1、6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理课标解读课标要求核心素养1.借助向量的运算,掌握余弦定理的证明、余弦定理的方法及两种表示形式.(重点)2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形.(重点)1.借助余弦定理的推导,提升学生的逻辑推理的素养. 2.通过余弦定理的应用,培养学生的数学运算的素养.如图,修建一条隧道,要穿过一座山,这就要进行工程设计,需要测算山脚的长度,工程技术人员若在地面上选一适当位置A,量出A到山脚B,C的距离,再利用经纬仪(测角仪)测出A对山脚B,C的张角.问题1:这样能求出山脚的长度BC吗?答案根据相似三角形的原理可以求出BC.问题2:能直接求出山脚的长度BC吗?答案通
2、过今天学习的余弦定理即可求出BC.1.余弦定理三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.推论:cos A= b2+c2-a22bc,cos B=c2+a2-b22ca,cos C=a2+b2-c22ab.思考:勾股定理与余弦定理有什么关系?提示余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.2.解三角形(1)三角形的元素:三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.3
3、.余弦定理可以解决两类问题(1)已知三边,求三角.(2)已知两边及一角,求第三边和其他两个角.探究一已知三角形的两边及一角解三角形例1(1)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=23,cos A=32,且bc,则b=()A.3B.2C.22D.3(2)在ABC中,若AB=13,BC=3,C=120,则AC=.答案(1)B(2)1解析(1)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即22=b2+(23)2-2b2332,化简,得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,因为bc,所以b=2.(2)由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos C,即13=A
4、C2+9-2AC3cos 120,化简,得AC2+3AC-4=0,解得AC=1或AC=-4(舍去).思维突破用余弦定理解决已知三角形的两边及一角求三角形第三边的问题时,列出方程后要根据边长为正及大边对大角取舍方程的根.1-1在三角形ABC中,若a=2,b=22,C=15,则c= .答案6-2解析cos 15=cos(45-30)=6+24.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=4+8-22(6+2)=8-43,所以c=6-2.1-2在ABC中,若AB=5,AC=5,且cos C=910,则BC=.答案4或5解析由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos C,即(5)2=
5、52+BC2-25BC910,所以BC2-9BC+20=0,解得BC=4或BC=5.探究二已知三角形的三边解三角形例2(1)在ABC中,若a=7,b=43,c=13,则ABC的最小的角为.(2)已知ABC的三边长分别为a=23,b=22,c=6+2,解此三角形.答案(1)6解析(1)因为cba,所以ABC的最小的角为C.所以cos C=a2+b2-c22ab=49+48-132743=32,所以C=6.(2)由余弦定理的推论得:cos A=b2+c2-a22bc=(22)2+(6+2)2-(23)2222(6+2)=12, 所以A=60.cos B=a2+c2-b22ac=(23)2+(6+2
6、)2-(22)2223(6+2)=22, 所以B=45,所以C=180-A-B=75.(变结论)若例2(1)中的条件不变,如何求ABC的最大的角的余弦值?解析因为cb0,由余弦定理的推论可得,cos A=b2+c2-a22bc=9x2+25x2-49x223x5x=-12,而A(0,),所以A=23.探究三判断三角形的形状例3在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2+b2-ab=c2,且cb=3,判断ABC的形状.解析由a2+b2-ab=c2,得a2+b2-c2=ab,所以cos C= a2+b2-c22ab=12,所以C=3,又cb=3,所以c=3b,所以a2+b2-ab=(
7、3b)2,所以a2-ab-2b2=0,所以a=2b,所以b2+c2=4b2=a2,故ABC为直角三角形.思维突破若式子中含有角的余弦或是边的二次式,一般考虑用余弦定理,通过代数恒等变换得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.3-1在ABC中,已知cos2A2=b+c2c(a,b,c分别为角A,B,C的对边),判断ABC的形状.解析在ABC中,由cos2A2=b+c2c,得1+cosA2=b+c2c,所以cos A=bc,由余弦定理的推论,得b2+c2-a22bc=bc,所以b2+c2-a2=2b2,即c2=a2+b2,故ABC是直角三角形.1.在ABC中,边a,b,c所对的角分别为A,B,C,
