1、Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 第二节 平面向量的坐标运算Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 考纲要求1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示2会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算3理解用坐标表示的平面向量共线的条件考试热点从近几年高考来看，向量的坐标运算有单独考查，更多的是与其他知识综合考查预计2011年对本部分的考查以选择题或填空题的形式出现，考查利用平面向量基本定理进行向量坐标运算的能力.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 200
2、4-2009 版权所有 盗版必究 1平面向量基本定理 如果e1、e2是的两个非零向量，对于平面内的任一向量a，存在的一对实数1，2使a1e12e2.e1，e2称为表示平面内所有向量的一组，e1，e2都是这组基底下的一个不共线唯一基底基底向量Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个i、j作为基底，对任一向量a，有且只有一对实数x、y，使得axiyj，则实数对叫做向量a的直角坐标，记作，其中x，y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，叫做向量a的坐标表示，相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量.单位
3、向量(x，y)a(x，y)a(x，y)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3平面向量的坐标运算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab，ab(2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，这就是平面内两点间的距离公式(3)若a(x，y)，则a；当时，表示a方向的(4)如果a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是.，y1y2)(x1x2(x1x2，y1y2)(x2x1，y2y1)(x，y)单位向量x1y2x2y10Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 归纳拓展：向量共线有多种表现形式：设a(x1，y1)，b(x2，y2)(b
4、0)(1)abab(R)即ab(x1，y1)(x2，y2)(2)若x20，y20，(3)abx1y2x2y1x1y2x2y10.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1若向量a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则c等于()Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 答案：BCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2已知ABa 且 A(12，4)，B(14，2)，又 12，则 a等于()A(18，1)B(14，3)C(18，1)D(14，3)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 答案：ACopyright 20
5、04-2009 版权所有 盗版必究 3已知a(1,2)，b(x,1)，且a2b与2ab平行，则x等于()解析：a(1,2)，b(x,1)，a2b(1,2)2(x,1)(2x1,4)，2ab2(1,2)(x,1)(2x,3)a2b与2ab平行(2x1)34(2x)0.解之，得x.选D.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 答案：DCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4如果向量i2j，imj，其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，且A、B、C三点共线，则m_.解析：由题设，又A、B、C三点共线，211m，m2.答案：2Copyright 200
6、4-2009 版权所有 盗版必究 5已知平面内三点 A、B、C 在同一条直线上，OA(2，m)，OB(n,1)，OC(5，1)，且OA OB，求 m、n 的值Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 平面向量的坐标运算 例1 已知A(1,2)，B(2,8)，分析 待定系数法设定点C、D的坐标，再根据向量，和关系进行坐标运算，用方程思想解之Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解 设 C、D 的坐标为(x1，y1)、(x2，y2)由题意得AC(x11，y12)，AB(3,6)DA(1x2,2y2)
7、，BA(3，6)又AC 13AB，DA 13BA(x11，y12)13(3,6)，(1x2,2y2)13(3，6)即(x11，y12)(1,2)，(1x2,2y2)(1,2)x111 且 y122，1x21 且 2y22x10 且 y14，x22 且 y20点 C、D 和向量CD 的坐标分别为(0,4)、(2,0)和(2，4)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 向量共线的坐标表示 例2 若平面向量b与向量a(1，2)的夹角是180，且|b|3，则b()A(3,6)B(3，6)C(6，3)D(6,3)解析 解法1：确定一个平面向量需要两个独立的条件，因此，可设b(x，y)
8、，由a，b的夹角为180，得ab，1y(2)x0；由|b|3 得x2y245，联立解得 当b(3，6)时，a与b的夹角为0，不合题意，b(3,6)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解法 2：向量 b 与向量 a 的夹角是 180，ba(0，b0)，右焦点为 F(c,0)(c0)，则 c2a2b2.不妨设 l1：bxay0，l2：bxay0，则|FA|bca0|a2b2 b，|OA|OF|2|AF|2a.因为|AB|2|OA|2|OB|2，且|OB|2|AB|OA|，所以|AB|2|OA|2(2|AB|OA|)2，于是得 tanAOB|AB|OA|43.Copyrigh
9、t 2004-2009 版权所有 盗版必究 又BF与FA同向，故AOF12AOB，所以 2tanAOF1tan2AOF43.解得 tanAOF12或 tanAOF2(舍去)因此ba12，a2b，c a2b2 5b.双曲线的离心率为 eca 52.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1 向量的坐标表示主要依据平面向量的基本定理平面向量实数对(x，y)任何一个平面向量都有唯一的坐标表示，但是每一个坐标所表示的向量却不一定唯一，也就是说，向量的坐标表示与向量不是的关系，但和起点为原点的向量是的关系即向量(x，y)点A(x，y)向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标 理解向量平行与线段平行，向量相等与线段相等的关系是解题的关键Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去始点坐标，本节易忽略点有二：一是易将向量的终点坐标误认为是向量坐标；二是向量共线的坐标表示易与后面向量垂直的坐标表示混淆Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究