1、模块过关检测(时间:120分钟满分:150分)一、单选题(共8小题,每小题5分,共40分)1.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=12x-2a,则x=()A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)解析由b=12x-2a,得x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).答案B2.已知直线l的方向向量为a,平面的法向量为n,若a=(1,1,1),n=(-1,0,1),则直线l与平面的位置关系是()A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.直线l在平面内或直线l与平面平行解析an=-1+1=0,an,直线l在平面
2、内或直线l与平面平行.故选D.答案D3.若圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0,则a的值等于()A.0B.2C.1D.2解析圆x2+y2-ax-2y+1=0的标准方程为x-a22+(y-1)2=a24,圆心坐标为a2,1,圆x2+y2-4x+3=0的标准方程为(x-2)2+y2=1,圆心坐标为(2,0),半径为1,连心线所在直线的斜率为1a2-2=2a-4,中点坐标为a+44,12,由题意可得a24=1,2a-41=-1,a+44-12-1=0,解得a=2.答案B4.如图,在棱长均相等的四面体O-ABC中,点D为AB的中点,CE=12E
3、D,设OA=a,OB=b,OC=c,则OE=()A.16a+16b+13cB.13a+13b+13cC.16a+16b-13cD.16a+16b+23c解析CE=12ED,CE=13CD=13CA+AD=13CA+12AB=13CA+16AB,OE=OC+CE=OC+13CA+16AB=OC+13OA-OC+16OB-OA=16OA+16OB+23OC=16a+16b+23c.答案D5.若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.233解析双曲线的渐近线方程为bxay=0,圆心(2,0)到渐近线
4、距离为d=22-12=3,则点(2,0)到直线bx+ay=0的距离为d=|2b+a0|a2+b2=2bc=3,即4(c2-a2)c2=3,整理可得c2=4a2,双曲线的离心率e=c2a2=4=2.答案A6.如图,在几何体ABC-A1B1C1中,ABC为正三角形,AA1BB1CC1,AA1平面ABC,若E是棱B1C1的中点,且AB=AA1=CC1=2BB1,则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为()A.1313B.21313C.2613D.22613解析以C为原点,在平面ABC内过C作BC的垂线为x轴,CB为y轴,CC1为z轴,建立空间直角坐标系,设AB=AA1=CC1=2BB1=2,则A1(
5、3,1,2),A(3,1,0),C1(0,0,2),B1(0,2,1),E0,1,32,A1E=-3,0,-12,AC1=(-3,-1,2),设异面直线A1E与AC1所成角为,则cos=|A1EAC1|A1E|AC1|=21348=2613.异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为2613.答案C7.设F1,F2分别是双曲线x2-y29=1的左、右焦点.若P在双曲线上,且PF1PF2=0,则|PF1+PF2|=()A.25B.5C.210D.10解析由题意,知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(-10,0),F2(10,0).设点P(x,y),则PF1=(-10-x,-y),PF2=(10-x,-y
6、).PF1PF2=0,x2+y2-10=0,即x2+y2=10.|PF1+PF2|=|PF1|2+|PF2|2+2PF1PF2=2(x2+y2)+20=210.答案C8.(2020福建厦门双十中学高三期中)阿波罗尼斯(约公元前262190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k0,k1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P满足|PA|PB|=2,当P,A,B不共线时,三角形PAB面积的最大值是()A.22B.2C.223D.23解析以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),
7、设P(x,y),|PA|PB|=2,(x+1)2+y2(x-1)2+y2=2,两边平方并整理,得x2+y2-6x+1=0(x-3)2+y2=8,当点P到AB(x轴)的距离最大时,三角形PAB的面积最大,此时面积为12222=22.答案A二、多选题(共4小题,每小题5分,共20分.错选得0分,少选得3分)9.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的三角形的几何学一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.已知ABC的顶点A(-4,0),B(0,4),其欧拉线方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标可以是()A.(2,0)B.(0,2)C.(-2,0)D.(0,-2)解析
8、设C(x,y),AB的垂直平分线为y=-x,ABC的外心为欧拉线方程为x-y+2=0与直线y=-x的交点,即M(-1,1),|MC|=|MA|=10,(x+1)2+(y-1)2=10,由A(-4,0),B(0,4),C(x,y),得ABC重心为x-43,y+43,代入欧拉线方程x-y+2=0,得x-y-2=0,由可得x=2,y=0或x=0,y=-2.答案AD10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=4,BC=2,M,N分别为棱C1D1,CC1的中点,则下列说法正确的是()A.A、M、N、B四点共面B.平面ADM平面CDD1C1C.直线BN与B1M所成的角为60D.BN平面
