x-sinx+17
19、4,且asin2x-sinx+1对xR恒成立。由sin2x-sinx+174=sinx-122+44,得a4。由sin2x-sinx+1=sinx-122+343,得a3。故3a4,实数a的取值范围为3,4。23.(2019陕西西安铁一中期末考试)设f(x)=log31-2sinx1+2sinx。(1)求函数f(x)的定义域;答案：1-2sinx1+2sinx0,-12sinx12,k-6xk+6,kZ,该函数的定义域为xk-6xk+6,kZ。(2)判断函数f(x)的奇偶性。答案：由(1)知定义域关于原点对称,又f(-x)=log31+2sinx1-2sinx=log31-2sinx1+2si
20、nx-1=-log31-2sinx1+2sinx=-f(x),该函数为奇函数。第4课时正切函数的图像与性质考点1图像的理解问题1(2019北京海淀人大附中高二期末)下列图像分别是y=|tanx|;y=tanx;y=tan(-x);y=tan|x|在x-32,32内的大致图像,那么由a到d对应的函数关系式应是()。图5-4-4-1A.B.C.D.答案：D解析：y=tan(-x)=-tanx在-2,2上是单调递减的,只有图像d符合,即d对应。运用排除法可知选D。2.函数y=tan12x-3在一个周期内的图像是()。图5-4-4-2答案：A解析：当x=23时,y=0,排除C,D;当x=0时,y=ta
21、n-3=-3,排除B,故选A。3.函数f(x)=2x-tanx在-2,2上的图像大致为()。图5-4-4-3答案：D解析：函数f(x)为奇函数,其图像关于原点对称,排除B,C项;又当x2时,f(x)-,排除A项,故选D。4.在区间-2,2内,函数y=tanx与函数y=sinx的图像交点的个数为()。A.3B.5C.7D.9答案：B解析：在同一直角坐标系中画出函数y=tanx与函数y=sinx在区间-2,2内的图像(图像略),由图像可知其交点个数为5,故选B。考点2定义域、值域问题5.(2019福建第四中学高一期末)与函数y=tan2x+4的图像不相交的一条直线是()。A.x=2B.y=2C.x
22、=8D.y=8答案：C解析：令2x+4=k+2(kZ),得x=k2+8(kZ)。令k=0,得x=8。6.(2019河北定州中学高一上期末)函数y=-2+tan12x+3的定义域是()。A.2k-53,2k+3,kZB.2k-3,2k+53,kZC.k-53,k+3,kZD.k-3,k+53,kZ答案：A解析：由-2+k12x+32+k,kZ,解得-53+2kx3+2k,kZ。7.(2019河南林州第一中学高一上期末)函数y=tan(cosx)的值域是()。A.-4,4B.-22,22C.-tan1,tan1D.以上均不对答案：C解析：-1cosx1,且函数y=tanx在-1,1上为增函数,ta
23、n(-1)tanxtan1,即-tan1tanxtan1。-tan1tan(cosx)tan1。8.函数f(x)=-2tanx+m,x-4,3有零点,则实数m的取值范围是。答案：-2,23解析：函数f(x)=-2tanx+m有零点,即方程2tanx=m有解。x-4,3,tanx-1,3,m-2,23。9.当x6,3时,k+tan3-2x的值总不大于零,则实数k的取值范围是。答案：(-,0解析：x6,3,02x-33,0tan2x-33。对任意的x6,3,都有tan2x-3k,tan2x-3mink,k0。考点3奇偶性、对称性、周期性问题10.函数y=3tan12x+3的图像的一个对称中心是()
24、。A.6,0B.23,-33C.-23,0D.(0,0)答案：C解析：因为y=tanx的图像的对称中心为k2,0,kZ。由12x+3=k2,kZ,得x=k-23,kZ,所以函数y=3tan12x+3的图像的对称中心是k-23,0,kZ。令k=0,得-23,0。11.(2019江西高安中学高一上期末)函数f(x)=|tan2x|是()。A.周期为的奇函数B.周期为的偶函数C.周期为2的奇函数D.周期为2的偶函数答案：D解析：f(-x)=|tan(-2x)|=|tan2x|=f(x)为偶函数,T=2。12.已知函数f(x)=x+tanx+1,若f(a)=2,则f(-a)=()。A.0B.-1C.-
25、2D.3答案：A解析：设g(x)=x+tanx,显然g(x)为奇函数。f(a)=g(a)+1=2,g(a)=1,f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=0。故选A。13.已知f(x)=asinx+btanx+1满足f5=7,则f995=。答案：-5解析：f5=asin5+btan5+1=7,asin5+btan5=6。f995=f20-15=f-5=asin-5+btan-5+1=-asin5-btan5+1=-asin5+btan5+1=-5。考点4单调性问题14.(2019四川石室中学高二上期中)函数y=tan2x+4的单调递增区间是。答案：k2-38,k2+8,kZ解析：令k-22x
26、+4k+2,kZ,解得k2-38x0,得kxtan5且x是第三象限角,则x的取值范围是。答案：2k+65,2k+32(kZ)解析：tanxtan5=tan65且x是第三象限角,2k+65xtan-158解析：tan-137=tan2-137=tan7,tan-158=tan2-158=tan8。0872,tan8tan-158。考点5正切函数的图像与性质的综合问题18.(2019黑龙江大庆实验中学高一上期中考试)函数y=tan2-x-4x4且x0的值域为()。A.-1,1B.(-,-11,+)C.(-,1D.-1,+)答案：B解析：-4x4且x0,42-x34且2-x2,由正切函数的图像,得t
27、an2-x1或tan2-x-1,即y-1或y1,故选B。19.(2019浙江嘉兴一中高三上月考)已知函数y=tanx在-2,2内是减函数,则()。A.01B.-10C.1D.-1答案：B解析：y=tanx在-2,2内是减函数,0且T=|,-10)的图像与直线y=2的两个相邻交点的距离等于2,则f-2的值是()。A.2B.0C.-1D.-3答案：B解析：由题意知函数f(x)的周期为2,则=2,所以=12,于是f(x)=2tan12x+4,所以f-2=2tan12-2+4=2tan0=0,故选B。23.(2019深圳中学月考)已知函数f(x)=sinx|cosx|。(1)求函数f(x)的定义域;答
28、案：由cosx0,得xk+2(kZ),所以函数f(x)的定义域是xxR且xk+2,kZ解析：(2)用定义判断函数f(x)的奇偶性;答案：由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称。因为f(-x)=sin(-x)|cos(-x)|=-sinx|cosx|=-f(x),所以f(x)是奇函数。(3)在-,上作出函数f(x)的图像。答案：f(x)=tanx,-2x2,-tanx,-x-2或2x,所以f(x)在-,上的图像如图所示。24.(2019云南楚雄民族中学高一下月考)已知函数f(x)=x2+2xtan-1,x-1,3,其中-2,2。(1)当=-6时,求函数的最大值和最小值;答案：当=-6时,f(x)=x2-233x-1=x-332-43。x-1,3,当x=33时,f(x)取得最小值-43,当x=-1时,f(x)取得最大值233。(2)若y=f(x)在区间-1,3上是单调函数,求的取值范围。答案：f(x)=(x+tan)2-1-tan2是关于x的二次函数,它的图像的对称轴为直线x=-tan。y=f(x)在区间-1,3上是单调函数,-tan-1或-tan3,即tan1或tan-3。又-2,2,的取值范围是-2,-34,2。
