1、本章小结学习目标1.建立完整的数学概念.(逻辑推理)2.理解函数是刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具.(直观想象)3.能用代数运算和函数图像揭示函数的主要性质.(数学运算、直观想象)4.在现实问题中,能利用函数构建模型,解决问题.(数学建模)自主预习复习要点:1.函数的概念及表示方法:2.函数的单调性:3.函数的奇偶性:4.函数零点:5.数学建模课堂探究一、问题探究同学们,我们已经结束了本章知识点的学习.你可以依照本章各知识点之间的联系,作出结构知识图吗?二、要点归纳1.函数的三要素:.2.函数定义域、值域的求法:.3.函数单调性证明的步骤:.4.函数奇偶性判断的步骤:.5.函数零点判断的两
2、要素:且.6.二次函数都有哪些性质?三、典型例题题型一:函数概念及其表示方法例1已知函数f(x)=12x,0x1,34-x4,1x2,54-12x,2x14.变式训练:已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f(x)=x2-2x.(1)求函数f(x)的解析式,并画出函数f(x)的图像;(2)根据图像写出函数f(x)的单调函数和值域.题型二:函数性质的应用例2已知函数f(x)是定义在区间-1,1上的奇函数,且f(1)=1,若对于任意的m,n-1,1有f(m)+f(n)m+n0.(1)判断函数的单调性(不要求证明);(2)解不等式fx+12f(1-x);(3)若f(x)-2at+2对于任意
3、的x-1,1,a-1,1恒成立,求实数t的取值范围.变式训练:函数f(x)的定义域为D=x|x0,且满足对于任意x1,x2D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性并证明你的结论;(3)如果f(4)=1,f(x-1)0;(2)x2-8x+160;(3)x2+4x+50.2.已知函数y=2(m+1)x2+4mx+2m-1,m为何值时,函数存在零点.3.已知f(x)=mx2-(m+3)x-1,且f(x)0对任意实数x均成立,求实数m取值的集合.参考答案自主预习略课堂探究一、问题探究略二、要点归纳略三、典型例题例1(1)定义域0,52值域0,1
4、2(2)14(3)-12,1变式训练:(1)f(x)=x2-2x,x0,x2+2x,x0.(画图略)(2)增区间-1,0,1,+).减区间(-,-1),(0,1).值域-1,+).例2(1)在区间-1,1上是增函数.(2)x0x14.(3)-12,12.变式训练:(1)0.(2)偶函数.(3)x|-15x17且x1.例3(1)偶函数.(2)区间-3,-1,0,1上是减函数,(-1,0),(1,3)上是增函数.值域-2,2.变式训练:增区间是(-,3)和(3,+),值域是-54,1.四、课堂练习1.-12.(1)y=x-1,x1,1-x,x-32.定义域为R,值域为-1,+)(图像略).3.-1
5、5核心素养专练1.(1)(-,-1)(3,+)(2)R(3)R2.m13.m|-9m-1学习目标1.了解本章知识网络结构,进一步熟悉函数有关概念和性质.2.熟悉二次函数的基础知识及运用,进一步认识函数思想.3.把握数形结合的特征和方法,能够应用函数思想解题.自主预习1.回看课本,梳理掌握本章的知识点.2.阅读课本131页,明确本章的知识结构.3.搜集相关的数学知识,完成课本131页的课题作业.课堂探究一、知识系统整合函数函数的概念定义域值域对应关系函数的表示法解析法列表法图像法函数的性质单调性奇偶性函数与方程、不等式之间的关系函数的零点二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系零点的存
6、在性及其近似值的求法函数零点存在定理二分法函数的应用二、规律方法总结:1.相同函数的判定方法:2.函数解析式的求法:3.函数的定义域的求法:4.函数值域的求法:5.判断函数单调性的步骤:6.函数奇偶性的判定法:7.方程的根与函数的零点:8.零点判断法:9.函数的应用:三、学科思想培优1.函数的定义域:函数的定义域是指函数y=f(x)中自变量x的取值范围.确定函数的定义域是进一步研究函数其他性质的前提,而研究函数的性质,利用函数的性质解决数学问题是中学数学的重要组成部分.所以熟悉函数定义域的求法,对于函数综合问题的解决起着至关重要的作用.典例1(1)函数f(x)=3x21-x+(3x-1)0的定
