1、教材过关第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念课标解读课标要求核心素养1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景.2.理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.3.理解平面向量的几何表示和基本要素.(重点)1.通过具体实例理解向量的概念,培养数学抽象核心素养.2.通过向量的表示和关系逐步形成直观想象核心素养.某航空母舰导弹发射处接到命令:向1200km处发射两枚巡航导弹(精度10m左右,射程超过2000km).问题1:导弹能否击中军事目标?答案导弹不一定击中军事目标.问题2:要使导弹击中目标,还需要知道什么条件?答案需要知道目标位于什么方向.1.向量的概念既有大小又有方向的量叫
2、做向量.2.向量的表示(1)几何表示:用有向线段表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.(2)代数表示:用小写字母a,b,c,表示向量.特别提醒(1)小写字母表示向量的注意点:印刷时用黑体,手写时必须加箭头.(2)有向线段可以表示向量,但是向量不能说成有向线段.(3)向量可以自由平移,即具有平移性,而有向线段是固定不动的.(4)一条有向线段对应着一个向量,但一个向量可以对应着无数条有向线段.3.与向量有关的概念名称定义记法向量AB的长度(或称模)向量AB的大小|AB|零向量长度为0的向量0单位向量长度等于1个单位长度的向量相等向量长度相等且方向相同的向量a=b平行
3、向量(或共线向量)方向相同或相反的非零向量ab规定:零向量与任意向量平行0a思考:向量中的“平行”与平面几何中的“平行”一样吗?提示不一样,向量中的“平行”包括向量所在直线共线和平行,而平面几何中的“平行”指两条直线平行.探究一向量的有关概念例1(1)(易错题)下列说法中正确的是()A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小C.向量的大小与方向有关D.向量的模可以比较大小(2)(多选题)下列说法中正确的是()A.若向量a与b同向,且|a|b|,则abB.单位向量的模都相等C.对于任意向量|a|=|b|,若a与b的方向相同,则a=bD.向量a
4、与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反答案(1)D(2)BC解析(1)向量不能比较大小,故A,B不正确;向量的大小即向量的模,指的是有向线段的长度,与方向无关,故C不正确;向量的模是一个数量,可以比较大小,故D正确.(2)因为向量是由大小和方向两个因素来确定的,所以两个向量不能比较大小,故A不正确;单位向量的模都是1,故B正确;因为|a|=|b|,且a与b同向,由两向量相等的条件,可得a=b,故C正确;若向量a与向量b中有一个是零向量,则其方向不定,故D不正确.易错点拨1.判断一个量是不是向量的两个关键条件:(1)大小;(2)方向.这两个条件缺一不可.2.特殊向量的特殊性:(1)零向量的方向
5、是任意的,所有的零向量都相等;(2)单位向量不一定相等,易忽略向量的方向;(3)向量的模是长度,指的是大小,是数量.3.常因零向量的方向不确定而判断失误.1-1下列说法中正确的是()A.零向量的长度为0B.单位向量都相等C.向量就是有向线段D.共线向量是在同一条直线上的向量答案A零向量的长度等于0,故A正确;因为单位向量的方向不一定相同,所以不一定相等,故B错误;向量有两个要素:大小与方向,向量可以平移,而有向线段还有起点和终点,不可以平移,故C错误;共线向量包括两向量所在直线平行和两向量在同一条直线上,故D错误.1-2下列说法中正确的有()单位向量的长度大于零向量的长度;零向量与任一单位向量
6、平行;因为相等向量的相等关系具有传递性,所以平行向量的平行关系也具有传递性;因为相等向量一定是平行向量,所以平行向量也一定是相等向量.A.B.C.D.答案A正确;正确,零向量与任一向量平行;错误,平行向量的平行关系不具有传递性;错误,平行向量不一定是相等向量.探究二向量的表示例2在如图所示的坐标纸(每个小方格的边长为1)上,用直尺和圆规画出下列向量:(1)画向量OA,使|OA|=42,点A在点O北偏东45方向;(2)画向量AB,使|AB|=4,点B在点A的正东方向;(3)画向量BC,使|BC|=6,点C在点B北偏东30方向.解析(1)因为点A在点O北偏东45方向,所以在坐标纸上点A距点O的横向
7、小方格数与纵向小方格数相等.又|OA|=42,小方格边长为1,所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A的位置可以确定,画出向量OA,如图所示.(2)因为点B在点A的正东方向,且|AB|=4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B的位置可以确定,画出向量AB,如图所示.(3)因为点C在点B北偏东30方向,且|BC|=6,依据勾股定理可得,在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3,纵向小方格数为335.2,于是点C的位置可以确定,画出向量BC,如图所示.思维突破用有向线段表示向量的步骤2-1已知飞机从A地按北偏东30的方向飞行2000km到达B地,再
