1、第四章测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、单项选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知数列an的通项公式为 an=n2-n,则可以作为这个数列的其中一项的数是()A.10B.15C.21D.42解析当 n=7 时,a7=72-7=42,所以 42 是这个数列中的一项.答案 D2.已知数列bn是等比数列,b9是 1 和 3 的等差中项,则 b2b16=()A.16B.8C.4D.2解析因为 b9是 1 和 3 的等差中项,所以 2b9=1+3,即 b9=2.由等比数列bn的性质可得 b2b16=4.答案 C3
2、.(2019 全国,理 9)记 Sn为等差数列an的前 n 项和.已知 S4=0,a5=5,则()A.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n2-8nD.Sn=n2-2n解析由题意可知 解得 -故 an=2n-5,Sn=n2-4n,故选 A.答案 A4.等差数列an中,S160,S170,即 a1+a16=a8+a90,S170,即 a1+a17=2a90,所以 a90,所以等差数列an为递减数列,且前 8 项为正数,从第 9 项以后为负数,所以当其前 n 项和取得最大值时,n=8.故选 A.答案 A5.已知数列an是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,bn是以 1 为首项,2 为公
3、比的等比数列,则 +=()A.1 033B.1 034C.2 057D.2 058解析由已知可得 an=n+1,bn=2n-1,于是 -=2n-1+1,因此 +=(20+1)+(21+1)+(29+1)=(1+2+22+29)+10=-+10=1 033.答案 A6.我国古代数学巨著九章算术中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:“有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的 2 倍,已知她 5 天共织布 5 尺,问这位女子每天分别织布多少?”根据上面的已知条件,可求得该女子第 4 天所织布的尺数为()A.B.C.D.解析设该女子第 n 天
4、织的布为 an尺,且数列an为公比 q=2 的等比数列,由题意可得 -=5,解得a1=.所以该女子第 4 天所织布的尺数为 a4=a1q3=.故选 D.答案 D7.给出数阵:0 1 91 2 109 10 18其中每行、每列均为等差数列,则此数阵所有数的和为()A.495B.900C.1 000D.1 100解析设 b1=0+1+2+9,b2=1+2+3+10,b10=9+10+18,则bn是首项 b1=45,公差 d=10 的等差数列,所以 S10=4510+10=900.答案 B8.对于正项数列an,定义:Gn=为数列an的“匀称值”.已知数列an的“匀称值”为Gn=n+2,则该数列中的
5、a10等于()A.B.C.D.解析Gn=,Gn=n+2,nGn=n(n+2)=a1+2a2+3a3+nan,10(10+2)=a1+2a2+3a3+10a10;9(9+2)=a1+2a2+3a3+9a9,两式相减得 10a10=21,a10=.故选 D.答案 D二、多项选择题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分)9.(2020 江苏镇江中学高二期末)对于数列an,若存在正整数 k(k2),使得 akak-1,akak+1,则称 ak是数列an的“谷值”,k 是数列an的“谷值点
6、”,在数列an中,若 an=|-|,下面哪些数不能作为数列an的“谷值点”?()A.3B.2C.7D.5解析 an=|-|,故 a1=2,a2=,a3=2,a4=,a5=,a6=,a7=,a8=.故 a2a2,a3a2,故 2 是“谷值点”;a6a7,a8a7,故 7 是“谷值点”;a61,a6+a7a6a7+12,记an的前 n 项积为 Tn,则下列选项中正确的选项是()A.0q1C.T121D.T131解析由于等比数列an的各项均为正数,公比为 q,且 a11,a6+a7a6a7+12,所以(a6-1)(a7-1)0,所以0a61,或 a61 且 0a71.当 0a61 时,=q1,又 a
7、11,所以an是递增数列,所以 a6a11,矛盾,当 a61 且0a71 时,0 1,即 0q2,所以 a6a71,T12=a1a2a11a12=(a6a7)61,T13=0.由 lga1,lga2,lga4成等差数列,得 2lga2=lga1+lga4,则 =a1a4,即(a1+d)2=a1(a1+3d),d2=a1d.因为 d0,所以 d=a1,a5=5a1=10,解得 d=a1=2.故 S5=5a1+d=30.答案 3015.我国古代数学名著张邱建算经有“分钱问题”:今有与人钱,初一人与三钱,次一人与四钱,次一人与五钱,以次与之,转多一钱,与讫,还敛聚与均分之,人得一百钱,问人几何?意思
8、是:将钱分给若干人,第一人给 3 钱,第二人给 4 钱,第三人给 5 钱,以此类推,每人比前一人多给 1 钱,分完后,再把钱收回平均分给各人,结果每人分得 100 钱,问有多少人?则题中的人数是 .解析设共有 n 人,根据题意得 3n+-=100n,解得 n=195,所以一共有 195 人.答案 19516.(2020 浙江余姚中学高二检测)已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明“1-+-=2 +”时,第一步的验证为 ;若已假设 n=k(k2且 k 为偶数)时等式成立,则还需要用归纳假设证 n=时等式成立.(本题第一空 2 分,第二空3 分)解析因为 n 为正偶数,则归纳基础为当 n=2 时,左