7、义域是() A.-,13B.13,1C.-13,13D.-,1313,1(2)已知函数y=f(x+1)的定义域是-2,3,则y=f(2x-1)的定义域是()A.0,52B.-1,4C.-5,5D.-3,72.分段函数问题所谓分段函数是指在定义域的不同子区间上的对应关系不同的函数.分段函数是一个函数而非几个函数,其定义域是各子区间的并集,值域是各段上值域的并集.分段函数求值等问题是高考常考的问题.典例2已知实数a0,函数f(x)=2x+a,x0.(1)判定函数f(x)的奇偶性;(2)判定函数f(x)在(-1,0)上的单调性.4.函数图像及其应用函数的图像是函数的重要表示方法,它具有明显的直观性,
8、通过函数的图像能够掌握函数重要的性质,如单调性、奇偶性等.反之,掌握好函数的性质,有助于图像正确地画出.函数图像广泛应用于解题过程中,利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点.典例4设函数f(x)=x2-2|x|-1(-3x3).(1)证明函数f(x)是偶函数;(2)画出这个函数的图像;(3)指出函数f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上f(x)的单调性;(4)求函数的值域.5.函数零点与方程的根根据函数零点的定义,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程f(x)=0是否有根,有几个根.从图形上说,函数的零点就是函数y=f(x)的图
9、像与x轴的交点的横坐标,函数零点、方程的根、函数图像与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系,利用它们之间的关系,可以解决很多函数、方程与不等式的问题.在高考中有许多问题涉及三者的相互转化,应引起我们的重视.典例5试讨论函数f(x)=x2-2|x|-a-1(aR)的零点个数.6.函数的应用针对一个实际问题,我们应该选择恰当的函数来刻画.这当然需要我们深刻理解已学函数的图像和性质,熟练掌握已学函数的特点,并对一些重要函数要有清晰的认识.对于一个具体的应用题,原题中的数量间的关系,一般是以文字和符号的形式给出,也有的是以图像的形式给出,此时我们要分析数量变化的特点和规律,选择较为合适的函数来刻
10、画,从而解决一些实际问题或预测一些结果.典例6已知A,B两城市相距100 km,在两地之间距离A城市x km的D处修建一垃圾处理厂来解决A,B两城市的生活垃圾和工业垃圾.为保证不影响两城市的环境,垃圾处理厂与市区距离不得少于10 km.已知垃圾处理费用和距离的平方与垃圾量之积的和成正比,比例系数为0.25.若A城市每天产生的垃圾量为20 t,B城市每天产生的垃圾量为10 t.(1)求x的取值范围;(2)把每天的垃圾处理费用y表示成x的函数;(3)垃圾处理厂建在距离A城市多远处,才能使每天的垃圾处理费用最少?核心素养专练1.函数y=log12(-x)的定义域为()A.-1,0)B.(0,1C.(
11、-,-1D.-1,+)2.已知函数f(x)=1-2x1+2x,则f-112的值等于()A.-log23B.1log23C.3-22D.22-33.下列函数中,是偶函数且在区间(0,+)上单调递减的是()A.y=-3|x|B.y=x12C.y=log3x2D.y=x-x24.设a0,且a1,函数f(x)=loga(x2-2x+3)有最小值,则不等式loga(x-1)0的解集为()A.(-,2)B.(-,2C.2,+)D.(2,+)5.函数y=ax在0,1上取得的最大值与最小值的和为3,则a等于()A.12B.2C.14D.46.将函数y=2x的图像,经过平移变换后,再作关于直线y=x对称的图像,
12、可得到函数y=log2(x+1)的图像,则所作的平移变换为()A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位C.向上平移1个单位D.向下平移1个单位7.若f(x)=2x+2-xlg a是奇函数,则实数a=()A.13B.14C.12D.1108.已知函数f(x)=12x(x4),f(x+1)(xf(1),则x的取值范围是()A.110,1B.0,110(1,+)C.110,10D.(0,1)(1,+)10.若y=loga(2-ax)在0,1上是减函数,则a的取值范围为()A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.(1,+)11.f(x)=2-x的反函数为.12.已知幂函数y=(m2-5m-5)x
