1、2020-2021学年新教材人教A版选择性必修二册 第五章 一元函数的导数及其应用 单元测试一、选择题1、已知函数和函数的图象关于轴对称，当函数和在区间上同时递增或同时递减时，区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的最大值为（ ）A. B. 3 C. 2 D. 2、以下四个命题中，正确命题的个数是 (1)已知 ， 是不同的平面，m，n是不同的直线则；(2)直线的充要条件是；(3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 43、曲线f(x)x3x2的一条切线平行于直线y4x1，则切点P0的坐标为( )A(0，1)或(1,0)B(1，4)或(0，2)C(1,0)或(1，
2、4)D(1,0)或(2,8)4、已知定义在上的函数满足其导函数在上恒成立，则不等式的解集为（ ）A B C D 5、已知函数f(x)x24xaln x，若函数f(x)在(1,2)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A. (6，)B. (，16)C. (，166，)D. (，16)(6，)6、已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则( )A. 当k1时，f(x)在x1处取到极小值B. 当k1时，f(x)在x1处取到极大值C. 当k2时，f(x)在x1处取到极小值D. 当k2时，f(x)在x1处取到极大值7、已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值是（ ）A.
3、B. C. D. 8、函数在0，2上的最大值是（ ）A. B. C. 0 D. 9、已知在上是单调函数，则的取值范围是（ ）A B C D 10、已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值，若m，n-1，1，则f(m)+f(n)的最小值是()A.-13 B.-15 C. 10 D.1511、设0m2，已知函数，对于任意x1，x2m-2，m，都有|f(x1)-f(x2)|1，则实数m的取值范围为( )A B C D12、已知是的极小值点，则实数的取值范围是( )ABCD二、填空题13、直线与曲线围成的封闭图形的面积为_14、函数在点（1，e）的切线方程为_。15、已知定义在上的函数的
4、导函数为，若对于任意都有，且，则不等式的解集为_.16、设函数满足，则的值为_.三、解答题17、（本小题满分10分）求下列函数的导数：（1）；（2）.18、（本小题满分12分）求证：曲线xy1上的任何一点P(x0，y0)(x00)的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数19、（本小题满分12分）求下列函数的导数.（1）；（2）.20、（本小题满分12分）已知函数（）求这个函数的导数；（）求这个函数在处的切线方程.21、（本小题满分12分）已知过点(1,1)的直线l与曲线y=x3相切,求直线l的方程.参考答案1、答案C解析因为函数与的图象关于轴对称，所以，因为区间为函数的“不动区间”，所以函数
5、和函数在上单调性相同，因为和函数的单调性相反，所以在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，得；即实数的最大值为，选C点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.2、答案A解析对于命题（1）中两条直线可以互相平行，故不正确；关于命题（2），由两条直线平行的等价性可得，故不正
6、确；对于命题（3），由于，因此是正确的；对于命题（4），由于，而，故不正确。综上四个命题中正确的命题只有一个，应选答案A。3、答案C解析因为 解得 ，所以 或者故选C4、答案D详解：由在上恒成立，得函数f(x)在R上单调递减，又，所以|x|1,解得或，选D.点睛：(1)若可导函数f(x)在(a，b)上0,则函数f(x)在(a，b)上单调递增。(2) 若可导函数f(x)在(a，b)上0,x(0,+).说明H(x)在(0,+)上为增函数,且H(1)=2e-20,H(0)=-10,因此当x0x1(x0为H(x)的零点)时,f(x)1时,f(x)0,f(x)在(1,+)上是增函数.x=1是f(x)的极
7、小值点,故选C.7、答案C解析由题设可知函数在点的切线的斜率是，又直线经过点，所以，所以，应选答案C。8、答案A解析，当时， 单调递增；当时， 单调递减选A9、答案D解析因为在上是单调函数，所以在上恒成立，即；故选D.10、答案A解析求导得f(x)=-3x2+2ax，由函数f(x)在x=2处取得极值知f(2)=0，即-34+2a2=0，a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4，f(x)=-3x2+6x，易知f(x)在(-1，0)上是减少的，在(0，1)上是增加的，当m-1，1时，f(m)min=f(0)=-4.又f(x)= -3x2+6x的图像开口向下，且对称轴为x=1，当n-1，1时，f
8、(n)min=f(-1)=-9.故f(m)+f(n)的最小值为-13.11、答案B解析设,函数，对于任意，都有，等价于在上，利用导数判断函数在为减函数，由，解不等式可得结果.详解设,函数，对于任意，都有，等价于在上，求导时，在为减函数，因为，在上为减函数，得或，又，即实数的范围是，故选B.点睛本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值，以及转化与划归思想的应用，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利
9、解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题.12、答案D解析对函数求导并因式分解，根据导函数零点分布情况，求得实数的取值范围.详解依题意，它的两个零点为，要是函数的极小值点，则必须，此时函数在上递减，在上递增，在处取得极小值.故本题选D.点睛本小题主要考查乘法的导数，考查利用导数研究函数的极小值，考查运算求解能力，属于中档题.13、答案解析联立方程组 ,解得 或，所以围成的封闭图形的面积。14、答案2ex-y-e=0解析所以在点（1，e）的切线方程为，化简得2ex-y-e=0，填2ex-y-e=0。15、答案解析设函数，利用导数结合可得
10、在上单调递减，将化为可解得结果.详解：即为，设函数，则，所以在上单调递减，又因为，所以，不等式可化为，即，所以，故解集为.故答案为：.点睛本题考查了构造函数，利用导数判断单调性，考查了利用函数的单调性解不等式，属于中档题.16、答案1解析先对函数求导，再令，求出的值，代入原函数中，再令可求出.详解：由，得，令，则，解得，所以，令，则，解得故答案为：点睛此题考查函数的导数，属于基础题目.17、答案（1）；（2）或详解：（1）；（2）或点睛：本题考查复合函数求导法则，注意函数如何复合的.解析详解由xy1，得y.所以y.所以kf(x0).过点P(x0，y0)的切线方程为yy0(xx0)令x0，得y；
11、令y0，得x2x0.所以过点P(x0，y0)的切线与两坐标轴围成的三角形面积S2x02，是一个常数点睛求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为解析19、答案（1）；（2）.详解：（1）.（2）.点睛一般地，函数的商的导数公式是，注意求导后分子的结构特点（求导次序与中间的符号）.而函数的导数则是，注意系数是来自.解析20、答案（）；（）.（）由（）的结果求出，再求出切点坐标，进而可得出结果.详解：（）因为，所以；（）由题意可知，切点的横坐标为1，所以切线的斜率是，又，所以切线方程为，整理得.点睛本题主要考查导数的运算以及导数的几何意义，熟记运算法则和几何意义即可，属于基础题型.解析21、答案解析设过(1,1)的直线与y=x3相切于点,所以切线方程为即,又(1,1)在切线上,则x0=1或,当x0=1时,直线l的方程为y=3x-2,当时,直线l的方程为,直线l的方程为y=3x-2或.
