1、3.1.3函数的奇偶性第1课时奇偶性的概念学 习 任 务核 心 素 养1理解奇函数、偶函数的定义(重点)2了解奇函数、偶函数图像的特征(一般)3掌握判断函数奇偶性的方法(重点、难点)1借助奇(偶)函数的特征，培养直观想象素养2借助函数奇、偶的判断方法，培养逻辑推理素养.在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影问题(1)上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“图形的部分”对称？(2)哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？知识点一奇函数、偶函数的定义奇偶性偶函数奇函数条件设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有
2、xD结论f(x)f(x)f(x)f(x)图像特点关于y轴对称关于原点对称1具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？提示定义域关于原点对称1思考辨析(对的打“”，错的打“”)(1)奇函数的图像一定过原点()(2)如果定义域内存在x0，满足f(x0)f(x0)，函数f(x)是偶函数()(3)若对于定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)0，则函数f(x)是奇函数()答案(1)(2)(3)提示(1)不一定，如函数f(x).(2)不符合定义，必须对于定义域内的任意一个x都成立(3)若f(x)f(x)0，则f(x)f(x)2.下列函数中，即是奇函数又是减函数的为()Ayx1By3x2CyDyx|x|D选项
3、中是奇函数的只有C、D，而它们中y在定义域上不是减函数，只有D符合题意知识点二奇函数、偶函数的图像特征(1)奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称(2)如果一个函数的图像关于原点对称，那么它是奇函数；如果一个函数的图像关于y轴对称，那么它是偶函数2.若f(x)为奇函数，且点(x，f(x)在其图像上，则哪一个点一定在其图像上？若f(x)为偶函数呢？提示若f(x)为奇函数，则(x，f(x)在其图像上；若f(x)为偶函数，则(x，f(x)在其图像上3.下列图像表示的函数具有奇偶性的是()ABCDBB选项的图像关于y轴对称，是偶函数，其余选项中的图像都不具有奇偶性4.函数yf(x)，x1，
4、a(a1)是奇函数，则a等于()A1B0C1D无法确定C奇函数的定义域关于原点对称，a10，即a1 类型1函数奇偶性的判断【例1】(1)已知yf(x)，x(a，a)，F(x)f(x)f(x)，则F(x)是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数(2)函数f(x)2x的图像关于()Ay轴对称B坐标原点对称C直线yx对称D直线yx对称(3)判断下列函数的奇偶性：f(x)|2x1|2x1|；f(x)；f(x)(1)B(2)B(1)F(x)f(x)f(x)F(x)又因为x(a，a)关于原点对称，所以F(x)是偶函数(2)函数的定义域Ax|x0，所以xA时，xA，且f(x)2xf(x)，
5、所以f(x)为奇函数，故图像关于坐标原点对称(3)解因为xR，f(x)|2x1|2x1|(|2x1|2x1|)f(x)，所以f(x)是奇函数函数f(x)的定义域是(，1)(1，)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数法一：作出函数图像如图：关于原点对称，所以函数是奇函数法二：当x0时，f(x)1x2，此时x0，所以f(x)(x)21x21，所以f(x)f(x)；当x0，f(x)1(x)21x2，所以f(x)f(x)；当x0时，f(0)f(0)0.综上，对xR，总有f(x)f(x)，所以f(x)为R上的奇函数判断函数奇偶性的2种方法(1)定义法：(2)图像法：1下列函数中，是偶函
6、数的有_(填序号)f(x)x3；f(x)|x|1；f(x)；f(x)x；f(x)x2，x1,2对于，xR，f(x)x3f(x)，则为奇函数；对于，xR，f(x)|x|1|x|1f(x)，则为偶函数；对于，定义域为x|x0，关于原点对称，f(x)f(x)，则为偶函数；对于，定义域为x|x0，关于原点对称，f(x)xf(x)，则为奇函数；对于，定义域为1,2，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数 类型2奇偶函数的图像问题【例2】已知奇函数f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图像如图所示(1)画出在区间5,0上的图像；(2)写出使f(x)0的x的取值集合解(1)因为函数f(x)是奇
