1、第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程课后篇巩固提升基础达标练1.已知方程x2k-4+y210-k=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是()A.(4,10)B.(7,10)C.(4,7)D.(4,+)解析依题意有k-410-k0,解得7k0,n0),则16m=1,4n=1,解得m=116,n=14,故选D.答案D3.已知椭圆x2k+y2=1的一个焦点是(2,0),那么实数k=()A.3B.5C.3D.5解析因为椭圆x2k+y2=1的一个焦点是(2,0),所以k1,因为k-1=4,所以k=5.故选D.答案D4.已知F1,F2分别为椭圆x225+y29=1的左、右焦点,
2、倾斜角为60的直线l过点F1,且与椭圆交于A,B两点,则AF2B的周长为()A.10B.12C.16D.20解析由椭圆x225+y29=1可得a=5,AF2B的周长=|AF2|+|BF2|+|AB|,|AB|=|AF1|+|BF1|,所以AF2B周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|,由椭圆的定义知,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10,所以AF2B周长=4a=20.故选D.答案D5.(多选题)椭圆x2m+y28=1的焦距为4,则m的值可能是()A.12B.10C.6D.4解析因为椭圆的焦距为2c=4,则c=2,当焦点在x轴上时,有m=8+22=12,解得m
3、=12;当焦点在y轴上时,有8=m+22,解得m=4.故m=4或12.答案AD6.一个椭圆中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,3)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为()A.x28+y26=1B.x216+y26=1C.x28+y24=1D.x216+y24=1解析|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,P是椭圆上的一点,2|F1F2|=|PF2|+|PF1|=2a,a=2c.设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则a=2c,a2=b2+c2,4a2+3b2=1,解得a=22,c=2,b2=6.故椭圆的方程为x28+y26=1.答
4、案A7.过点(3,-5),且与椭圆y225+x29=1有相同的焦点的椭圆的标准方程为.解析椭圆y225+x29=1的焦点为(0,4),设椭圆方程为y2a2+x2b2=1(ab0),则有a2-b2=16,再代入点(3,-5),得5a2+3b2=1,由解得a2=20,b2=4.则所求椭圆方程为y220+x24=1.答案y220+x24=18.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点是F1,F2,P是椭圆的一个动点,如果M是线段F1P的中点,那么动点M的轨迹是.(填轨迹的名称)解析由题知|PF1|+|PF2|=2a,设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(其中ab0).连接MO,当P不在x轴
5、上时,由三角形的中位线可得|F1M|+|MO|=a(a|F1O|),当P在x轴上时,|MF1|+|MO|=a(a|F1O|),所以M的轨迹为以F1,O为焦点的椭圆.答案椭圆9.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,32);(2)经过两点(2,-2),-1,142.解(1)(方法1)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为y2a2+x2b2=1(ab0).由椭圆的定义知2a=(4-0)2+(32+2)2+(4-0)2+(32-2)2=12,所以a=6.又c=2,所以b=a2-c2=42.所以椭圆的标准方程为y236+x232=1.(方法2
6、)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设其标准方程为y2a2+x2b2=1(ab0).由题意得18a2+16b2=1,a2=b2+4,解得a2=36,b2=32.所以椭圆的标准方程为y236+x232=1.(2)(方法1)若椭圆的焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0).由已知条件得4a2+2b2=1,1a2+144b2=1,解得1a2=18,1b2=14.所以所求椭圆的标准方程为x28+y24=1.同理可得,焦点在y轴上的椭圆不存在.综上,所求椭圆的标准方程为x28+y24=1.(方法2)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A0,B0,AB).将两点(2,-2),-1,1
7、42代入,得4A+2B=1,A+144B=1,解得A=18,B=14,所以所求椭圆的标准方程为x28+y24=1.能力提升练1.F1是椭圆x29+y25=1的左焦点,P是椭圆上的动点,A(1,1)为定点,则|PA|+|PF1|的最小值是()A.9-2B.6-2C.3+2D.6+2解析如图所示,设点F2为椭圆的右焦点,连接F2A并延长交椭圆于点P,连接PF1,PF2.|PF1|+|PF2|=2a=6,|PF1|=6-|PF2|,|PA|+|PF1|=|PA|+6-|PF2|=6+(|PA|-|PF2|).根据三角形两边之差小于第三边,当点P位于P时,|PA|-|PF2|最小,其值为-|AF2|=
8、-2,此时|PA|+|PF1|的最小值为6-2.答案B2.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OPFP的最大值为()A.2B.3C.6D.8解析由题意,得F(-1,0),设点P(x0,y0),设y02=31-x024,OPFP=x0(x0+1)+y02=x02+x0+y02=x02+x0+31-x024=14(x0+2)2+2,当x0=2时,OPFP取得最大值为6.答案C3.(2020山东潍坊模拟)如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是
