1、新20版练B1数学人教A版学科素养专练素养1数学抽象1.(2019辽宁大连庄河高中高一上期末)如果函数f(x)的定义域为-1,1,那么函数f(x2-1)的定义域是()。A.0,2B.-1,1C.-2,2D.-2,2答案:D解析:函数f(x)的定义域为-1,1,由-1x2-11,解得-2x2,函数f(x2-1)的定义域是-2,2。故选D。2.(2019福建漳州龙海程溪中学高一上期中)下列图像中能表示函数y=f(x)的是()。图11答案:B解析:由函数的定义可知,对定义域内的任何一个变量x,都存在唯一的一个变量y与x对应。只有B满足。故选B。3.(2019上海华东师大第二附属中学高一上期中)已知集
2、合A=x|m-4x2m,B=x|-1x4,若AB=B,则实数m的取值范围为。答案:2,3解析:AB=B,BA。A=x|m-4x2m,B=x|-1x4,m-4b,不等式af(a)f(1)的解集为()。A.1e,1B.1e,eC.(0,e)D.(e,+)答案:C解析:设F(x)=xf(x),则F(x)是R上的奇函数,且在0,+)上是减函数,从而F(x)在R上递减,则(lnx)f(lnx)f(1)F(lnx)F(1)lnx1=lne0xe。故选C。5.(2019安徽六安一中高一下期中检测)若f(n)=sin n3(nZ),则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 018)=。答案:3解析:f(1)=s
3、in3=32,f(2)=sin23=32,f(3)=sin=0,f(4)=sin43=-32,f(5)=sin53=-32,f(6)=sin2=0,f(7)=sin73=sin3=f(1),f(8)=f(2),。f(1)+f(2)+f(3)+f(6)=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(2018)=f(1)+f(2)+3360=3。6.(2019湖南长郡中学高一上模块检测)设函数f(x)=14sin2kx5+3,其中k是正整数。若对任意实数a,均有f(x)|axa+1=f(x)|xR,则k的最小值为。答案:16解析:依题意得T=22k55。又kN*,故k的最小值为16。素养2逻辑推理7.(2
4、019太原调考)“命题xR,x2+ax-4a0为假命题”是“-16a0”的()。A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:因为“xR,x2+ax-4a0”为假命题,所以“xR,x2+ax-4a0”为真命题。所以=a2+16a0,即-16a0。所以“命题xR,x2+ax-4a0时,f(x)x10,则x2-x10。f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)0。f(x2)bcB.bacC.cabD.cba答案:C解析:因为函数f(x)=0.2x在R上递减,所以1=0.200.20.
5、30.20.5,即ba1.20=1,即c1,于是bac,故选C。11.(2019河南实验中学高一上期中)设函数f(x)定义在实数集R上,满足f(1+x)=f(1-x),当x1时,f(x)=2x,则下列结论正确的是()。A.f13f(2)f12B.f12f(2)f13C.f12f13f(2)D.f(2)f13f12答案:C解析:由f(1+x)=f(1-x)知函数f(x)的图像关于直线x=1对称,知f13=f53,f12=f32。又当x1时,f(x)=2x是增函数,f32f53f(2),即f12f130,函数f(x)=sinx+3在2,上单调递减,则的取值范围是()。A.13,76B.13,56C
6、.0,13D.0,3答案:A解析:依题意得T22T,又0,所以202。由2x得2+3x+3f(1)的x的取值范围。答案:解:f(x)在(0,+)上为减函数,且f(x)是偶函数,f(x)在(-,0)上为增函数,又f(2x-1)f(1),即0|2x-1|1,解得x0,1212,1。15.(2019河南商丘九校高一期中联考)对于函数f(x)=a-22x+1(xR)。(1)判断并证明函数的单调性;答案:函数f(x)为R上的增函数。证明如下:函数f(x)的定义域为R。任取x1,x2R,且x1x2,有f(x1)-f(x2)=a-22x1+1-a-22x2+1=22x2+1-22x1+1=2(2x1-2x2
