1、第二章直线和圆的方程2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.2圆与圆的位置关系课后篇巩固提升基础达标练1.两个圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切线有且仅有()A.1条B.2条C.3条D.4条解析两圆方程化为C1:(x+1)2+(y+1)2=4,C2:(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为(-1,-1)和(2,1),半径均为2,圆心距d=(2+1)2+(1+1)2=132-2,两圆相交,因此两圆有2条公共线.答案B2.圆:x2+y2-2x-2y=0和圆:x2+y2-6x+2y+6=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是()A.x+y+3=0
2、B.x-y+2=0C.x+y-2=0D.2x-y-1=0解析AB的垂直平分线就是两圆的连心线,两圆的圆心分别为(1,1),(3,-1),过两圆圆心的直线方程为x+y-2=0.答案C3.(多选题)下列圆中与圆C:x2+y2+2x-4y+1=0相切的是()A.(x+2)2+(y+2)2=9B.(x-2)2+(y+2)2=9C.(x-2)2+(y-2)2=25D.(x-2)2+(y+2)2=49解析由圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,可知圆心C的坐标为(-1,2),半径r=2.A项,圆心C1(-2,-2),半径r1=3.|C1C|=17(r1-r,r1+r),两圆相交;B项,圆心C2(2,-2)
3、,半径r2=3,|C2C|=5=r+r2,两圆外切,满足条件;C项,圆心C3(2,2),半径r3=5,|C3C|=3=r3-r,两圆内切;D项,圆心C4(2,-2),半径r4=7,|C4C|=5=r4-r,两圆内切.答案BCD4.若点P在圆O:x2+y2=1上运动,点Q在圆C:(x-3)2+y2=1上运动,则|PQ|的最小值为()A.3B.2C.1D.4解析|PQ|的最小值应为圆心距减去两圆半径,即(|PQ|)min=|OC|-2=3-2=1.答案C5.(多选题)若圆C1:x2+y2=1和圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0没有公共点,则实数k的取值可能是()A.-16B.-9C.11D.1
4、2解析化圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0为(x-3)2+(y-4)2=25+k,则k-25,圆心坐标为(3,4),半径为25+k;圆C1:x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),半径为1.要使圆C1和圆C2没有公共点,则|C1C2|25+k+1或|C1C2|25+k+1或525+k-1,解得-25k11.实数k的取值范围是(-25,-9)(11,+).满足这一范围的有A和D.答案AD6.若圆x2+y2-2ax+a2=2和圆x2+y2-2by+b2=1相外离,则a,b满足的条件是.解析两圆的连心线的长为d=a2+b2.两圆相外离,d2+1,a2+b23+22.答案a2+b23+227.若点A
5、(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是.解析点A(a,b)在圆x2+y2=4上,a2+b2=4.又圆x2+(y-b)2=1的圆心C1(0,b),半径r1=1,圆(x-a)2+y2=1的圆心C2(a,0),半径r2=1,则|C1C2|=a2+b2=4=2,|C1C2|=r1+r2.两圆外切.答案外切8.(1)求圆心在直线y=-2x上,且与直线y=-x+1相切于点P(2,-1)的圆的方程;(2)求与圆x2+y2-2x-4y=0外切于点(2,4)且半径为25的圆的方程.解(1)过点P(2,-1)且与直线y=-x+1垂直的直线为x-y-3=0,
6、由y=-2xx-y-3=0求得x=1,y=-2.即圆心C(1,-2),半径r=|CP|=2,所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.(2)圆方程化为(x-1)2+(y-2)2=5,得该圆圆心为(1,2),半径为5,故两圆连心线斜率k=4-22-1=2.设所求圆心为(a,b),所以(a-1)2+(b-2)2=35,4-b2-a=2,解得a=4,b=8,或a=-2,b=-4.(舍去)所以所求圆的方程为(x-4)2+(y-8)2=20.9.已知两圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0,C2:x2+y2-2x-14y+k=0(k50).当两圆有如下位置关系时:(1)外切;(2)内切;(3)相交
7、;(4)内含;(5)外离.试确定上述条件下k的取值范围.解将两圆的方程化为标准方程:C1:(x+2)2+(y-3)2=1;C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k.则圆C1的圆心坐标C1(-2,3),半径r1=1,圆C2的圆心坐标C2(1,7),半径r2=50-k.从而圆心距d=(-2-1)2+(3-7)2=5.(1)当两圆外切时,d=r1+r2,即1+50-k=5,解得k=34.(2)当两圆内切时,d=|r1-r2|,即|1-50-k|=5,解得k=14.(3)当两圆相交时,|r1-r2|dr1+r2,即|1-50-k|d1+50-k,解得14k34.(4)当两圆内含时,d5,解得kr1+