8、b=3,c=5,A=120,则a=() A.7B.19C.49D.19答案Aa2=b2+c2-2bccos A=9+25-235cos 120=49,所以a=7.2.在ABC中,a2=c2+b2+3bc,则A等于()A.60B.45C.120D.150答案D由已知得b2+c2-a2=-3bc,根据余弦定理的推论,得cos A=b2+c2-a22bc=-32,所以A=150.3.在ABC中,已知a=4,b=6,C=120,则边c=.答案219解析由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcos C=16+36-246cos 120=76,c=219.4.在ABC中,若a=2bcos C,则ABC是三
9、角形.答案等腰解析因为a=2bcos C=2ba2+b2-c22ab,所以a2=a2+b2-c2,所以b2=c2,即b=c,所以ABC是等腰三角形.5.在ABC中, a=8,B=60,c=4(3+1),求b的值.解析由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B=82+4(3+1)2-284(3+1)cos 60=64+16(4+23)-64(3+1)12=96,b=46.直观想象三角形平面几何性质的应用在ABC中,已知AB=463,cosABC=66,AC边上的中线BD=5,求sin A的值.解析如图,设E为BC的中点,连接DE,则DEAB,且DE=12AB=263.因为BED+ABC=,
10、所以cosBED=-cosABC.设BE=x,在BDE中,利用余弦定理得,BD2=BE2+ED2-2BEEDcosBED,即5=x2+83-2x263-66,解得x=1或x=-73(舍去).故BE=1,BC=2,从而AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=283,即AC=2213,在ABC中,由余弦定理的推论,得cos A=AB2+AC2-BC22ABAC=4632+22132-2224632213=31414,所以sin A=7014.素养探究:解三角形借助平面几何的性质,可以简化计算.利用三角形中位线的平行性把边角关系转化到一个三角形中,从而利用余弦定理求解,过程中体现直观想象的核
11、心素养.如图,在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2acos C-c=2b.(1)求角A的大小;(2)若ABC=6,AC边上的中线BD的长为35,求ABC的面积.解析(1)在ABC中,2acos C-c=2b,由余弦定理的推论,得2aa2+b2-c22ab-c=2b,即b2+c2-a2=-bc,所以cos A=b2+c2-a22bc=-12,所以A=23.(2)因为ABC=6,由(1)得角A=23,所以C=6,所以ABC=C,所以AC=AB,所以AC=AB=2AD,在ABD中,由余弦定理可得,BD2=AB2+AD2-2ABADcos A,即BD2=4AD2+AD2-4ADADc
12、os A,所以5AD2-4AD2-12=35,解得AD=5,所以AB=AC=25,所以SABC=12ABhAB=12ABACsin A=12(25)2sin 23=53.故ABC的面积为53.1.在ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b+c),则A=()A.90B.60C.120D.150答案C2.在ABC中,已知a=3,b=6,C=4,则ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形答案B3.(2019山东青岛高一测试)在ABC中,若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则A=()A.90B.60C.135D.150答案B(a+b+c)(b+c-a)=3bc,(b+c
13、)2-a2=3bc,即b2+c2-a2=bc,cos A=b2+c2-a22bc=12,A=60.4.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=3ac,则角B的值为()A.6B.3C.6或56D.3或23答案D因为a2+c2-b22ac=cos B,结合已知等式得cos Btan B=32,所以sin B=32,所以B=3或B=23.5.在ABC中,ABC=4,AB=2,BC=3,则sinBAC=()A.1010B.31010C.105D.55答案B在ABC中,ABC=4,AB=2,BC=3,所以AC=9+2-223cos4=5,根据余弦定理的推论可得c
14、osBAC=2+5-9225=-1010,所以sinBAC=1-10102=31010.6.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=3,b=4,C=60,则边c的值为.答案13解析c2=a2+b2-2abcos C=9+16-23412=13,所以c=13(负值舍去).7.在ABC中,B=60,b2=ac,则ABC为三角形.答案等边解析由b2=ac及余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得ac=a2+c2-ac,所以(a-c)2=0,所以a=c,又B=60,所以ABC为等边三角形.8.在ABC中,A=23,a=3c,则bc=.答案1解析由余弦定理,得a2=b2+c2+bc
