1、本章小结学习目标1.复习指数函数、对数函数和幂函数的基本知识和性质.2.强化指数函数、对数函数、幂函数的运算能力.3.提高指数函数、对数函数、幂函数的应用能力,掌握必备的数学思想方法.自主预习请大家画出本章的知识结构图:课堂探究类型1指数、对数的运算问题解决这类问题首先要熟练掌握指数式和对数式的积、商、幂、方根的运算法则,熟练掌握各种变形.如N1b=a,ab=N,logaN=b(其中N0,a0,a1)是同一数量关系的不同表示形式,因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化,选择适合题目的形式进行运算.【例1】(1)若xlog23=1,则3x+9x的值为()A.6B.3C.52D.12(2)
2、已知2a=5b=c,1a+1b=1,则c=.规律方法:类型2函数图像与性质的应用指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的函数,它们的图像和性质是考查的重点,应熟练掌握图像的画法及形状,熟记性质,特别要注意指数函数与对数函数的底数在取不同值时,对图像和性质的影响.【例2】当x(1,2)时,不等式(x-1)2bcB.bacC.bcaD.cba(2)设a=log132,b=log123,c=130.3,则()A.abcB.acbC.bcaD.bac规律方法:类型4分类讨论思想所谓分类讨论,实质上是“化整为零,各个击破,再积零为整”的策略.分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧,做到确定
3、对象的全面,明确分类的标准,不重不漏地分类讨论.在初等函数中,分类讨论的思想得到了重要的体现,可根据函数的图像和性质,依据函数的单调性分类讨论,使得求解得以实现.【例4】已知函数f(x)=x-2m2+m+3(mN)为偶函数,且f(3)0,且a1)在2,3上为增函数,求实数a的取值范围.规律方法:类型5函数与方程思想【例5】若函数f(x)=10|lg x|-a有两个零点,则实数a的取值范围是()A.a1C.a1D.a1规律方法:核心素养专练1.求值:(1)21412-(-9.6)0-338-23+(1.5)-2;(2)log2512log45-log133-log24+5log52.2.已知函数
4、:y=2x;y=log2x;y=x-1;y=x12.则下列函数图像(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是()A.B.C.D.3.已知0ayzB.zyxC.yxzD.zxy4.设a0且a1,若P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),试比较P,Q的大小.5.若关于x的方程|x-2|(x+1)-m=0至少有两个实数根,则实数m的取值范围是.6.已知f(x)=loga(ax-1)(a0,且a1).(1)求f(x)的定义域;(2)讨论f(x)的单调性;(3)当a取何值时,图像在y轴的左侧?7.为减轻手术给病人带来的痛苦,麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂,某医院决定在某小型手术中为
5、病人采用一种新型的麻醉剂,已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y(毫克)与时间t(小时)成正比,麻醉剂释放完毕后,y与t的函数解析式为y=18t-a(a为常数),如图所示.(1)试求从麻醉剂释放开始,血液中的麻醉剂含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式;(2)根据麻醉师的统计,当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到0.125毫克以下时,病人才能清醒过来,那么实施麻醉开始,至少需要经过多长时间,病人才能清醒过来?参考答案自主预习略课堂探究【例1】(1)A(2)10解析:(1)由xlog23=1,得x=log32,所以3x+9x=3log32+3log322=2+4=6.(2)由2a=5b=c,
6、得a=log2c,b=log5c,1a+1b=1log2c+1log5c=logc2+logc5=logc10=1,所以c=10.规律方法:略【例2】C解析:如图所示,设f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使当x(1,2)时,不等式(x-1)2logax恒成立,只需f1(x)=(x-1)2在(1,2)上的图像在f2(x)=logax的下方即可,当0a1时,如图,要使在(1,2)上,f1(x)=(x-1)2的图像在f2(x)=logax的下方,只需f1(2)f2(2),即(2-1)2loga2.loga21,1a2,故选C.规律方法:略跟踪训练解:(1)先作出当x0时,f(x)=
7、12x的图像,利用偶函数的图像关于y轴对称,再作出f(x)在x(-,0)时的图像,如图.(2)函数f(x)的单调递增区间为(-,0),单调递减区间为(0,+),值域为(0,1.【例3】(1)C(2)D解析:(1)a=log20.320=1,0c=0.30.2ca.故选C.(2)a=log1320,b=log123log133,log133log123,c=130.30.bac.故选D.规律方法:略【例4】思路探究:(1)结合f(3)f(5),与函数f(x)的奇偶性,分类讨论确定m的值及f(x)的解析式.(2)由g(x)为增函数,结合a讨论,求出a的取值范围.解:(1)由f(3)f(5),得3-
