1、第一章预备知识单元整合1.%￥#016￥7%(2020南京外校月考)已知集合U=1,2,3,4,5,集合A=x|x2-3x+2=0,B=x|x=2a,aA,则集合U(AB)中的元素个数为()。A.1B.2C.3D.4答案：B解析：因为A=1,2,B=x|x=2a,aA=2,4,所以AB=1,2,4,所以U(AB)=3,5。2.%￥187#￥9%(2020湖南衡阳一中检测)已知全集U=R,表示集合A=xZ|0x6和B=xZ|-4x4关系的Venn图如图1-2所示,则阴影部分集合中的元素共有()。图1-2A.5个B.6个C.7个D.无穷多个答案：C解析：由题可得A=1,2,3,4,5,6,B=-3
2、,-2,-1,0,1,2,3,则AB=1,2,3,AB=-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,根据Venn图知阴影部分表示的集合(AB)(AB)=-3,-2,-1,0,4,5,6,故选C。3.%31￥7*0#%(2020北京二中期中)设集合U=(x,y)|x,yR,M=(x,y)y-3x-2=1,N=(x,y)|yx+1,则(UM)(UN)=。答案：(2,3)解析：方法一:集合M=(x,y)y-3x-2=1=(x,y)|y=x+1,且x2,如图所示,集合U表示坐标平面内所有的点,集合M表示直线y=x+1除去(2,3)的所有的点,N=(x,y)|yx+1,表示坐标平面内除去直线y=x+1
3、以外的所有的点,从而MN表示坐标平面内除去(2,3)的所有的点,所以(UM)(UN)=U(MN)=(2,3)。方法二:因为M=(x,y)|y=x+1,且x2,所以UM=(x,y)|yx+1(2,3),因为N=(x,y)|yx+1,所以UN=(x,y)|y=x+1,所以(UM)(UN)=(2,3)。4.%1*5#87*%(2020常德中学月考)对于集合A,B,我们把集合(a,b)|aA,bB记作AB。例如A=1,2,B=3,4,则有AB=(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),BA=(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),AA=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),BB
4、=(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)。据此,试回答下列问题:(1)已知C=a,D=1,2,3,求CD;答案：解:CD=(a,1),(a,2),(a,3)。(2)已知AB=(1,2),(2,2),求集合A,B;答案：因为AB=(1,2),(2,2),所以A=1,2,B=2。(3)A中有3个元素,B中有4个元素,试确定AB中有几个元素。答案：从题干及(1)(2)解题过程中可以看出,AB中元素的个数与集合A和B中的元素个数有关,即集合A中的每一个元素与B中的每一个元素对应后,得到AB中的一个新元素,若A中有m个元素,B中有n个元素,则AB中的元素个数应为mn,所以若A中有3个元素,B中有
5、4个元素,则AB中有34=12(个)元素。5.%*#8600#￥%(2020湛江第一中学月考)已知集合A=x|xa,B=x|1x2,且A(RB)=R,则实数a组成的集合为()。A.a|a1B.a|a2答案：C解析：因为B=x|1x2,所以RB=x|x1或x2。因为A=x|xa,A(RB)=R,所以a2。故选C。6.%*7660%(2020陕师大附中月考)已知命题:“xx|-1x1,使不等式x2-x-m0成立”是真命题。(1)求实数m的取值集合B;答案：解:由命题:“xx|-1x1,使不等式x2-x-m0成立”是真命题,得x2-x-m(x2-x)max,得m2,即B=m|m2。(2)设不等式(x
6、-3a)(x-a-2)0的解集为A,若xA是xB的充分不必要条件,求实数a的取值范围。答案：不等式(x-3a)(x-a-2)2+a,即a1时,解集A=x|2+ax1;当3a=2+a,即a=1时,解集A=,满足题设条件;当3aa+2,即a1时,解集A=x|3ax0恒成立,求实数m的取值范围;答案：解:由题意得x2-mx+1x0对任意x0恒成立,即x-m+1x0对x0恒成立,即有mx+1xmin,由当x0时,x+1x2,可得当x=1时,x+1x取得最小值2,可得m2。(2)讨论关于x的不等式x2-mx+10的解集。答案：令g(x)=x2-mx+1,当=m2-40,即-2m2时,g(x)0的解集为R
7、;当0,即m2或m0的解集为x|x0。(1)求函数y的解析式;答案：解:由题意知-2,0是方程3x2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系得-2+0=-b3,-20=c3,解得b=6,c=0,y=3x2+6x。(2)若对于任意的x-2,2,y+m3都成立,求实数m的最大值。答案：3x2+6x+m3,即m-3x2-6x+3,而当x-2,2时,函数f(x)=-3x2-6x+3的对称轴为直线x=-1,函数图像开口向下,所以当x=2时函数取得最小值。即f(x)min=-21,m-21,实数m的最大值为-21。10.%1#3#68%(2020黄冈中学月考)某城市旅游资源丰富,经调查,在过去的一个月内(以
