1、1.2.3直线与平面的夹角学 习 任 务核 心 素 养1理解斜线与平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性2会求直线与平面的夹角(重点、难点)通过学习空间线面角，提升数学运算、逻辑推理素养赛艇比赛，是2022年第19届杭州亚运会主要赛事之一划杆与水平面所成角的大小，直接关系到赛艇的速度如何确定划杆与水平面所成角，正是我们这一节学习的内容知识点1直线与平面所成的角直线与平面所成的角1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角()(2)斜线与它在平面内的射影所成的角是锐角()(3)斜线与平面的夹角为0，90()(4)直线与平面的夹角为0，90()答案(1)
2、(2)(3)(4)提示(1)错误，角的度数还可以是零度(2)根据斜线与平面所成的角的定义知正确(3)斜线与平面的夹角为(0，90)(4)正确知识点2最小角定理1一平面的斜线在平面内的射影是一条线段还是直线？它是唯一的吗？提示是一条直线，斜线在平面内的射影是唯一的2已知APB在平面内，大小为60，射线PC与PA，PB所成的角均为135，则PC与平面所成角的余弦值是()ABCDB设PC与平面所成的角为，则cos 45cos cos 30，所以cos 知识点3用空间向量求直线与平面的夹角如果v是直线l的一个方向向量，n是平面的法向量，设直线l与平面所成角的大小为，则v，n或v，n，特别地cos si
3、nv，n或sin |cosv，n|2直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？提示不是直线和平面的夹角为3若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A120B60C30D以上均错C设直线l与平面所成的角为，则sin |cos 120|，又090，30 类型1公式cos cos 1cos 2的应用【例1】BOC在平面内，OA是平面的一条斜线，若AOBAOC60，OAOBOCa，BCa，求OA与平面所成的角解法一：OAOBOCa，AOBAOC60，ABACa又BCa，AB2AC2BC2ABC为等腰直角三角形同理BOC也为等腰直角三角形取
4、BC中点为H，连接AH，OH，AHa，OHa，AOa，AH2OH2AO2AHO为等腰直角三角形AHOH又AHBC，OHBCH，AH平面OH为AO在平面内的射影，AOH为OA与平面所成的角在RtAOH中，sinAOHAOH45OA与平面所成的角为45法二：AOBAOC60，OA在内的射影为BOC的平分线，作BOC的角平分线OH交BC于H又OBOCa，BCa，BOC90故BOH45，由公式cos cos 1cos 2，得cosAOH，OA与平面所成的角为45求线面角的关键是确定斜线在平面上射影的位置，只有确定了射影，才能将空间角转化为平面角在本例中，也可以直接作AHBC于H，进而证明AH平面，从而
5、证明H是点A在平面内的射影解法二则灵活应用公式cos cos 1cos 2求线面角，也是常用的方法跟进训练1如图所示，在四棱锥PABCD中，ABCD是正方形，PD平面ABCD若PBC60，求直线PB与平面ABCD所成的角解由题意得CBD45，PBD即为直线PB与平面ABCD所成的角cosPBCcos cosCBD，PBC60即cos 60cos cos 45，cos ，45 类型2用定义法解决直线与平面的夹角问题【例2】如图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，PAAB，ABC60，BCA90(1)求证：BC平面PAC；(2)若D为PB的中点，试求AD与平面PAC夹角的正弦值1用定义法求直
6、线与平面夹角的关键是什么？提示寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的射影2定义法求直线与平面夹角的基本思路是什么？提示若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为0；若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为；若直线与平面相交但不垂直，设直线与平面的交点为O，在直线上任取异于O点的另一点P，过P作平面的垂线PA，A为垂足，则OA即为直线在平面内的射影，AOP即为直线与平面的夹角，然后通过解三角形求出直线与平面夹角的大小解(1)证明：因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC又BCA90，所以ACBC，又AC平面PAC，PA平面PAC，PAACA，所以BC平面PAC(2)取PC
7、的中点E，连接DE因为D为PB的中点，所以DEBC，所以DE平面PAC连接AE，则AE是AD在平面PAC内的射影，所以DAE是直线AD与平面PAC的夹角设PAABa，在直角三角形ABC中因为ABC60，BCA90，所以BC，DE，在直角三角形ABP中，ADa，所以sinDAE即AD与平面PAC夹角的正弦值为1(变问法)若本例条件不变，问题(2)改为：D为PB上的一点，且BDPB，试求AD与平面PAC夹角的正弦值解由已知BCAC，BCPA，ACPAA，所以BC平面PAC，BCPC，过PB的三等分点D作DEBC，则DE平面PAC，连接AE，AD，则DAE为AD与平面PAC的夹角，不妨设PAAB1，