9、()A.圆B.双曲线C.抛物线D.椭圆解析由题意知,M,F关于CD对称,所以|PF|=|PM|,故|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=R|FO|,可知点P的轨迹是椭圆.答案D4.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为()A.x236+y216=1B.x240+y215=1C.x249+y224=1D.x245+y220=1解析由题意可得c=5,设右焦点为F,连接PF,由|OP|=|OF|=|OF|知,PFF=FPO,OFP=OPF,PFF+OFP=FPO+OPF,FPO+OPF=90,即PFPF,在R
10、tPFF中,由勾股定理,得|PF|=|FF|2-|PF|2=102-62=8,由椭圆的定义,得|PF|+|PF|=2a=6+8=14,从而a=7,a2=49,于是b2=a2-c2=49-52=24,椭圆C的方程为x249+y224=1,答案C5.已知椭圆x29+y22=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=,F1PF2的大小为.解析由|PF1|+|PF2|=6,且|PF1|=4,知|PF2|=2.在PF1F2中,cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=-12.故F1PF2=120.答案21206.已知椭圆E:x2a2+y2
11、b2=1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则该椭圆的方程为()A.x245+y236=1B.x236+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=1解析设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在椭圆上,x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1.-,得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,即b2a2=-(y1+y2)(y1-y2)(x1+x2)(x1-x2).AB的中点为(1,-1),y1+y2=-2,x1+x2=2.而y1-y2x1-x2=kAB=0-(-1)3-1
12、=12,b2a2=12.又a2-b2=9,a2=18,b2=9.椭圆E的方程为x218+y29=1.故选D.答案D7.(2020山东烟台检测)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1PF2.若PF1F2的面积为9,则b=.解析F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1PF2,|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2=4c2,12|PF1|PF2|=9,(|PF1|+|PF2|)2=4c2+2|PF1|PF2|=4a2,36=4(a2-c2)=4b2,b=3.答案38.已知椭圆的
13、中心在原点,且经过点P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.解当焦点在x轴上时,设其标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0),由椭圆过点P(3,0),知9a2+0b2=1.又a=3b,解得b2=1,a2=9,故椭圆的方程为x29+y2=1.当焦点在y轴上时,设其标准方程为y2a2+x2b2=1(ab0).由椭圆过点P(3,0),知0a2+9b2=1.又a=3b,联立解得a2=81,b2=9,故椭圆的方程为y281+x29=1.故椭圆的标准方程为y281+x29=1或x29+y2=1.素养培优练1.(2020河南郑州一中月考)已知椭圆x29+y25=1的右焦点为F,P是椭圆上一点,点A(0,
14、23),当APF的周长最大时,APF的面积为()A.114B.1134C.214D.2134解析由椭圆方程x29+y25=1,得a=3,b=5,c=a2-b2=2.设椭圆的左焦点为F,则APF的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a-|PF|=4+6+|AP|-|PF|10+|AF|,当且仅当A,P,F三点共线,且P在AF的延长线上时取等号.A(0,23),F(-2,0),直线AF的方程为x-2+y23=1,即3x-y+23=0.由3x-y+23=0,x29+y25=1得32y2-203y-75=0.点P的纵坐标为-538.当APF的周长最大时,该三角形的面积为12|FF
15、|yA-yP|=223+538=2134.答案D2.如图所示,ABC的底边BC=12,其他两边AB和AC上中线的和为30,求此三角形重心G的轨迹方程,并求顶点A的轨迹方程.解以BC边所在直线为x轴,BC边中点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则B(6,0),C(-6,0),CE,BD为AB,AC边上的中线,则|BD|+|CE|=30.由重心性质可知,|GB|+|GC|=23(|BD|+|CE|)=2012.B,C是两个定点,G点到B,C的距离和等于定值20,且2012=|BC|,G点的轨迹是椭圆,B,C是椭圆焦点,2c=|BC|=12,c=6,2a=20,a=10,b2=a2-c2=102-62=64,故G点的轨迹方程为x2100+y264=1(x10).设G(x,y),A(x,y),则有x2100+y264=1.由重心坐标公式知x=x3,y=y3,故A点轨迹方程为(x3)2100+(y3)264=1,即x2900+y2576=1(x30).
