1、四川省宜宾市叙州区第一中学校 2019-2020 学年高二数学下学期第二次月考试题 理（含解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数23i的虚部为（）A.2 B.3i C.3i D.3 【答案】D【解析】【分析】利用复数定义即可得到虚部.【详解】复数23i的虚部为 3.故选：D.【点睛】本题主要考查的是复数的定义，是基础题.2.以下不等式在0 x 时不成立的是（）A ln xx B.exx C.ln1xxe D.1xex 【答案】C【解析】【分析】对,A B D 分别构造函数，利用导数一一研究其单调性和最值，即
2、可判断，对于C 取特值即可判断.【详解】对于 A，令 lnf xxx，则 111xfxxx，当 0,1,0 xf x，f x单调递增，当 1,0 xfx，f x 单调递减，110f xf ，即ln xx，因此 A 正确.对于 B，令 ,1xxf xexfxe，当0 x 时，0fx恒成立，f x 在0,单调递增，010f xf，即exx，因此 B 正确.对于C，令 ln1xf xxe，令1x，则 110fe ，不满足ln1xxe，因此C不正确.对于 D，令 1,1xxf xexfxe ，当0 x 时，0fx恒成立，f x 在0,单调递增，00f xf，即1xxe，因此 D 正确.故选：C.【点睛
3、】本题主要考查的是利用导数研究其单调性和最值，考查学生构造函数的思想，考查计算能力，是中档题.3.已知 2f xx，则 0limxf xxf xx （）A.2x B.2x C.2x D.x 【答案】B【解析】【分析】根据导数定义，可得 0limxf xxf xfxx ，求导，即可的结论.【详解】根据导数定义，可得 0limxf xxf xfxx ，2f xx，2fxx，0lim2xf xxf xxx .故选：B.【点睛】本题主要考查的是导数的定义，考查学生的分析和计算能力，是基础题.4.双曲线22194xy 的渐近线方程是（）A.32yx B.94yx C.23yx D.49yx 【答案】C【
4、解析】【分析】根据双曲线渐近线方程求法，求得双曲线的渐近线.【详解】焦点在 y 轴上，双曲线的标准方程为22149yx，2,3ab，所以渐近线方程23yx.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.5.“1c ”是“直线0 xyc与圆22212xy”相切的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据直线与圆相切，求得1c 或3c，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解.【详解】由题意，圆22212xy的圆心坐标为(2,1)，半径为2，当直线0 xyc与圆22212xy相切，可得dr，即122cd，整理得
5、12c，解得1c 或3c，所以“1c ”是“直线0 xyc 与圆22212xy”相切的充分不必要条件.故选 B.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6.若在221xy 所围区域内随机取一点，则该点落在1xy 所围区域内的概率是（）A.1 B.2 C.12 D.11【答案】B【解析】【分析】不等式221xy 表示的区域面积为，1xy 表示的区域的面积为2，利用几何概型概率公式即可得出结论.【详解】不等式221xy 表示的区域是半径为 1 的圆，面积为，1xy
6、且满足不等式221xy 表示的区域是边长为2 的正方形，面积为2，在221xy 所围区域内随机取一点，则该点落在1xy 所围区域内的慨率 2，故选 B.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积.7.从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为()A.300 B.216 C.180 D.162【答案】C【解析】分两类:一、当偶数取2,4 时，则有243472C A；二、当偶数取0,2 或0,4 时，考虑首位，只
7、有三个数可排，故有23332 3108C A，因此共有72 108180.所以应选 C.8.甲.乙两人约定在上午9:00 到10:40 之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人 20 分钟，过时即可离去若他们在限时内的任何时刻到达约定地的概率都是相等的，则两人能会面的概率为（）A.125 B.1625 C.925 D.15【答案】C【解析】分析】利用坐标的方式表示甲乙两人到达的时间点，构成正方形区域；根据20 xy得到能够会面的时间点构成的区域，根据几何概型面积型的公式求得结果.【详解】9:00 10:40共100 分钟 设甲在100 分钟当中第 x 分钟到达；乙在100 分钟当中第 y 分钟