13、2m+1在(0,+)上为减函数,则实数m的值为.13.已知f(x)=log3x+2,x1,9,则函数y=f2(x)+f(x2)的最大值是.14.关于函数y=2x2-2x-3有以下4个结论:定义域为(-,-1)(3,+);递增区间为1,+);是非奇非偶函数;值域是116,+.则正确的结论是(填序号即可).15.计算下列各式的值:(1)(323)6+(22)43-(-2 017)0;(2)lg 5lg 20+(lg 2)2.16.已知函数f(x)=log3(4x-1)+16-2x的定义域为A.(1)求集合A;(2)若函数f(x)=(log2x)2-2log2x-1,且xA,求函数f(x)的最值及对
14、应的x值.17.已知函数f(x)=14x-1-a.(1)求函数的定义域;(2)若f(x)为奇函数,求a的值;(3)用单调性定义证明:函数f(x)在(0,+)上为减函数.参考答案自主预习略课堂探究二、规律方法总结略三、学科思想培优典例1解析:(1)由题意,得1-x0,3x-10,解得x1且x13.(2)设u=x+1,由-2x3,得-1x+14,所以y=f(u)的定义域为-1,4.再由-12x-14,解得0x52,即函数y=f(2x-1)的定义域是0,52.答案:(1)D(2)A典例2解析:当1-a0时,此时a+11,由f(1-a)=f(1+a),得2(1-a)+a=-(1+a)-2a,解得a=-
15、32(舍去);当1-a1,即a0时,此时a+11,由f(1-a)=f(1+a),得2(1+a)+a=-(1-a)-2a,解得a=-34,符合题意,综上所述,a=-34.答案:-34典例3解:(1)令x=y=0,得2f(0)=f(0),f(0)=0.再令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,f(-x)=-f(x),f(x)在(-1,1)上是奇函数.(2)设-1x1x20.f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=fx2-x11-x1x2.-1x1x20,1+x20,且0x1x21,01-x1x20.x2-x1-1+x1x2=(x2-1)+x1(x2-1)=(1+x1)(x2-1
16、)0,0x2-x11-x1x2,0x2-x11-x1x20,且f(x)为奇函数,x(0,1)时,f(x)0,f(x2)-f(x1)0,f(x)在(-1,0)上单调递减.典例4解:(1)证明:f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x),即f(-x)=f(x),f(x)是偶函数.(2)当0x3时,f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2.当-3x0时,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2.即f(x)=(x-1)2-2(0x3),(x+1)2-2(-3x0).根据二次函数的作图方法,可得函数图像如图.(3)函数f(x)的单调区间为-3,-1),-1,0),0,1),
17、1,3.f(x)在区间-3,-1)和0,1)上为减函数,在-1,0)和1,3上为增函数.(4)当0x3时,函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2,最大值为f(3)=2;当-3x0时,函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2,最大值为f(-3)=2.故函数f(x)的值域为-2,2.典例5解:设g(x)=x2-2|x|,h(x)=a+1,则g(x)=x2-2x,x0,x2+2x,x0.g(x),h(x)的图像如图所示,g(-2)=g(0)=g(2)=0,g(-1)=g(1)=-1,当a+1-1,即a0,即a=-2或a-1时,g(x)与h(x)的图像有两个交点;当-1a+10,即-2a-1