7、)(2x2+1)(2x1+1)。因为y=2x是R上的增函数,x1x2,所以2x1-2x20,2x2+10,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)为R上的增函数。(2)是否存在实数a,使函数f(x)为奇函数?证明你的结论。答案:xR,f(x)是奇函数,f(0)=0,即a=1。所以存在实数a=1,使函数f(x)为奇函数。证明如下:当a=1时,f(x)=1-22x+1=2x-12x+1。对任意xR,f(-x)=2-x-12-x+1=1-2x1+2x=2x-12x+1=-f(x),又f(x)的定义域为R,故f(x)为奇函数。素养3数学运算16.(2019重庆綦江高一上期
8、末联考)若f(x)是偶函数且在0,+)上为增函数,又f(-3)=1,则不等式f(x)3或-3x0B.x|x-3或0x3C.x|x3D.x|-3x3答案:D解析:f(x)是偶函数,f(-3)=1,f(3)=1。f(x)1,f(|x|)f(3)。f(x)在(0,+)上是增函数,|x|3,-3x3,不等式f(x)1的解集为x|-3xa,求a的取值范围。答案:()-2,2()由(1)知f(x)=x2-4x,则当x0时,g(x)=x2-4x;当x0,则g(-x)=(-x)2-4(-x)=x2+4x。因为g(x)是奇函数,所以g(x)=-g(-x)=-x2-4x。若g(a)a,则a0,a2-4aa或aa,
9、解得a5或-5a0。综上,a的取值范围为a5或-5a0时,f(x)=-x2+bx+c,若f(1)=f(3),f(2)=2。(1)求b,c的值;答案:f(1)=f(3),f(2)=2,-1+b+c=-9+3b+c,-4+2b+c=2,解得b=4,c=-2。(2)求f(x)在x0时的表达式;答案:设x0,当x0时,f(x)=-x2+4x-2,f(-x)=-(-x)2+4(-x)-2=-x2-4x-2。又f(x)为奇函数,f(x)=-f(-x)=x2+4x+2,即当x0时,f(x)的表达式为f(x)=x2+4x+2。(3)解不等式f(x)0时,解-x2+4x-2-2,得x4。又因为x0,所以x4。当
10、x0时,解x2+4x+2-2得(x+2)20,所以不等式无解。综上,不等式f(x)4。22.(2019湖北荆州中学高一上期末)完成下列题目。(1)计算:log327+lg 25+lg 4+(-9.8)0+log2-1(3-22);答案:原式=log32712+lg52+lg22+1+log2-1(2-1)2=32+2(lg5+lg2)+1+2=132。(2)已知lg x+lg y=2lg(x-2y),求log2y-log2x的值。答案:依题意得x0,y0,x-2y0,0yx0,4yx2-5yx+1=0,解得yx=14或yx=1(舍去),因此log2y-log2x=log2yx=log214=l
11、og22-2=-2log2(2)2=-22=-4。素养4直观想象23.(2019河北唐山一中高一上期中)已知函数f(x)=ax-2(a0,且a1),f(x0)=0且x0(0,1),则()。A.1a2C.a2D.a=2答案:B解析:x0(0,1),f(x0)=0,且函数f(x)是单调函数,f(0)f(1)0,(1-2)(a-2)2。故选B。24.(2019河南商丘一高高一上期中)定义在R上的奇函数f(x),当x0时,f(x)=log12(x+1),x0,1),1-|x-3|,x1,+),则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0a1)的所有零点之和为()。A.1-2-aB.2a-1C.1-2aD.
12、2-a-1答案:C解析:函数F(x)=f(x)-a的零点即函数y=f(x)与y=a的图像的交点,在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)和y=a的图像,如图所示。由图像知,当0a1时,y=f(x)与y=a的图像有5个交点(交点的横坐标从左到右依次记为x1,x2,x3,x4,x5),且x1+x2=-6,x4+x5=6,f(x3)=a(-1x30)。由f(x3)=a及f(x)为奇函数,得f(-x3)=-a(0-x31),所以log12(-x3+1)=-a,即x3=1-2a。因此x1+x2+x3+x4+x5=1-2a,故选C。25.(2019河北唐山一中高一上期中)已知函数f(x)为偶函数,当x0