9、ADM解析对于A,由图显然AM、BN是异面直线,故A、M、N、B四点不共面,故A错误;对于B,由题意AD平面CDD1C1,故平面ADM平面CDD1C1,故B正确;对于C,取CD的中点O,连接BO、ON,可知三角形BON为等边三角形,故C正确;对于D,BN平面AA1D1D,显然BN与平面ADM不平行,故D错误.答案BC11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出下列四个命题,其中正确的命题是()A.(A1A+A1D1+A1B1)2=3A1B12;B.A1C(A1B1-A1A)=0;C.向量AD1与向量A1B的夹角为60;D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|ABAA1AD|.解析A中
10、,设正方体的棱长为1,则(A1A+A1D1+A1B1)2=A1C2=3,3A1B12=3,故A正确;B中,A1B1-A1A=AB1,由AB1A1C,故B正确;C中,A1B与AD1两异面直线所成角为60,但AD1与A1B的夹角为120,故C不正确;D中,|ABAA1AD|=0,故D也不正确.答案AB12.若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8,则称曲线C为“好曲线”.以下曲线是“好曲线”的是()A.x+y=5B.x2+y2=9C.x225+y29=1D.x2=16y解析由双曲线定义可知:点M轨迹是以A,B为焦点的双曲线.则a=4,c=5,b2=c2-
11、a2=9,M的轨迹方程为x216-y29=1.直线x+y=5过点(5,0),故直线与M的轨迹有交点,是“好曲线”,A正确;x2+y2=9是以(0,0)为圆心,3为半径的圆,与M的轨迹没有交点,不是“好曲线”,B错误;x225+y29=1的右顶点为(5,0),故椭圆与M的轨迹有交点,是“好曲线”,C正确;把x2=16y代入双曲线方程,可得y2-9y+9=0,此时0,故抛物线与M的轨迹有交点,是“好曲线”,D正确.答案ACD三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.以(-1,2)为圆心,且与圆C:(x-3)2+(y+1)2=9外切的圆的标准方程是.解析设所求圆半径为r,则由题意(-1-3)
12、2+(2+1)2=3+r,r=2,所以所求圆方程为:(x+1)2+(y-2)2=4.答案(x+1)2+(y-2)2=414.在四棱锥P-ABCD中,设向量AB=(4,-2,3),AD=(-4,1,0),AP=(-6,2,-8),则顶点P到底面ABCD的距离为.解析设平面ABCD的法向量n=(x,y,z),则ABn=4x-2y+3z=0,ADn=-4x+y=0,令x=3,则y=12,z=4,n=(3,12,4).点P到底面ABCD的距离d=|APn|n|=|-18+24-32|9+144+16=2.答案215.(2019全国,理15)设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M为C
13、上一点且在第一象限.若MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为.解析a2=36,b2=20,c2=a2-b2=16,c=4.由题意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.|MF1|+|MF2|=2a=12,|MF2|=4.设点M的坐标为(x0,y0)(x00,y00),则SMF1F2=12|F1F2|y0=4y0.又SMF1F2=12482-22=415,4y0=415,解得y0=15.又点M在椭圆C上,x0236+(15)220=1,解得x0=3或x0=-3(舍去).点M的坐标为(3,15).答案(3,15)16.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N,E,F分别是A1B1,AD,B
14、1C1,C1D1的中点,则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为,CE和该截面所成角的正弦值为.解析取A1D1中点G,BC中点P,CD中点H,连接GM、GN、MN、PE、PH、PF、HF,MGEF,NGEP,MGNG=G,EFEP=E,平面MNG平面PEFH,过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面为PEFH,PE=2,EF=12+12=2,四边形PEFH是矩形,过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面PEFH的面积为S=22.以D1为原点,D1A1为x轴,D1C1为y轴,D1D为z轴,建立空间直角坐标系,E(1,2,0),F(0,1,0),H(0,1,2),C(0,2,2),EC=
15、(-1,0,2),EF=(-1,-1,0),EH=(-1,-1,2),设平面PEFH的法向量n=(x,y,z),则nEF=-x-y=0,nEH=-x-y+2z=0,取x=1,得n=(1,-1,0),设CE和该截面所成角为,则sin=|ECn|EC|n|=152=1010,CE和该截面所成角的正弦值为1010.答案221010四、解答题(共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米,拱顶距离水面6.5米.(1)建立如图所示的平面直角坐标系xOy,试求拱桥所在抛物线的方程.(2)若一竹排上有一个4米宽、6米高的大木箱,问此木排能否安全通过此桥?解(1)由题
16、意在平面直角坐标系xOy中,设抛物线方程为y=ax2(a126,木排可安全通过此桥.18.(本小题满分12分)如图,已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点,直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程;(2)当|MN|=219时,求直线l的方程.解(1)由于圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,R=|-1+4+7|5=25,圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.(2)当直线l与x轴垂直时,易知x=-2与题意相符,使|MN|=219.当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+2)即kx-