8、到达 则0100 x，0100y,x y 构成如下图所示的正方形区域 若甲乙能够会面，则满足20 xy，即图中阴影部分所示 两人能会面的概率80 8091100 10025P 本题正确选项：C 【点睛】本题考查几何概型中面积型问题的求解，关键是能够将问题转化为平面直角坐标系中的点所构成的区域的问题，属于常规题型.9.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点为12,F F,离心率为33,过2F 的直线l 交C于,A B 两点，若1AFB的周长为4 3,则b 的值为().A.4 B.2 C.2 D.2 2 【答案】C【解析】【分析】由 e33ca，4a4 3，b2a2c2312，C 的
9、短轴长 2b22 【详解】解：由椭圆的离心率 e33ca，若ABF1的周长为 4 3，4a4 3，a3，c1，由 b2a2c2312，b2，故选 C【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，离心率公式，考查计算能力，属于基础题 10.已知函数3()3f xxx，若过点(2,)Mt 可作曲线()yf x的三条切线，则实数t 的取值范围是()A.(6,2)B.(4,2)C.(6,2)D.(0,2)【答案】C【解析】设 切 点 为00(,)x y,则 方 程2320000000(33)(2),3(33)(2)ytxxxxtxx,32003302txx 有三解,令3200332tyxx,则200003600
10、2yxxxx或,因此30,8 12306222ttt ,选 C.11.已知圆1C：22111xy，圆2C：22214xy，A，B 分别是圆1C，2C 上的动员.若动点 M 在直线 1l：10 xy 上，动点 N 在直线 2l：10 xy 上，记线段 MN 的中点为 P，则 PAPB的最小值为（）A.3 B.5 22 C.143 D.133【答案】D【解析】【分析】根据圆的几何性质，结合点关于直线的对称，得到1222PCPCPCPCCC，即可求解.【详解】由题意，点动点 M 在直线 1l：10 xy 上，动点 N 在直线 2l：10 xy 上，线段 MN 的中点为 P，可得点 P 在直线0 xy
11、上，又由1122123PAPBPCrPCrPCPC，点1 1,1C关于直线0 xy对称的点1,1C ，则122213PCPCPCPCCC，所以 PAPB的最小值为 133.故选 D【点睛】本题主要考查了圆的几何性质的应用，以及直线的对称最值问题的求解，其中解答中根据圆的几何性质，以及结合点关于直线的对称最值求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12.已知函数 f x 的导函数为 fx，且满足 32123fxxaxbx，2 4fxfx，若 6 ln2f xx x恒成立，则实数b 的取值范围为（）A.4ln2,B.5ln5,C.64ln3,D.66ln6,【答案】D【
12、解析】【分析】求得 22fxxaxb，由24f xfx即可求得3a ，将 6ln2f xx x恒成立转化成：min216 n33lxxxb 恒成立.记 2316ln3h xxxx，利用导数判断 h x 的单调性，从而求得 min66ln6h x，问题得解【详解】由题可得：22fxxaxb，由2 4fxfx 所以函数 22fxxaxb的图象关于直线3x 对称，即：232a，解得：3a 所以 6 ln2f xx x恒成立可整理成：0,x ，2316ln3 xxxb 恒成立.即：min216 n33lxxxb 恒成立.记：2316ln3h xxxx，0 x 22362629183333xxxxh x
13、xxxx 当0,6x时，0h x，h x 单调递减 当6,x 时，0h x，h x 单调递增 所以 2min63166ln666l 636nh xh .所以 66ln6b ，即：66ln6b.故选 D【点睛】本题主要考查了函数对称性判断，还考查了转化思想及利用导数求函数的最值方法，考查计算能力，属于难题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.定积分3112dxxx_【答案】8ln3【解析】3112dxxx231(ln)|xx22(3ln3)(11)ln8ln3 答案：8ln3 14.在正方体1111ABCDABC D中，点,E F 分别是1BB，CD 的中点，则异面