15、.把a=3c代入,得b2+bc-2c2=0.则bc2+bc-2=0,解得bc=-2(舍去)或bc=1.9.在ABC中,已知a=5,b=3,角C的余弦值是方程5x2+7x-6=0的根,求边长c的值.解析方程5x2+7x-6=0可化为(5x-3)(x+2)=0,解得x1=35,x2=-2(舍去).cos C=35.c2=a2+b2-2abcos C=52+32-25335=16,c=4(负值舍去),即边长c的值为4.10.在ABC中,若三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=1,c=42,B=45,则sin C的值为()A.441B.45C.425D.44141答案B由b2=a2+c2-2
16、accos B可得,b2=1+32-214222=25,所以b=5(负值舍去),所以cos C= a2+b2-c22ab= 1+25-32215=-35,所以sin C=1-cos2C=45.11.在ABC中,AB+AC=8,BC=4,D为BC的中点,当AD长度最小时,ABC的面积为()A.22B.4C.42D.43答案D在ABC中,设AB=x,AC=y,AD=m,ADB=,则ADC=-,在ABD中,由余弦定理,得m2+4-4mcos =x2 ,在ACD中,由余弦定理,得m2+4-4mcos(-)=y2,即m2+4+4mcos =y2,由得,2m2+8=x2+y2,又x+y=8,所以2m2+8
17、=(8-y)2+y2=2y2-16y+64,所以m2=y2-8y+28,当y=4时,m取得最小值,为23, 即AD长度的最小值为23,此时AB=AC=BC=4,ABC是等边三角形,易得其面积为43.12.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=4,c=6,则bccos A+accos B+abcos C的值是.答案612解析因为cos A=b2+c2-a22bc,所以bccos A=12(b2+c2-a2),同理accos B=12(a2+c2-b2),abcos C=12(a2+b2-c2),所以bccos A+accos B+abcos C=12(a2+b2+c2)=
18、612.13.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=3,a=7,b=5,点D在BC上,且满足BD=2DC,则c=,AD=.答案8;2613解析如图所示,在ABC中,由余弦定理,得72= 52+c2-25ccos3,解得c=8或c=-3(舍去),又BD=2DC,所以BD=23a=143,所以cos B= a2+c2-b22ac=49+64-25278=1114.在ABD中,由余弦定理,得AD2=BD2+c2-2BDccos B=1432+64-214381114=2449,所以AD=2613(负值舍去).14.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且tan C=37
19、.(1)求cos C;(2)若CBCA=52,且a+b=9,求c.解析(1)因为tan C=37,所以sinCcosC=37.又因为sin2C+cos2C=1,所以cos C=18.因为tan C0,所以C是锐角,所以cos C=18.(2)因为CBCA=52,所以abcos C=52,所以ab=20,又因为a+b=9,所以a2+2ab+b2=81,所以a2+b2=41,所以c2=a2+b2-2abcos C=36,所以c=6(负值舍去).15.在梯形ABCD中,AB=2CD,BC=3CD,则ADB的最大值为()A.4B.3C.2D.23答案B取AB的中点M,延长AB到N点,使BN=CD,连接
20、CM,CN,如图所示:易知AD=MC,BD=NC.设CD=a,AD=MC=m,BD=NC=n,则AB=2a,BC=3a.在MBC中,m2=a2+(3a)2-2a3acosMBC,在NBC中,n2=a2+(3a)2-2a3acos(-MBC),m2+n2=8a2,在ABD中,cosADB=m2+n2-4a22mn=4a22mn,又2mnm2+n2=8a2,cosADB=4a22mn4a28a2=12,ADB的最大值为3.16.在ABC中,A=34,AB=6,AC=32,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.解析在ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=62+(32)2-2632cos 34=90,所以BC=310(负值舍去).设ADB=,AD=x,则ADC=180-,BD=x,DC=310-x,在ABD中,由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2ADBDcos ,即36=2x2-2x2cos ,在ACD中,由余弦定理,得AC2=AD2+DC2-2ADDCcos(180-),即18=x2+(310-x)2+2x(310-x)cos ,由解得x=10,即AD=10.