17、y+2k=0,连接AQ,则AQMN,|MN|=219,|AQ|=1,由|AQ|=|-k-2+2k|k2+1=1,得k=34.直线l:3x-4y+6=0,故直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.19.(本小题满分12分)如图所示,在三棱锥P-ABQ中,PB平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.(1)求证:ABGH;(2)求平面DGH与平面GHE的夹角的余弦值.(1)证明因为D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,所以EFAB,DCAB.所以EFDC.又EF平面PCD,DC平面
18、PCD,所以EF平面PCD.又EF平面EFQ,平面EFQ平面PCD=GH,所以EFGH.又EFAB,所以ABGH.(2)解在ABQ中,AQ=2BD,AD=DQ,所以ABQ=90.又PB平面ABQ,所以BA,BQ,BP两两垂直.以B为坐标原点,分别以BA,BQ,BP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设BA=BQ=BP=2,则E(1,0,1),F(0,0,1),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2).所以EQ=(-1,2,-1),FQ=(0,2,-1),DP=(-1,-1,2),CP=(0,-1,2).设平面EFQ的一个法向量为m=(x1,y
19、1,z1),由mEQ=0,mFQ=0,得-x1+2y1-z1=0,2y1-z1=0,取y1=1,得m=(0,1,2).设平面PDC的一个法向量为n=(x2,y2,z2),由nDP=0,nCP=0,得-x2-y2+2z2=0,-y2+2z2=0,取z2=1,得n=(0,2,1).设平面DGH与平面GHE的夹角为,则cos=|cos|=|mn|m|n|=45.20.(本小题满分12分)已知抛物线x2=2py(p0)的焦点到直线l:x-y-2=0的距离为322.(1)求抛物线的标准方程;(2)设点C是抛物线上的动点,若以点C为圆心的圆在x轴上截得的弦长均为4,求证:圆C恒过定点.(1)解因为x2=2
20、py的焦点坐标为0,p2,由点到直线的距离公式可得-p2-22=322,解得p=2(负值舍去),所以抛物线的标准方程是x2=4y.(2)证明设圆心C的坐标为x0,x024,半径为r,又圆C在x轴上截得的弦长为4,所以r2=4+x0242,所以圆C的标准方程为(x-x0)2+y-x0242=4+x0242,化简得1-y2x02-2xx0+(x2+y2-4)=0,对于任意的x0R,方程均成立,故有1-y2=0,-2x=0,x2+y2=4,解得x=0,y=2,所以圆C恒过定点(0,2).21.(本小题满分12分)在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,点E是线段CD上靠近点D的一个三等分点,点F是线段
21、AD上的一个动点,且DF=DA(01).如图,将BCE沿BE折起至BEG,使得平面BEG平面ABED.(1)当=12时,求证:EFBG;(2)是否存在,使得FG与平面DEG所成的角的正弦值为13?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.解(1)当=12时,点F是AD的中点,DF=12AD=1,DE=13CD=1.ADC=90,DEF=45.CE=23CD=2,BC=2,BCD=90,BEC=45.BEEF.又平面GBE平面ABED,平面GBE平面ABED=BE,EF平面ABED,EF平面BEG.BG平面BEG,EFBG.(2)以C为原点,CD,CB的方向为x轴,y轴的正方向建立如图所示的空间直
22、角坐标系Cxyz.则E(2,0,0),D(3,0,0),F(3,2,0).取BE的中点O,GE=BG=2,GOBE,易证得OG平面BCE,BE=22,OG=2,G(1,1,2).FG=(-2,1-2,2),EG=(-1,1,2),DG=(-2,1,2).设平面DEG的一个法向量为n=(x,y,z),则nDG=-2x+y+2z=0,nEG=-x+y+2z=0,令z=2,则n=(0,-2,2).设FG与平面DEG所成的角为,则sin=|cos|=|-20+(-2)(1-2)+2|66+(1-2)2=13,解得=12或=-710(舍去),存在实数,使得FG与平面DEG所成的角的正弦值为13,此时=1
23、2.22.(本小题满分12分)M是椭圆T:x2a2+y2b2=1(ab0)上任意一点,F是椭圆T的右焦点,A为左顶点,B为上顶点,O为坐标原点,如下图所示,已知|MF|的最大值为3+5,且MAF面积最大值为3+5.(1)求椭圆T的标准方程;(2)求ABM的面积的最大值S0.若点N(x,y)满足xZ,yZ,称点N为格点.问椭圆T内部是否存在格点G,使得ABG的面积S(6,S0)?若存在,求出G的坐标,若不存在,请说明理由.解(1)由椭圆性质可知|MF|=caa2c-xM=a-caxM,其中c0,c2=a2-b2,因为xM-a,a,故|MF|a-c,a+c,即a+c=3+5,又MAF面积最大值为3
24、+5.且SMAF=12(a+c)|yM|,|yM|的最大值为2,即b=2,又b2=a2-c2且a+c=3+5,解得a=3,c=5,椭圆T的方程为x29+y24=1.(2)由题知直线AB的方程为y=23x+2,设直线l:y=23x+m与椭圆T相切于x轴下方的点M0,则ABM0的面积为ABM的面积的最大值S0.y=23x+m,x29+y24=1,消去y得29x2+m3x+m24-1=0,由=m29-429m24-1=0,得m=-22,此时直线AB与直线l距离为2+221+49=3(2+22)13,而|AB|=13,则S0=12133(2+22)13=3(1+2),设h为点G到直线AB的距离,则S=132h,由6132h3(1+2),得1213h231-2,故(1,-1)在直线A0B0上方,不符题意;而-1232-2,则点(2,-1)在直线A0B0下方,且229+(-1)24=25361,点(2,-1)在椭圆内部,所以(2,-1)为所求格点G.