13、时,f(x)=2x-x2,那么函数g(x)=ff(x)-12的零点个数为()。A.2B.4C.6D.8答案:D解析:函数g(x)=ff(x)-12的零点即y=ff(x)与y=12的图像的交点,在同一坐标系内作出函数y=f(x)及y=12的图像,如图所示。令g(x)=0,得ff(x)=12,设f(x)=t,则f(t)=12,由图像知,f(t)=12有四个解(从左到右依次记为t1,t2,t3,t4),-2t1-1t20t31t42。当t=t1(-2,-1)时,f(x)=t1有两个解,当t=t2(-1,0)时,f(x)=t2有两个解。当t=t3(0,1)时,f(x)=t3有四个解,当t=t4(1,2
14、)时,f(x)=t4无解,故ff(x)=12共有8个实数解,即函数g(x)的零点个数为8,故选D。26.(2019山东青岛二中高一上期中)已知f(x)=-x2+2x+1,g(x)=|ln x|,则方程f(x)-g(x)=0的实根个数为()。A.0B.1C.2D.3答案:C解析:将f(x)=-x2+2x+1化为f(x)=-(x-1)2+2,在同一坐标系内作出f(x),g(x)的图像如图所示。由图像知两函数图像有两个交点,所以方程f(x)-g(x)=0有两个实根,故选C。27.(2019江西赣州高一上期末)设常数m使方程cos x=m在区间2,3上恰有三个解x1,x2,x3(x1x2x3),且x2
15、2=x1x3,则实数m的值为()。A.-22B.-12C.12D.22答案:B解析:作出y=cosx2x3的图像,如图所示。由cosx=m有三解知-1m0,由图像知,x2=2-x1,x3=2+x1,又x22=x1x3,42-4x1+x12=2x1+x12,解得x1=23,从而m=cosx1=cos23=-12,故选B。28.(2019安徽巢湖一中高一下期中检测)如图13所示,在ABC中,AB=AC,ABC=45,以AB为直径的O交BC于点D,若BC=42,则图中阴影部分的面积为()。图13A.+1B.+2C.2+2D.4+1答案:B解析:连接OD,则阴影部分由扇形AOD与BOD组成。由AB=A
16、C,ABC=45,得CAB=90,AOD=90,又由BC=42得AB=4,从而圆的半径OA=2。S=12222+1222=+2,故选B。29.(2019湖南郴州高一上期末)已知函数f(x)=x,x0,2,4x,x(2,4。(1)画出函数f(x)的大致图像;图14答案:函数f(x)的大致图像如图所示。(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间。答案:由函数f(x)的图像得出,f(x)的最大值为2。其单调递减区间为2,4。30.(2019湖南湘东五校高一下期末联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f(x)=e-x(e为自然对数的底数)。(1)求函数f(x)在R上的解析式,并作出f
17、(x)的大致图像;图15答案:当x0,所以f(-x)=ex。因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=ex,f(x)=ex,x2000,即1.12x2013,因此xlg2-lg1.3lg1.120.30-0.110.05=3.8,又xN*,故x4,即从2021年起,该校全年投入的科研经费超过2000万元,故选B。32.(2019青岛二中周测)某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组实验数据如下表:x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是()。A.y=2x-2B.y=12xC.y=log2xD.y=12(x2-1
18、)答案:D解析:解法一:相邻的自变量之差大约为1,相邻的函数值之差大约为2.5,3.5,4.5,6,基本上是逐渐增加的,二次曲线拟合程度最好,故选D。解法二:比较四个函数值的大小,可以采用特殊值代入法。可取x=4,经检验易知选D。33.(2019四川泸州期末)某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标,特制定了一个销售人员年终绩效奖励方案:当销售利润为x万元(4x10)时,奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加,但奖金总数不超过2万元,同时不超过销售利润的12,则下列函数中,符合该公司奖励方案的函数模型是(参考数据:lg 20.3,lg 30.48,lg 50.7)()。A.y=0.