18、时,g(x)与h(x)的图像有四个交点;当a+1=0,即a=-1时,g(x)与h(x)的图像有三个交点.所以,当a-1时,函数f(x)有两个零点;当-2a-1时,函数f(x)有四个零点;当a=-1时,函数f(x)有三个零点.典例6解:(1)由题意可得x10,100-x10.所以10x90.所以x的取值范围为10,90.(2)由题意,得y=0.2520x2+10(100-x)2,即y=152x2-500x+25 000(10x90).(3)由y=152x2-500x+25 000=152x-10032+50 0003(10x90),则当x=1003时,y最小.即当垃圾处理厂建在距离A城市1003
19、 km时,才能使每天的垃圾处理费用最少.核心素养专练1.A解析:由log12(-x)0得0-x1,所以-1x1,所以x-11,所以x2.5.B解析:因为y=ax为单调函数,故a0+a1=1+a=3,所以a=2.6.D解析:函数y=log2(x+1)的图像关于y=x对称的图像的解析式为y=2x-1.函数y=2x的图像向下平移1个单位后可得y=2x-1的图像,故选D.7.D解析:因为f(x)的定义域为R且f(x)为奇函数,所以f(0)=0,所以20+20lg a=0,所以lg a=-1,所以a=110.8.D解析:log23log216=4,因此f(log23)=12log224=2-log224
20、=124.9.C解析:由于f(x)是偶函数且在(0,+)上是减函数,所以f(-1)=f(1),且f(x)在(-,0)上是增函数,应有x0,-1lgx1,解得110x0,所以u=2-ax在0,1上为减函数.所以u(1)uu(0).由于u=2-ax为减函数,由复合函数单调性,知a1,所以a满足a1,u(1)02-a0.所以1a0)解析:由y=2-x得-x=log2y,即x=-log2y,且y0,所以f(x)=2-x的反函数为f-1(x)=-log2x(x0).12.-1解析:由m2-5m-5=1,得m=6或m=-1.当m=6时,y=x13,在(0,+)上为增函数;当m=-1时,y=x-1,在(0,
21、+)上为减函数.所以m=-1.13.13解析:因为函数y=f2(x)+f(x2)的定义域需满足1x9,1x29,所以x1,3,令log3x=t,t0,1,所以y=(t+2)2+2t+2=(t+3)2-3,所以当t=1时,ymax=13.14.解析:不正确,因为y=2x2-2x-3的定义域为R;不正确,因为x2-2x-3=(x-1)2-4-4,所以2x2-2x-32-4=116,即值域为116,+;正确,因为y=2u是增函数,u=x2-2x-3在(-,1上是减函数,在1,+)上是增函数,所以y=2x2-2x-3的递增区间为1,+);正确,因为f(-x)f(x),且f(-x)-f(x).15.解:
22、(1)原式=(213312)6+(2212)4312-1=21363126+2321243-1=2233+21-1=427+2-1=109.(2)原式=lg 5lg(54)+(lg 2)2=lg 5(lg 5+lg 4)+(lg 2)2=(lg 5)2+lg 5lg 4+(lg 2)2=(lg 5)2+2lg 5lg 2+(lg 2)2=(lg 5+lg 2)2=1.16.解:(1)使函数有意义,则有log3(4x-1)0,16-2x0.解得4x-11,2x24.所以12x4.所以A=x12x4.(2)令log2x=t,因为x12,4,所以t-1,2,所以f(t)=t2-2t-1=(t-1)2-2.所以当t=1时,f(t)min=-2,此时x=2;当t=-1时,f(t)max=2,此时x=12.17.解:(1)因为4x-10,所以4x1,所以x0.f(x)定义域为(-,0)(0,+).(2)因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以14-x-1-a=-14x-1+a,所以2a=4x1-4x+14x-1=1-4x4x-1=-1.所以a=-12.(3)证明:设x1,x2(0,+)且x1x2,所以x=x1-x2x1,所以4x24x1,所以f(x1)f(x2),所以y0,所以f(x)在(0,+)上为减函数.