14、直线1D F 与 DE所成角的大小为_.【答案】90 【解析】【分析】以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用直线1D F 和直线 DE 的方向向量，计算出线线角的余弦值，由此求得线线角的大小.【详解】以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，设正方体边长为 2，故12,2,1,0,0,2,0,1,0EDF，所以10,1,2D F，设直线1D F 和直线 DE 所成角为，则11cos0D F DED FDE，所以90.【点睛】本小题主要考查利用空间向量法求异面直线所成的角，考查空间向量的运算，属于基础题.15.函数3()sin,11)f xxxx（-，若2()()0f xfx，则实数
15、x 的取值范围是_【答案】1,0【解析】【分析】先研究函数 3sinf xxx在(1,1)x 上的奇偶性与单调性，然后运用函数的性质求解不等式 20f xfx.【详解】解：因为()yf x的定义域为(1,1)，且 33()sin()sin()fxxxxxf x ，所以函数()yf x为奇函数，因为当(1,1)x 时，23cos0fxxx恒成立，所以函数()yf x在(1,1)为增函数，故 20f xfx等价于 2f xfx，即 2f xf x，根据函数的定义域及单调性可得221111xxxx ，解得11111,0 xxxx ，故 x 的取值范围是1,0.【点睛】本题考查了函数性质的运用，判断函
16、数的奇偶性一定要注意定义域的分析，函数单调性的判断往往可以借助导数、图像等方法进行研究.16.已知12FF、分别为双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P 使得2218PFaPF，则双曲线的离心率的取值范围是_.【答案】(1,3【解析】【分析】依题意，双曲线左支上存在一点 P 使得221|PFPF 8a，|PF1|PF2|2a，可求得，|PF1|2a，|PF2|4a，再利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|之间的关系即可求得双曲线的离心率的取值范围【详解】解：P 为双曲线左支上一点，|PF1|PF2|2a，|PF2|PF1|+2a，又221|PFPF 8a
17、，由可得，|PF1|2a，|PF2|4a|PF1|+|PF2|F1F2|，即 2a+4a2c，ca 3，又|PF1|+|F1F2|PF2|，2a+2c4a，ca 1 由可得 1ca 3 故答案为（1，3【点睛】本题考查双曲线的简单性质，依题意求得|PF1|4a，|PF2|2a 是基础，利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|之间的三角关系得到关于 a，c 的不等式组是关键，也是难点，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.17.2.
18、5PM是衡量空气污染程度的一个指标，为了了解 A 市空气质量情况，从2018 年每天的2.5PM值的数据中随机抽取40 天的数据，其频率分布直方图如图所示.将2.5PM值划分成区间0,100、100,150、150,200、200,250，分别称为一级、二级、三级和四级，统计时用频率估计概率.（1）根据2018 年的数据估计该市在2019 年中空气质量为一级的天数；（2）如果 A 市对环境进行治理，经治理后，每天2.5PM值 X 近似满足正态分布115,752XN，求经过治理后的2.5PM值的均值下降率.【答案】（1）91.(2)12.38%.【解析】【分析】(1)由频率近似概率，计算空气质量
19、为一级的天数即可；(2)先由频率分布直方图求解未治理前的均值，再由正态分布得到治理后的均值，从而可得均值下降率.【详解】（1）由样本空气质量2.5PM的数据的频率分布直方图可知，其频率分布如下表：2.5PM值 0,50 50,100 100,150 150,200 200,250 频率 0.125 0.125 0.375 0.25 0.125 由上表可知，如果 A 市维持现状不变，那么该市下一年的某一天空气质量为一级的概率为0.25，因此在365 天中空气质量为一级的天数约有365 0.2591（天）.（2）如果 A 市维持不变，那么该市的2.5PM值的均值约为 25 0.12575 0.12
20、5+125 0.375E Y +175 0.25225 0.125131.25 由于该市的环境进行治理，治理后每天2.5PM值 X 近似满足115,752XN，所以治理后的2.5PM值 X 的均值为115E X，因此 A 市治理后的2.5PM值的均值下降率为131.25 11512.38%131.25【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，考查了均值的运算及正态分布的知识，考查计算求解能力，属于中档题.18.已知函数 32111132fxxaxax，a 为实数.（1）当2a 时，讨论 f x 的单调性；（2）若 f x 在区间1,4 上是减函数，求 a 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）