8、2m2+m+35-2m2+m+3,35-2m2+m+30,解得-1m32.mN,m=0或1.当m=0时,f(x)=x-2m2+m+3=x3为奇函数,不合题意;当m=1时,f(x)=x-2m2+m+3=x2为偶函数.综上,m=1,此时f(x)=x2.(2)由(1)知,当x2,3时,g(x)=loga(x2-ax).当0a0.a23,u(3)=32-3a0,无解;当a1时,y=logau在其定义域内单调递增,要使g(x)在2,3上单调递增,则需u(x)=x2-ax在2,3上单调递增,且u(x)0.a22,u(2)=22-2a0,解得a2.实数a的取值范围为(1,2).规律方法:略【例5】B解析:若
9、函数f(x)=10|lg x|-a有两个零点,则10|lg x|-a=0有两个实数根,即10|lg x|=a有两个实数根,转化为函数y=10|lg x|与y=a图像有两个不同的交点,为此只要画出y=10|lg x|的图像即可.当x1时,lg x0,y=10|lg x|=10lg x=x;当0x1时,lg x0,y=10|lg x|=10-lg x=1x,所以y=x,x1,1x,0x1.规律方法:略核心素养专练1.解:(1)原式=9412-1-278-23+32-2=32-1-32-2+232=32-1-49+49=12.(2)原式=-12log5212log25+log33-2log22+2=
10、-14+1-2+2=34.2.D解析:根据幂函数、指数函数、对数函数的图像可知选D.3.C解析:依题意,得x=loga6,y=loga5,z=loga7.又0a1,56loga6loga7,即yxz.4.解:当0a1时,有a3a2,即a3+1a2+1.又当0aloga(a2+1),即PQ;当a1时,有a3a2,即a3+1a2+1.又当a1时,y=logax在(0,+)上单调递增,loga(a3+1)loga(a2+1),即PQ.综上,可得PQ.5.0,94解析:若关于x的方程|x-2|(x+1)-m=0至少有两个实数根,则|x-2|(x+1)=m至少有两个实数根,即函数y=|x-2|(x+1)
11、与y=m的图像至少有两个交点.当x2时,即x-20时,y=(x-2)(x+1)=x-122-94,当x2时,即x-20时,y=-(x-2)(x+1)=-x-122+94,所以y=x-122-94,x2,-x-122+94,x1时,定义域为(0,+);当0a0可知,定义域为(-,0).(2)设f(u)=logau,u=ax-1.当a1时,x(0,+),u=ax-1是增函数,y=logau也是增函数.由复合函数单调性可知f(x)在(0,+)内为增函数.同理,当0a1时,f(x)在(-,0)内为增函数.(3)由图像在y轴的左侧可知,当x0,解得0a0.1时,函数解析式为y=18t-a,而A(0.1,
12、1)在这段函数图像上,代入,得1=180.1-a,所以有0.1-a=0,解得a=0.1.故当t0.1时,y=18t-0.1综上,血液中麻醉剂的含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式为y=10t,0t0.1,18t-0.1,t0.1.(2)要使手术后的病人能清醒过来,需要麻醉剂含量降低到0.125毫克以下,此时t0.1,且y0.125=18.当t0.1时,由18t-0.118,得t-0.11,解得t1.1.所以至少需要经过1.1小时后病人才能清醒.学习目标(1)能应用指数幂和对数的运算性质解决指数式和对数式的化简求值问题;(2)能解决比较大小、解不等式等问题;(3)能建立函数模型解决实际问题
13、.课堂探究一、指数、对数运算例1化简:(1)(8)-23(3102)92105;(2)lg2+lg3-lg10lg1.8.跟踪演练1计算:80.2542+(323)6+log32log2(log327).二、指数函数、对数函数的图像及其应用例2如图,函数f(x)的图像为折线ACB,则不等式f(x)log2(x+1)的解集是()A.x|-1x0B.x|-1x1C.x|-1x1D.x|-1x2跟踪演练2方程log2(x+2)=-x的实数解有()A.0个B.1个C.2个D.3个三、指数函数、对数函数的性质及其应用例3(1)(2019全国理)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则(
14、)A.abcB.acbC.cabD.bca(2)已知函数f(x)=1+log2(2-x),x1,2x-1,x1.求f(-2)+f(log212);解不等式f(x)0,且a1)的图像如图所示,则下列函数图像正确的是()3.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩留量为y,则x,y的函数关系是()A.y=0.957 6x100B.y=(0.957 6)100xC.y=0.957 6100xD.y=1-0.042 4x1004.(2019全国文)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+)上单调递减,则()A.flog314f2-32f2-23B.flog314f2