8、从B地按南偏东30的方向飞行 2000km到达C地,再从C地按西南方向飞行10002km 到达D地.(1)作出向量AB,BC,CD,DA;(2)问:D地在A地的什么方向?D地距A地多远?解析(1)由题意,作出向量AB,BC,CD,DA,如图所示.(2) 依题意知,ABC为正三角形,所以AC=2000km.又因为ACD=45,CD=10002km,所以ACD为等腰直角三角形,所以AD=10002km,CAD=45,所以D地在A地的东南方向,距A地10002km.探究三相等向量与平行向量例3如图,ABC和ABC是在各边的13处相交的两个全等的等边三角形,设ABC的边长为a,图中画出了长度均为a3的
9、若干个向量,则(1)与向量GH相等的向量有;(2)与向量GH平行,且模相等的向量有;(3)与向量EA平行,且模相等的向量有.答案(1)LB,HC(2)EC,LE,LB,GB,HC(3)EF,FB,HA,HK,KB思维突破寻找平行向量或相等向量的方法(1)平行向量:看方向,先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量.提醒:不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.(2)相等向量:先看大小再看方向,先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.3-1如图所示,ABC中,三边长均不相等,E,F,D分别是AC,AB,BC的中点.(1)
10、写出与EF共线的向量;(2)写出与EF长度相等的向量;(3)写出与EF相等的向量.解析(1)E,F分别是AC,AB的中点,EFBC,与EF共线的向量有FE,BD,DB,DC,CD,BC,CB.(2)E,F,D分别是AC,AB,BC的中点,EF=12BC,BD=DC=12BC,EF=BD=DC.AB,BC,AC均不相等,与EF长度相等的向量有FE,BD,DB,DC,CD.(3)与EF相等的向量有DB,CD.1.若a为任一非零向量,b为单位向量,则下列正确的是()A.|a|b|B.abC.|a|0D.a|a|b答案C|a|不一定大于1,|b|=1,A不正确;a与b不一定平行,故B不正确;易知C正确
11、;a|a|是a方向上的单位向量,不一定平行于b,故D不正确.2.下列结论中正确的是()若ab且|a|=|b|,则a=b;若a=b,则ab且|a|=|b|;若a与b方向相同且|a|=|b|,则a=b;若ab,则a与b方向相反且|a|b|.A.B.C.D.答案B两个向量相等需同向等长,反之也成立,故错误,正确;两向量不相等,可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等,故错误.3.如图,在ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,图中与AE平行的向量的个数为()A.1B.2C.3D.4答案C题图中与AE平行的向量为BE,FD,FC,共3个.4.在平面上将所有模长相等的向量的起点放在同一点,则
12、它们的终点组成.答案一个圆解析在平面上把所有模长相等的向量的起点平移到同一点P,各向量的终点到P点的距离都相等,所以它们的终点组成一个圆.5.如图所示的是中国象棋的半个棋盘,“马走日(两个有公共边的小方格)”是象棋中马的走法.此图中,马可以从A处跳到A1处,用向量AA1表示马走了“一步”,也可以从A处跳到A2处,用向量AA2表示马走了“一步”.请在图中画出马在B,C处走了“一步”的所有情况.解析如图,马在B处只有3种走法,马在C处有8种走法.直观想象图形与向量的关系转化如图所示,已知在四边形ABCD中,M,N分别是BC,AD的中点,又AB=DC.求证:CNMA.审:AB=DCABCDAN=MC
13、AMCNCNMA.联:利用平行四边形的判定与性质证明.证明:由AB=DC可知AB=DC且,所以四边形ABCD为平行四边形,从而.又M,N分别是BC,AD的中点,所以,所以AN=MC且,所以四边形AMCN是平行四边形,所以CN=MA且CNMA,即CNMA.思:利用向量关系证明或判断线段平行或相等的方法:(1)证明或判断线段相等,只需证明或判断相应向量的长度(或模)相等.(2)证明线段平行,先证明相应的向量共线,再说明线段不共线.答案ABDCAD=BCAN=MCANMC如图,在等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EFAB,则()A.AD=BC
14、B.AC=BDC.PE=PFD.EP=PF答案D由平面几何知识知,AD与BC方向不同,故ADBC;AC与BD方向不同,故ACBD;PE与PF的模相等而方向相反,故PEPF;EP与PF的模相等且方向相同,所以EP=PF.1.(2020山东泰安高一同步练习)下列说法正确的是()A.若a与b平行,b与c平行,则a与c一定平行B.终点相同的两个向量不共线C.若|a|b|,则abD.单位向量的长度为1答案D2.如图,在正方形ABCD中,AC与BD交于点O,则图中与OA相等的向量是()A.OCB.ODC.OBD.CO答案D3.在四边形ABCD中,ABCD,|AB|CD|,则四边形ABCD是()A.梯形B.