8、r2,即1+50-k34.能力提升练1.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是()A.(x-5)2+(y+7)2=25B.(x-5)2+(y+7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15C.(x-5)2+(y+7)2=9D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9解析设动圆圆心(x,y),则若两圆内切,则有(x-5)2+(y+7)2=4-1=3,即(x-5)2+(y+7)2=9;若两圆外切,则有(x-5)2+(y+7)2=4+1=5,即(x-5)2+(y+7)2=25.答案D2.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线
9、x+y=0所得线段的长度是22,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离解析由x2+y2-2ay=0(a0),得x2+(y-a)2=a2,圆心M(0,a),半径r1=a.圆心M到直线x+y=0的距离d=|a|2=22a,2r12-d2=2a2-12a2=22,解得a=2.圆心M(0,2),半径r1=2,由(x-1)2+(y-1)2=1,得圆心N(1,1),半径r2=1,|MN|=(1-0)2+(1-2)2=2,r1-r2|MN|2+4,即(a-2)235,设与圆C1相切的直线l1的方程为y=kx,则|2k-3|k2+1=2,解得k=512,则
10、与圆C2相切的直线l2的斜率k=-1k=-125,直线l2的方程为y=-125x,即12x+5y=0,所以|12a+20|122+52=4,解得a=-6或a=83,结合(a-2)235可知a=-6,故选C.答案C4.若直线y=x+b与曲线y=3-4x-x2有公共点,则b的取值范围是()A.1-22,1+22B.1-2,3C.-1,1+22D.1-22,3解析由y=3-4x-x2,得(x-2)2+(y-3)2=4(0x4,1y3),它表示以(2,3)为圆心,2为半径的下半圆,如图所示,令|2-3+b|12+12=2,得b=1-22(b=1+22舍去),故选D.答案D5.已知圆(x-1)2+y2=
11、1与圆(x-2)2+(y-1)2=r2(r0)无公切线,则r的取值范围为.解析由题意,圆(x-1)2+y2=1的圆心坐标为C1(1,0),半径为r1=1,圆(x-2)2+(y-1)2=r2(r0)的圆心坐标为C1(2,1),半径为r,因为两圆无公切线,则两圆的位置关系为两个圆内含,则圆心距d=(2-1)2+12=2,则d2+1,所以r的取值范围是(2+1,+).答案(2+1,+)6.过原点O作圆x2+y2-4x-8y+16=0的两条切线,设切点分别为P,Q,则直线PQ的方程为.解析设圆x2+y2-4x-8y+16=0的圆心为C,则C(2,4),CPOP,CQOQ,过四点O,P,C,Q的圆的方程
12、为(x-1)2+(y-2)2=5.两圆方程相减得直线PQ的方程为x+2y-8=0.答案x+2y-8=07.已知圆C:x2+y2=1,过点P向圆C引两条切线PA,PB,切点为A,B,若点P的坐标为(2,1),则直线AB的方程为;若P为直线x+2y-4=0上一动点,则直线AB经过定点.解析圆C:x2+y2=1的圆心坐标为C(0,0),则以C(0,0)和P(2,1)为直径的圆的圆心为1,12,半径为r=1222+12=52.可得以CP为直径的圆的方程为(x-1)2+y-122=54,即x2+y2-2x-y=0,两圆的方程相减可得直线AB的方程:2x+y-1=0.因为点P为直线x+2y-4=0上一动点
13、,设P(4-2m,m),因为PA,PB是圆C的切线,所以CAPA,CBPB,所以AB是圆C与以PC为直径的两圆的公共弦,以PC为直径的圆的方程为x-(2-m)2+y-m22=(2-m)2+m24,又由圆C的方程为x2+y2=1,两圆的方程相减,则AB的方程为2(2-m)x+my=1,可得14,12满足上式,即AB过定点14,12.答案2x+y-1=014,128.已知圆M:x2+y2=10和圆N:x2+y2+2x+2y-14=0,求过两圆交点,且面积最小的圆的方程.解设两圆交点为A,B,则以AB为直径的圆就是所求的圆.直线AB的方程为x+y-2=0.两圆圆心连线的方程为x-y=0.解方程组x+
14、y-2=0,x-y=0,得圆心坐标为(1,1).圆心M(0,0)到直线AB的距离为d=2,弦AB的长为|AB|=2(10)2-(2)2=42,所以所求圆的半径为22.所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=8.素养培优练已知圆C的圆心在直线l:2x-y=0上,且与直线l1:x-y+1=0相切.(1)若圆C与圆x2+y2-2x-4y-76=0外切,试求圆C的半径;(2)满足已知条件的圆显然不止一个,但它们都与直线l1相切,我们称l1是这些圆的公切线.这些圆是否还有其他公切线?若有,求出公切线的方程,若没有,说明理由.解(1)设圆C的圆心坐标为(a,2a),则半径r=|a-2a+1|12+1
15、2=|a-1|2,两圆的圆心距为(a-1)2+(2a-2)2=5|a-1|=10r,因为两圆外切,所以10r=r+9,r=10+1.(2)如果存在另一条切线,则它必过l与l1的交点(1,2),若斜率不存在,则直线方程为:x=1,圆心C到它的距离|a-1|=r=|a-1|2,由于方程需要对任意的a都成立,因此无解,所以它不是公切线,若斜率存在,设公切线方程为:y-2=k(x-1),则d=|ka-2a+2-k|1+k2=r=|a-1|2对任意的a都成立,|(k-2)(a-1)|1+k2=|a-1|2,|k-2|1+k2=12,两边平方并化简得k2-8k+7=0,解得k=1或k=7,当k=1时,直线与l1重合,当k=7时,直线方程为7x-y-5=0,故还存在一条公切线,其方程为7x-y-5=0.