9、边=1-,右边=2 ,等式成立;归纳假设为当 n=k(k2 且 k 为偶数)时,1-+-=2 +成立,由于n 是所有正偶数,则下一个数应为 n=k+2.答案当 n=2 时,左边=1-,右边=2 ,等号成立 k+2四、解答题(本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 10 分)(2019 全国,理 19)已知数列an和bn满足 a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:an+bn是等比数列,an-bn是等差数列;(2)求an和bn的通项公式.(1)证明由题设得 4(an+1+bn+1)=2(an+
10、bn),即 an+1+bn+1=(an+bn).又因为 a1+b1=1,所以an+bn是首项为 1,公比为 的等比数列.由题设得 4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即 an+1-bn+1=an-bn+2.又因为 a1-b1=1,所以an-bn是首项为 1,公差为 2 的等差数列.(2)解由(1)知,an+bn=-,an-bn=2n-1.所以 an=(an+bn)+(an-bn)=+n-,bn=(an+bn)-(an-bn)=-n+.18.(本小题满分 12 分)已知等比数列an的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,=9a4a8.(1)求数列an的通项公式;(2)设 bn=an-
11、an-1,求数列bn的前 n 项和 Sn.解(1)设an的公比为 q,则由 =9a4a8,可得(a1q4)2=9a1q3a1q7,即 q8=9 q10,因此 q2=.因为an的各项均为正数,所以 q0,故 q=.又因为 2a1+3a2=1,所以 2a1+3a1 =1,解得 a1=.故 an=()-,即 an=().(2)由(1)得 bn=an-an-1=()()-=-()-,所以bn是首项为-,公比为 的等比数列,因此其前 n 项和 Sn=-()-()-1.19.(本小题满分 12 分)(2019 北京,文 16)设an是等差数列,a1=-10,且 a2+10,a3+8,a4+6 成等比数列.
12、(1)求an的通项公式;(2)记an的前 n 项和为 Sn,求 Sn的最小值.解(1)设an的公差为 d.因为 a1=-10,所以 a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d.因为 a2+10,a3+8,a4+6 成等比数列,所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6).所以(-2+2d)2=d(-4+3d).解得 d=2.所以 an=a1+(n-1)d=2n-12.(2)由(1)知,an=2n-12.所以,当 n7 时,an0;当 n6 时,an0.所以,Sn的最小值为 S6=-30.20.(本小题满分 12 分)已知数列an的前 n 项和 Sn=2an-2n.(1)求 a1
13、,a2.(2)设 cn=an+1-2an,证明数列cn是等比数列.(3)求数列 的前 n 项和 Tn.(1)解a1=S1,2a1=S1+2,a1=S1=2.由 2an=Sn+2n,知 2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1,an+1=Sn+2n+1,a2=S1+22=2+22=6.(2)证明由题设和式知 an+1-2an=(Sn+2n+1)-(Sn+2n)=2n+1-2n=2n,即 cn=2n,=2(常数).c1=21=2,cn是首项为 2,公比为 2 的等比数列.(3)解cn=2n,.数列 的前 n 项和Tn=+Tn=+,两式相减,得 Tn=+(-)-.Tn=.21.(本小
14、题满分 12 分)已知数列an的前 n 项和 Sn=an+n2+n-2(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)若 bn=-为奇数 ()为偶数 且数列bn的前 n 项和为 Tn,求 T2n.解(1)由于 Sn=an+n2+n-2,所以当 n2 时,Sn-1=an-1+(n-1)2+(n-1)-2,两式相减得 an=an-an-1+n+1,于是 an-1=n+1,所以 an=n+2.(2)由(1)得 bn=为奇数()为偶数 所以 T2n=b1+b2+b3+b2n=(b1+b3+b2n-1)+(b2+b4+b2n).因为 b1+b3+b2n-1=+=(-),b2+b4+b2n=()()+()-
15、()-(),于是 T2n=-().22.(本小题满分 12 分)(2019 浙江,20)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,a3=4,a4=S3.数列bn满足:对每个 nN*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)记 cn=,nN*,证明:c1+c2+cn2,nN*.解(1)设数列an的公差为 d,由题意得 a1+2d=4,a1+3d=3a1+3d,解得 a1=0,d=2.从而 an=2n-2,nN*.所以 Sn=n2-n,nN*.由 Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列得(Sn+1+bn)2=(Sn+bn)(Sn+2+bn).解得 bn=-SnSn+2).所以 bn=n2+n,nN*.(2)cn=-,nN*.我们用数学归纳法证明:当 n=1 时,c1=02,不等式成立;假设 n=k(kN*)时不等式成立,即 c1+c2+ck2.那么,当 n=k+1时,c1+c2+ck+ck+12 2 2 =2+2()=2 ,即当 n=k+1 时不等式也成立.根据和,不等式 c1+c2+cn2 对任意 nN*成立.