15、-23f2-32C.f2-32f2-23flog314D.f2-23f2-32flog314核心素养专练A组:基础过关1.设a=log123,b=130.2,c=213,则()A.abcB.cbaC.cabD.bac2.函数y=log12(-x)的定义域为()A.-1,0)B.(0,1C.(-,-1D.-1,+)3.(2-1)0+169-12+(8)-43=.4.下列函数中,是偶函数且在区间(0,+)上单调递减的是()A.y=-3|x|B.y=x12C.y=log3x2D.y=x-x25.函数y=ax在0,1上取得的最大值与最小值的和为3,则a等于()A.12B.2C.14D.46.将函数y=
16、2x的图像,经过平移变换后,再作关于直线y=x对称的图像,可得到函数y=log2(x+1)的图像,则所作的平移变换为()A.向左平移1个单位长度B.向右平移1个单位长度C.向上平移1个单位长度D.向下平移1个单位长度B组:能力提升1.已知函数f(x)=12x(x4),f(x+1)(x0,且a1,函数y=ax与y=loga(-x)在同一坐标系中的图像只可能是()3.已知f(x)是偶函数,它在(0,+)上是减函数,若f(lg x)f(1),则x的取值范围是()A.110,1B.0,110(1,+)C.110,10D.(0,1)(1,+)4.若y=loga(2-ax)在0,1上是减函数,则a的取值范
17、围为()A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.(1,+)5.已知幂函数y=(m2-5m-5)x2m+1在(0,+)上为减函数,则实数m的值为.6.一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为a2.为保护生态环境,所剩森林面积至少要为原面积的14.已知到今年为止,森林面积为22a.(1)求p%的值;(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?参考答案课堂探究例1解:(1)原式=232-231023921052=2-110310-52=2-11012=102.(2)原式=12(lg2+lg9-lg10)lg1.8
18、=12lg1810lg1.8=12.跟踪演练1解:log32log2(log327)=log32log23=lg2lg3lg3lg2=1,原式=234214+2233+1=21+427+1=111.例2答案:C解析:借助函数的图像求解该不等式.作出函数y=log2(x+1)图像如图.由x+y=2,y=log2(x+1),得x=1,y=1.结合图像知不等式f(x)log2(x+1)的解集为x|-1x1.跟踪演练2B解析:令y1=log2(x+2),y2=-x,分别画出两个函数图像,如图所示.函数y1=log2(x+2)的图像是由函数y1=log2x的图像向左平移2个单位长度得到.函数y2=-x的
19、图像是由幂函数y=x12的图像关于y轴对称得到.由图像可知,显然y1与y2有一个交点.例3(1)B(2)解:f(-2)+f(log212)=1+log24+2log212-1=3+2log21221=3+122=9.原不等式可化为x1,1+log2(2-x)4或x1,2x-14,解得-6x1或1x3,即-6x0,2-x0,解得-2x2,所以f(x)的定义域为(-2,2)关于原点对称.因为f(-x)=ln(2-x)-ln(2+x)=-f(x),所以f(x)是奇函数;又显然f(x)在(-2,2)上单调递增.故f(x)在(0,2)上是增函数.例4解:(1)由v=12log3100可知,当=900时,
20、v=12log3900100=12log39=1(m/s).所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时,它的游速是1m/s.(2)由v2-v1=1,即12log32100-12log31100=1,得21=9.所以耗氧量的单位数为原来的9倍.跟踪演练4解:最适合的函数模型是f(x)=ax+b,理由如下.若模型为f(x)=2x+a,则由f(1)=21+a=4,得a=2,即f(x)=2x+2,此时f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与已知相差太大,不符合.若模型为f(x)=log12x+a,则f(x)是减函数,与已知不符合.当函数模型是f(x)=ax+b时,由已知得a+b=4,3a+b=7,
21、解得a=32,b=52.所以f(x)=32x+52,xN.课堂练习1.32.B3.A4.C核心素养专练A组1.A2.A3.24.A5.B6.DB组1.D2.D3.C4.B5.-16.解:(1)由题意,得a(1-p%)10=a2,即(1-p%)10=12,解得p%=1-12110.(2)设经过m年森林面积为22a,则a(1-p%)m=22a,即12m10=1212,得m10=12,解得m=5.故到今年为止,已砍伐了5年.(3)设从今年开始,n年后森林面积为22a(1-p%)n,令22a(1-p%)n14a,即(1-p%)n24,12n101232,得n1032,解得n15,故今后最多还能砍伐15年.