15、平行四边形C.矩形D.正方形答案A4.设O是ABC的外心,则AO,BO,CO是()A.相等向量B.模相等的向量C.平行向量D.起点相同的向量答案B因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心,所以点O到三个顶点A,B,C的距离相等,所以AO,BO,CO是模相等的向量.5.(2020广东广州高一期末)已知在边长为2的菱形ABCD中,ABC=60,则|BD|=()A.1B.3C.2D.23答案D易知ACBD,且ABD=30,设AC与BD交于点O,则AO=12AB=1.在RtABO中,易得|BO|=3,则|BD|=2|BO|=23.6.如图,已知正方形ABCD的边长为2,O为其中心,则|OA|=.答案2解析
16、因为正方形的对角线长为22,所以|OA|=2.7.如果在一个边长为5的正三角形ABC中,一个向量所对应的有向线段为AD(其中D在边BC上运动),则向量AD长度的最小值为.答案532解析在正三角形ABC中,有向线段AD的长度最小时,AD应与边BC垂直,则AD长度的最小值为正三角形ABC的高,为532.8.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量AB是平行向量,与BC是共线向量,则m=.答案0解析因为A,B,C不共线,所以AB与BC不共线.又m与AB,BC都共线,所以m=0.9.如图所示的是43的矩形(每个小方格的边长都是1),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,与向量AB平行且模为2的向量
17、共有几个?与向量AB方向相同且模为32的向量共有几个?解析依题意,每个小方格的两条对角线中,有一条对角线对应的向量及其相反方向的向量都和AB平行且模为2.因为共有12个小方格,所以满足条件的向量共有24个.易知与向量AB方向相同且模为32的向量共有2个.10.已知D为平行四边形ABPC的两条对角线的交点,则|PD|AD|的值为()A.12B.13C.1D.2答案C因为四边形ABPC是平行四边形,D为对角线BC与AP的交点,所以D为PA的中点,所以|PD|AD|的值为1.11.(多选题)下列说法中正确的是()A.若ab,则a一定不与b共线B.若AB=DC,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶
18、点C.在ABCD中,一定有AD=BCD.若a=b,b=c,则a=c答案CD两个向量不相等,可能是长度不相等,方向相同或相反,所以a与b有共线的可能,故A不正确;A,B,C,D四点可能在同一条直线上,故B不正确;在ABCD中,|AD|=|BC|,AD与BC平行且方向相同,所以AD=BC,故C正确;若a=b,则|a|=|b|,且a与b方向相同,若b=c,则|b|=|c|,且b与c方向相同,所以a与c方向相同且模相等,故a=c,故D正确.12.如图,在ABC中,ACB的平分线CD交AB于点D.若AC的模为2,BC的模为3,AD的模为1,则DB的模为.答案32解析如图,延长CD,过点A作BC的平行线交
19、CD的延长线于点E.因为ACD=BCD=AED,所以|AC|=|AE|.易知ADEBDC,则|AD|DB|=|AE|BC|=|AC|BC|,故|DB|=32.13.如图,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.(1)与向量ED相等的向量有;(2)若|AB|=3,则|EC|=.答案(1)AB,DC(2)6解析(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD和ABDE都是平行四边形,可知与向量ED相等的向量有AB,DC.(2)因为|AB|=3,|EC|=2|AB|,所以|EC|=6.14.在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AD,BC的中点,如图.(1)在每两点所确定的向量中,写出与向量FC共线的向量
20、;(2)求证:BE=FD.解析(1)由共线向量的定义得与向量FC共线的向量有CF,BC,CB,BF,FB,ED,DE,AE,EA,AD,DA.(2)证明:在ABCD中,ADBC.又E,F分别为AD,BC的中点,所以EDBF,所以四边形BFDE是平行四边形,所以BEFD,所以BE=FD.15.如图,A1,A2,A8是O上的八个等分点,则在以A1,A2,A8及圆心O九个点中任意两点为起点与终点的向量中,模等于半径的向量有多少个?模等于半径的2倍的向量有多少个?解析模等于半径的向量只有两类,一类是OAi(i=1,2,8),共8个;另一类是AiO(i=1,2,8),也有8个.两类共计有16个.以A1,A2,A8中四点为顶点的O的内接正方形有两个,一个是正方形A1A3A5A7,另一个是正方形A2A4A6A8.在题中所述的向量中,只有这两个正方形的边(看成有向线段,每一边对应两个向量)的长度为半径的2倍,故模等于半径的2倍的向量共有422=16(个).