21、5a 【解析】【分析】（1）求出函数 f x 的导函数 fx，对1a 和1进行比较即可得到 f x 的单调性；（2）根据 x 的取值范围，分1x 和14x进行求解，当14x时分离出a，根据1yx的单调性，即可得出 a 的取值范围.【详解】（1）2111fxxaxaxxa ，当1 1a 即2a 时，210fxx，f x 在 R 上单调递增；当11a 即2a 时，由 0fx得1x 或1xa，由 0fx得11xa.f x分别在,1与1,a 单调递增，在1,1a单调递减.综上所述，当2a 时，f x 在 R 上单调递增；当2a 时，f x 分别在,1与1,a 单调递增，在1,1a单调递减.（2）由已知
22、得 210fxxaxa 在区间1,4 上恒成立.211a xx 在区间1,4 上恒成立.当1x 时，aR.当14x时，1ax.而1yx 在1,4x上单调递增，4x 时，max5y，则5a.综上5a.【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性，以及利用单调性求函数的最值，本题将 a 分离是解题的关键，考查学生的分析能力，和计算能力，是基础题.19.三棱柱111ABCABC中，侧棱与底面垂直，90ABC，12ABBCBB，,M N分别是1,AB AC 的中点 （1）求证：MN 平面11A B C；（2）求二面角11MBCA的余弦值【答案】（1）见证明；（2）33【解析】【分析】（1）以 B1
23、为原点建立空间直角坐标系，求出面平面 A1B1C1的法向量,由nNM即可证得；（2）求得平面 MB1C 的法向量为m，利用法向量夹角的余弦值可求二面角的余弦值.【详解】（1）如图，以 B1为原点建立空间直角坐标系1Bxyz 则110,0,0,0,2,2,2,0,0,1,0,2,1,1,1,BCAMN 1110,2,2,2,0,0,0,1,1B CA BNM.设平面 A1B1C1的法向量为,nx y z 111000 xn B Cyzn A B.令1z ，则0,1,0,1,1xyn .nNM，MN平面 A1B1C（2）平面 MB1C 的法向量为000,mxy z 001001200 xzm B
24、Cyzm B M.令01,z 则 002,1,2,1,1xym ，23cos,326nmm nn m，所求二面角 MB1CA1的余弦值为33【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明线面垂直和求二面角，属于基础题.20.设椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12e，椭圆C 上一点 P 到左右两个焦点12,F F 的距离之和是 4.（1）求椭圆的方程；（2）已知过2F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，且两点与左右顶点不重合，若111F MF AF B，求四边形1AMBF 面积的最大值【答案】（1）22143xy；（2）6【解析】分析：（1）根据题意，结合椭圆的定义可得 a 的值，由离心
25、率公式可得 c 的值，计算可得 b的值，将 a、b 的值代入椭圆的方程即可得答案；（2）设 A（x1，y1），B（x2，y2）以及 AB 的方程，将 AB 的方程与椭圆联立，分析可得 3（my+1）2+4y2=12，借助根与系数的关系可以将四边形 AMBF1面积用 k 表示出来，由基本不等式的性质分析可得答案 详解：（1）依题意，24,2aa，因为12e，所以2221,3cbac，所以椭圆C 方程为22143xy；（2）设 1122,:1A x yB xyAB xmy ，则由221143xmyxy，可得2231412myy，即，2234690mymy，2223636 3414410mmm，又因
26、为111F MF AF B，所以四边形1AMBF 是平行四边形，设平面四边形1AMBF 的面积为 S，则12121222112222423434ABFmSSF Fyymm 设21tm，则2211mtt，所以2124241313tSttt，因为1t，所以134tt，所以0,6S，所以四边形1AMBF 面积的最大值为6.点睛：在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间