7、函数，所以yf(x)在5,5上的图像关于原点对称由yf(x)在0,5上的图像，可知它在5,0上的图像，如图所示(2)由图像知，使函数值y0的x的取值集合为(2，0)(2,5)变条件将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题解(1)如图所示：(2)由(1)可知，使函数值y0的x的取值集合为(5，2)(2,5)巧用奇、偶函数的图像求解问题(1)依据：奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称(2)求解：根据奇、偶函数图像的对称性，可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图像的问题2如图是函数f(x)在区间0，)上的图像，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图像，并说明你的作图依据解
8、因为f(x)，所以f(x)的定义域为R.又对任意xR，都有f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数，所以f(x)的图像关于y轴对称，其图像如图所示 类型3利用函数的奇偶性求值1对于定义域内的任意x，若f(x)f(x)0，则函数f(x)是否具有奇偶性？若f(x)f(x)0呢？提示由f(x)f(x)0得f(x)f(x)，f(x)为奇函数由f(x)f(x)0得f(x)f(x)，f(x)为偶函数2若f(x)是奇函数且在x0处有定义，则f(0)的值可求吗？若f(x)为偶函数呢？提示若f(x)为奇函数，则f(0)0；若f(x)为偶函数，则无法求出f(0)的值【例3】(1)若函数f(x)ax2bx3ab是偶函
9、数，定义域为a1,2a，则a_，b_；(2)已知f(x)x7ax5bx3cx2，若f(3)3，则f(3)_.思路点拨(1)(2)(1)0(2)7(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a12a，解得a.又函数f(x)x2bxb1为二次函数，结合偶函数图像的特点，易得b0.(2)令g(x)x7ax5bx3cx，则g(x)是奇函数，所以f(3)g(3)2g(3)2，又f(3)3，所以g(3)5.又f(3)g(3)2，所以f(3)527.利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为a，b，根据定义域关于原点对称，利用ab0求参数(2)解析式含参数：根据f(x)f
10、(x)或f(x)f(x)列式，比较系数即可求解3若f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数a_.4法一：f(x)(xa)(x4)x2(a4)x4a，f(x)(xa)(x4)x2(a4)x4a，两式恒相等，则a40，即a4.法二：f(x)(xa)(x4)x2(a4)x4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a40，则a4.法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如f(x)ax2c的都是偶函数，因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则a4.1函数f(x)的图像关于()Ax轴对称B原点对称Cy轴对称D直线yx对称B由得f(x)的定义域为，0)(0，关于原点对称又f(x)f(x)，f(x)是奇
11、函数，f(x)的图像关于原点对称2函数f(x)|x|1是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数Bf(x)|x|1|x|1f(x)，f(x)为偶函数3已知函数f(x)ax22x是奇函数，则实数a_.0f(x)为奇函数，f(x)f(x)0，2ax20对任意xR恒成立，所以a0.4已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2x，则f(2)_.2因为f(x)是定义在R上的奇函数，并且x0时，f(x)x2x，所以f(2)f(2)(2)2(2)2.5如图，给出奇函数yf(x)的局部图像，则f(2)f(1)_.2由题图知f(1)，f(2)，又f(x)为奇函数，所以f(2)f(1)f(2)f(1)2.回顾本节知识，自我完成以下问题：1你对函数奇偶性定义是怎样理解的？提示(1)函数的奇偶性是相对于定义域D内的任意一个x而言的，而函数的单调性是相对于定义域内的某个子集而言的，从这个意义上讲，函数的单调性属于“局部性质”，而函数的奇偶性则属于“整体性质”(2)奇函数和偶函数的定义域在数轴上关于原点对称2根据奇、偶函数的定义，你认为它们的图像有什么特点？提示偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于原点对称3判断或证明函数奇偶性有哪些常用方法？提示(1)定义法；(2)图像法