8、30天计),第t天的旅游人数y(万人)近似地满足y=4+1t,而人均消费g(元)近似地满足g=125-|t-25|。(1)求该城市的旅游日收益W(万元)与时间t(1t30,tN*)的函数关系式;答案：解:W=yg=4+1t(125-|t-25|)=4+1t(100+t)(1t25),4+1t(150-t)(25t30)=401+4t+100t(1t25),599+150t-4t(25441。综上,t1,30时,旅游日收益W的最小值为441万元。1.%27￥*1*7%(2019全国高考)已知集合M=x|-4x2,N=x|x2-x-60,则MN=()。A.x|-4x3B.x|-4x-2C.x|-2
9、x2D.x|2x3答案：C解析：由题意得M=x|-4x2,N=x|-2x3,则MN=x|-2x0,B=x|x-10,则AB=()。A.x|x1B.x|-2x1C.x|-3x3答案：A解析：由题意得A=x|x3或x2,B=x|x1,则AB=x|x0,xR,则AB=。答案：1,6解析：由题意知AB=1,6。5.%9#725￥#%(2019天津高考)设集合A=-1,1,2,3,5,B=2,3,4,C=xR|1x4,x-ay2,则()。A.对任意实数a,(2,1)AB.对任意实数a,(2,1)AC.当且仅当a4,2-a2,解得a32,所以当且仅当a32时,(2,1)A,故选D。7.%068#*2%(2
10、018全国高考)已知集合A=(x,y)|x2+y23,xZ,yZ,则A中元素的个数为()。A.9B.8C.5D.4答案：A解析：方法一:由x2+y23知,-3x3,-3y3。又xZ,yZ,所以x-1,0,1,y-1,0,1,所以A中元素的个数为33=9,故选A。方法二:根据集合A的元素特征及圆的方程(以后会学到)在坐标系中作出图形,如图,易知在圆x2+y2=3中有9个整点,即为集合A的元素个数,故选A。8.%60￥*￥21%(2018浙江高考)已知全集U=1,2,3,4,5,A=1,3,则UA=()。A.B.1,3C.2,4,5D.1,2,3,4,5答案：C解析：因为U=1,2,3,4,5,A
11、=1,3,所以UA=2,4,5。故选C。9.%￥#61*24%(2018全国高考)已知集合A=x|x2-x-20,则RA=()。A.x|-1x2B.x|-1x2C.x|x2D.x|x-1x|x2答案：B解析：方法一:A=x|(x-2)(x+1)0=x|x2,所以RA=x|-1x2,故选B。方法二:因为A=x|x2-x-20,所以RA=x|x2-x-20=x|-1x2,故选B。10.%509￥2%(2018天津高考)设全集为R,集合A=x|0x2,B=x|x1,则A(RB)=()。A.x|0x1B.x|0x1C.x|1x2D.x|0x2答案：B解析：因为B=x|x1,所以RB=x|x1,因为A=
12、x|0x2,所以A(RB)=x|0x1”的否定是()。A.对任意实数x,都有x1B.不存在实数x,使x1C.对任意实数x,都有x1D.存在实数x,使x1答案：C解析：由题意可得答案为C。14.%#962#0%(天津高考)设xR,则“x12”是“2x2+x-10”的()。A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：2x2+x-10的解集为x|x12,“x12”是“2x2+x-10”的充分而不必要条件,故选A。15.%656#0*￥#%(2018全国高考改编)已知函数y=x+2,x0,-x+2,x0,则不等式yx2的解集是()。A.x|-1x1B.
13、x|-2x2C.x|-2x1D.x|-1x2答案：A解析：依题意得x0,x+2x2或x0,-x+2x2-1x0或00,b0且a+b=1a+1b。证明:(1)a+b2;答案：解:由a+b=1a+1b=a+bab,a0,b0,得ab=1。由基本不等式及ab=1,有a+b2ab=2,即a+b2。(2)a2+a2与b2+b2不可能同时成立。答案：假设a2+a2与b2+b2同时成立,则由a2+a0得0a1;同理得0b1,从而ab1,这与ab=1矛盾。故a2+a2与b2+b0,则a4+4b4+1ab的最小值为。答案：4解析：a4+4b4+1ab4a2b2+1ab=4ab+1ab24ab1ab=4前一个等号
14、成立的条件是a2=2b2,后一个等号成立的条件是ab=12,两个等号可以同时取得,即当且仅当a2=22,b2=24时同时取等号。18.%44*7#5%(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600t,每次购买xt,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元。要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是。答案：30解析：总费用为4x+600x6=4x+900x42900=240,当且仅当x=900x,即x=30时等号成立。19.%57￥#9*9%(2017山东高考)若直线xa+yb=1(a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为。答案：8解析：1a+2b=1,2a+b=(2a+b)1a+2b=4+ba+4ab4+2ba4ab=8,当且仅当b=2a时取等号。