27、建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.21.已知函数 2lnf xa xx，其中aR.（1）讨论 f x 的单调性；（2）当1a 时，证明:21f xxx；（3）试比较22222222ln2ln3ln4ln234nn与 12121nnn*2nNn且的大小，并证明你的结论【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）求得 22axfxx，对a 的范围分类讨论即可求得 f x 的单调性（2）将 21f xxx 转化成ln10 xx，证明 gln10 xxx 恒成立
28、，利用导数求得 10g xg，问题得证（3）由（2）可得：ln1xx，整理得：11lnxxx，所以22211lnnnn，整理2222222323lnlnlnnn得：22222222223111n12323lnlnlnnnn 利用2111111nn nnn即可得：222121111n12321nnnn，问题得解【详解】（1）函数 f x 的定义域为：0,，fx 222aaxxxx 当0a 时，0fx，所以 f x0,上单调递增 当0a 时，令 0fx，解得 x 2a 当02ax时，220ax，所以 0fx，所以 f x 在 0,2a上单调递减；当2ax 时，220ax，所以 0fx，所以 f x
29、 在,2a上单调递增 综上，当0a 时，函数 f x 在0,上单调递增；当0a 时，函数 f x 在 0,2a上单调递减，在,2a上单调递增.（2）当 a 1 时，2lnf xxx，要证明 21f xxx，即证ln1xx，即证：ln10 xx.设 gln1xxx，则 g x 1xx，令 0gx得，1x.当0,1x时，0gx，当1,x 时，0gx.所以1x 为极大值点，且 g x 在1x 处取得最大值 所以 10g xg，即ln10 xx 故 21f xxx.（3）证明：ln1xx（当且仅当1x 时等号成立），即11lnxxx,则有2222ln+22222222223111111111n1323
30、23lnlnnnnn 111n1233 41n n 12111111111n1n1233412121nnnnnn 故：2222ln+22221213321nnlnlnnnn【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及利用导数求函数的最值，还考查了分类思想及转化思想，考查放缩法证明不等式，还考查了裂项求和方法，考查计算能力，属于难题 22.平面直角坐标系 xOy 中,曲线1C 的参数方程为12cos32sinxy(为参数),以坐标原点O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2cos4sin(1)写出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)若射
31、线0:0OM 平分曲线1C，且与曲线2C 交于点 A，曲线2C 上的点 B 满足2AOB，求 AB.【答案】（1）1C：2cos2 3sin，2C：24xy；（2）16 73【解析】【分析】（1）根据cosx，siny即可求解；（2）曲线1C 是圆，射线OM 过圆心1,3，所以方程是03，将03代入2C 的极坐标方程求出8 3A，进而求出83B 即可求解.【详解】解：（1）曲线1C 的直角坐标方程是22134xy，即2222 30 xxyy 化成极坐标方程为：2cos2 3sin 曲线2C 的直角坐标方程是24xy；（2）曲线1C 是圆，射线OM 过圆心1,3，所以方程是03 代入2cos4s
32、in，得8 3A 又2AOB，将56，代入2cos4sin，得83B 因此2216 73ABAB【点睛】本题主要考查极坐标方程与普通方程的互化以及利用极坐标求弦长，属于基础题.23.已知函数()|21|f xx（1）解不等式()|3f xx；（2）若对于 x，yR，有1|31|3xy，1|21|6y，求证：(67)f x.【答案】（1）|24xx；（2）见解析【解析】【分析】（1）分0 x，102x，12x 三种情况讨论；（2）()|21|2(31)3(21)|f xxxyy，再利用绝对值三角不等式即可证明.【详解】（1）由()|3f xx，得|21|3xx ，则12213xxx ，或1021 23xxx ，或01 23.xxx ，解得 142x，或102x，或 20 x，即 24x，所以不等式()|1f xx 的解集为|24xx.（2）证明：由1|31|3xy，1|21|6y，所以217()|21|2(31)3(21)|2|31|3|21|326f xxxyyxyy.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及证明不等式，考查学生的运算能力，是一道容易题.