19、4xB.y=lg x+1C.y=x12D.y=1.125x答案:B解析:A选项中,当x=10时,y=4,超过2万元,错误;B选项中,y=lgx+1在4,10上是增函数,当x=10时,ymax=2,结合图像知:lgx+12,超过2万元,错误;D选项中,当x=10时,y=9810,设9810=a,则lga=10(lg9-lg8)0.6,因此a100.6102,超过2万元,错误。故选B。34.(2019河南南阳等八市高一期中质检)某航空公司规定,乘客所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图16所示的一次函数图像确定,那么乘客可免费携带行李的最大质量为kg。图16答案:19解析:依题
20、意可设运费y(元)与携带行李的质量x(kg)之间的函数关系式为y=kx+b(k0),由图像可得330=30k+b,630=40k+b,解得k=30,b=-570。因此y=30x-570。令y=0,得x=19,故乘客可免费携带行李的最大质量为19kg。35.(2019福建三明高中联盟高一上期末)一件商品的成本为20元,当售价为40元时每天能卖出500件,若售价每提高1元,每天的销量就减少10件,则商家定价为元时,每天的利润最大。答案:55解析:设每天的销售利润为y元,且售价提高x元,则销量为(500-10x)件,故y=(40+x)-20(500-10x)=-10(x-15)2+12250,当x=
21、15时,y取得最大值,故定价为55元时,每天的利润最大。故答案为55。36.(2019山西康杰中学高一上期中)如图17,已知底角为45的等腰梯形ABCD,底边BC长为7 cm,腰长为22 cm,当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,令BF=x cm,试写出直线l左边阴影部分的面积y(cm2)与x(cm)的函数解析式。图17答案:解:过点A,D分别作AGBC,DHBC,垂足分别G,H。因为四边形ABCD是等腰梯形,底角为45,AB=22cm,所以BG=AG=DH=HC=2cm,又BC=7cm,所以AD=GH=3cm。(1)当点F
22、在BG上,即x0,2时,y=12x2。(2)当点F在GH上,即x(2,5时,y=2+(x-2)2=2x-2。(3)当点F在HC上,即x(5,7时,y=S五边形ABFED=S梯形ABCD-SRtCEF=-12(x-7)2+10。所以所求的函数解析式为y=12x2,x0,2,2x-2,x(2,5,-12(x-7)2+10,x(5,7。37.(2019河南商丘九校高一上期末联考)某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图18;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图18。(注:利润和投资单位:万元)图18(1)分别求出A,B两种产品的利润与投资之间的函
23、数关系式;答案:根据题意可设A产品的利润与投资的关系式为f(x)=kx(k0),B产品的利润与投资的关系式为g(x)=mx(m0),易得f(x)=0.25x(x0),g(x)=2x(x0)。(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将其全部投入A,B两种产品的生产,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润为多少万元?答案:设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获得的总利润为W万元。则W=14(18-x)+2x,0x18,令x=t,则x=t2,t0,32,则W=14(-t2+8t+18)=-14(t-4)2+172。所以当t=4时,W最大,Wmax=172=8
24、.5,此时x=16,18-x=2。所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该企业获得最大利润,最大利润为8.5万元。38.(2019无锡模块统考)海水受日月的引力,在一定的时间发生涨落的现象叫潮,一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐。在通常的情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋。下面是某港口某季节一天的时间与水深的关系表:时间(x)0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深/米(y)5.07.65.02.45.07.65.02.45.0(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,并分别求出10:00时和13
25、:00时的水深近似数值;答案:以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图。根据图像,可以考虑用函数y=Asin(x+)+h(A0,0)刻画水深与时间的对应关系,从数据和图像可以得出:A=2.6,h=5,T=12,=0,由T=2=12,得=6,所以这个港口的水深与时间的关系可用y=2.6sin6x+5(0x24)近似描述。当x=10时,y=2.6sin53+5=135-32+5=5-13310,当x=13时,y=2.6sin136+5=6.3,所以10:00时和13:00时的水深近似数值分别为5-13310米和6.3米。(2)若某船的吃水深度(船底与水面的距离)为4.5米,安全条例规
26、定至少要有1.8米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口,在港口能停多久?答案:该船需要的安全水深为4.5+1.8=6.3(米),所以当y6.3时该船安全,令2.6sin6x+56.3,得sinx612,则2k+6x62k+56,kZ,12k+1x12k+5,kZ。又0x24,1x5或13x17,因此该船可以在1点左右进港,5点左右出港,或在13点左右进港,17点左右出港,每次可以在港口停4小时。素养6数据分析39.(2019青岛调考)某帆板集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0t24,单位:时)呈周期性变化,每天时刻t的浪高数据的平均值如下表:t/
27、时03691215182124y/米1.01.41.00.61.01.41.00.61.0(1)作散点图;答案:散点图如图所示。(2)从y=at+b,y=Asin(t+)+b;y=Atan(t+)中选一个适合的函数模型,并求出该模型的解析式;答案:由(1)知选择y=Asin(t+)+b较合适。令A0,0,|。由图知,A=0.4,b=1,T=12,所以=2T=6。把t=0,y=1代入y=0.4sin6t+1,得=0。故所求拟合模型的解析式为y=0.4sin6t+1(0t24)。(3)如果确定在一天内的7时到19时之间,当浪高不低于0.8米时才进行训练,试安排恰当的训练时间。答案:由y=0.4sin6t+10.8,得sin6t-12,则-6+2k6t76+2k(kZ),即12k-1t12k+7(kZ),注意到t0,24,所以0t7,或11t19,或23t24,再结合题意可知,应安排在11时到19时训练较恰当。