8、因为ABC60，所以BC，DE，PB，BD在ABD中，AD2AB2BD22ABBDcos 45，所以AD，所以sinDAE即AD与平面PAC夹角的正弦值为2(变问法)若本例的题(2)条件不变，求AD与平面PBC的夹角的正弦值解由例题(1)知BC平面PAC，所以平面PAC平面PBC过A作AEPC所以AE平面PBC连接ED，则ADE为AD与平面PBC的夹角设PA2a，AB2a，所以PB2a故ADa在APC中，AP2a，ACABsin 602aa，所以PCa，设ACP，则AEACsin ACaaa，所以sinADE即AD与平面PBC夹角的正弦值为用定义法求直线与平面所成角的关注点(1)关键：寻找直线
9、与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的射影(2)三种情况：若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为0；若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为；若是斜线与平面，作出斜线与平面所成的角，通过解三角形求出直线与平面夹角的大小跟进训练2在正方体ABCDA1B1C1D1中，CB1与平面AA1C1C所成角的大小为_30如图，连接B1D1交A1C1于O，连接OC，因为几何体是正方体，所以OB1平面AA1C1C，所以B1CO是CB1与平面AA1C1C所成的角，设正方体的棱长为1，则OB1，CB1，sinB1CO，可得B1CO30即CB1与平面AA1C1C所成角的大小为30 类型3用向量求直线与平面
10、所成的角【例3】(对接教材人教B版P45例2)如图，已知正方体ABCDABCD中，点H为DB上一点，且DHDB，DH与BD交于点P，求DP与平面AADD所成角的大小解如图所示，以点D为坐标原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz，则C(0，1，0)，D(0，0，1)，B(1，1，1)，(1，1，0)，(0，0，1)，(0，1，0)DHDB，(0，0，1)平面AADD的一个法向量是(0，1，0)，cos，设DP与平面AADD所成角为，则sin |cos，|，30，即DP与平面AADD所成的角为30用向量法求线面角的步骤是什么？提示(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量；(3)求平面
11、的法向量n；(4)计算：设线面角为，则sin 跟进训练3如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ACBC，ACBC1，CC12，点M是A1B1的中点(1)求证：B1C平面AC1M；(2)求AA1与平面AC1M所成角的正弦值解(1)证明：在直三棱柱A1B1C1ABC中，ACBC，ACBC1，CC12，点M是A1B1的中点以C为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则B1(0，1，2)，C(0，0，0)，A(1，0，0)，C1(0，0，2)，A1(1，0，2)，M，(0，1，2)，(1，0，2)，设平面AC1M的法向量n(x，y，z)，则取z1，得n(2，2，1)，n0，又B1C平面AC1M，B1C平面
12、AC1M(2)(0，0，2)，平面AC1M的法向量n(2，2，1)，设AA1与平面AC1M所成的角为，则AA1与平面AC1M所成角的正弦值sin ，所以AA1与平面AC1M所成角的正弦值为1若直线l与平面所成角为，直线a在平面内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是()ABCDD由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为，又l，a为异面直线，则所成角的最大值为 2已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为()A B C DC连接A1C1交B1D1于O点，由已知得C1OB1D1，且平面BDD1B1平面A1B1C1D1，
13、C1O平面BDD1B1，连接BO，则BO为BC1在平面BDD1B1上的射影，C1BO即为所求C1O2，BC12，sinC1BO3已知正四棱锥OABCD中，OAAB，则OA与底面ABCD所成角的正弦值等于()ABCDC设O在底面ABCD内的射影为O，则O为底面ABCD的中心，OAABOAAB，OOAB，OA与底面ABCD所成角OAO的正弦值为4若平面的一个法向量为(1，1，1)，直线l的方向向量为(0，3，4)，则l与所成角的正弦值为_设l与平面所成的角为，则sin 5在正三棱锥PABC中，PA4，AB，则侧棱PA与底面ABC所成角的正弦值为_如图，在正三棱锥PABC中，PA4，AB，设P在底面
14、上的射影为O，则O为ABC的中心，由已知求得AO1，又PA4，POsinPAO即侧棱PA与底面ABC所成角的正弦值为回顾本节知识，自我完成以下问题：1你是怎样理解公式cos cos 1cos 2的？提示由0cos 21，cos cos 1，从而1在公式中，令290，则cos cos 1cos 90090，此即三垂线定理，反之若90，可知290，即为三垂线定理的逆定理，即三垂线定理及逆定理可看成此公式的特例2利用向量法求直线与平面夹角的优点是什么？需要注意什么问题？提示(1)利用向量法求直线与平面的夹角的优点在于不需要作出角，只需建立空间直角坐标系，用待定系数法求出平面的法向量，再利用公式sin |cosv，n|求解(2)利用法向量求直线和平面所成的角时要注意两点：不要认为直线的方向向量与平面的法向量的夹角就是直线与平面所成的角；直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值可正可负，要注意直线和平面所成角的范围是
