1、集宁一中20182019学年第二学期第二次阶段性考试高二年级理科数学试题第一卷 （选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知函数的定义域为A，则 （ ）A. 或B. 或C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求集合，再由补集运算即可得.【详解】已知函数的定义域为，所以，得，即，故.故选：D【点睛】本题考查了集合的补集运算，不等式的解法，属于基础题.2.设复数满足，则（ ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【详解】(1i)z2i，z=1i.|z|.故答案：C【点睛】本题考查复数的运算及复数的模复数的常见考
2、点有：复数的几何意义，zabi(a，bR)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作3.函数的图像为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，得的图象关于原点对称，当时，得，对选项分析判断即可.【详解】由，得的图象关于原点对称，排除C,D.当时，得，排除B.故选：A【点睛】本题考查了函数图像的识别，利用了函数的奇偶性等性质，属于基础题.4.已知是不重合的平面，是
3、不重合的直线，则的一个充分条件是()A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】由题意，分别分析每个答案，容易得出当，得出，再得出，得出答案.【详解】对于答案A：，得出与是相交的或是垂直的，故A错；答案B：，得出与是相交的、平行的都可以，故B错；答案C：，得出，再得出，故C正确；答案D: ，得出与是相交的或是垂直的，故D错故选C【点睛】本题主要考查了线面位置关系的知识点，熟悉平行以及垂直的判定定理和性质定理是我们解题的关键所在，属于较为基础题.5.已 知 命 题 ，命 题，则 下 列 命 题 为 真 命 题 的 是 ()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别判断命
4、题的的真假，再根据复合命题的真值表即可得到答案。【详解】对于命题，要使，则，故不存在，使，则命题为假命题，即为真命题对于命题，由余弦函数的图像可知，故命题为真命题，为假命题；故为假命题，为假命题，为真命题，为假命题；故答案选C【点睛】本题考查真假命题的概念，以及真值表的应用，解题的关键是判断出命题，的真假，属于基础题。6.史记中讲述了田忌与齐王赛马的故事“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由题
5、意结合古典概型计算公式即可求得最终结果详解：记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a,b,c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A,B,C，由题意可知，可能的比赛为：Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,共有9种，其中田忌可以获胜的事件为：Ba，Ca,Cb，共有3种，则田忌马获胜的概率为.本题选择A选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.7.随机变量服从二项分布，且，则等于（ ）A.
6、 B. C. D. 【答案】B【解析】因为,所以,解得.即等于.故选B.8.直线为参数）和圆交于两点，则的中点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】将直线参数方程代入圆方程得：，解得或，所以两个交点坐标分别是，所以中点坐标为。故选D。点睛：本题考查直线的参数方程应用。本题求直线和圆的弦中点坐标，直接求出两个交点坐标，得到中点坐标。只需联立方程组，求出解即可。参数方程的求法基本可以代入直接求解即可。9.将三枚骰子各掷一次，设事件为“三个点数都不相同”，事件为“至少出现一个6点”，则概率的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】考点：条件概率与独立事件分析：本题要求条件
7、概率，根据要求的结果等于P（AB）P（B），需要先求出AB同时发生的概率，除以B发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率代入算式得到结果解：P（A|B）=P（AB）P（B），P（AB）=P（B）=1-P（）=1-=1-=P（A/B）=P（AB）P（B）=故选A10.已知点为双曲线上一点，则它的离心率为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将的坐标代入双曲线，求得的值，进而求得的值和离心率.【详解】将的坐标代入双曲线方程得，解得，故，所以离心率为，故选B.【点睛】本小题主要考查双曲线标准方程求法，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.11.设函数f(x)=cos(x+)，
8、则下列结论错误的是A. f(x)的一个周期为2B. y=f(x)的图像关于直线x=对称C. f(x+)的一个零点为x=D. f(x)在(,)单调递减【答案】D【解析】f(x)的最小正周期为2，易知A正确；fcoscos31，为f(x)的最小值，故B正确；f(x)coscos，fcoscos0，故C正确；由于fcoscos1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误故选D.12.已知函数，满足，则实数的取值范围是（ ）A. (1,2)B. (2,3)C. (1,3)D. (2,4)【答案】A【解析】【分析】首先求出函数的定义域，把代入函数中化简，解出不等式的解，即可得到答案。【详解】函
9、数的定义域为，由可得：，两边平方：则（1）或（2）解（1）得：无解 ，解（2）得：，所以实数的取值范围是：；故答案选A【点睛】本题主要考查对数不等式的解，解题时注意定义域的求解，有一定综合性，属于中档题。第二卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.若曲线在处切线的斜率为2，则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】由题意，求得函数的导数为，得到，令，即可求解。【详解】由题意，函数的导数为，当时，令，解得。故答案为。【点睛】本题主要考查了函数的导数的计算与应用，其中解答中熟记导数的计算公式，以及函数在某点处的导数的计算，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与
10、计算能力，属于基础题。14.若为R上的增函数，则满足的实数m的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：为R上的增函数，且，即，.考点：函数的单调性.15.已 知 的 展 开 式 中 各 项 系 数 和 为 2, 则 其 展 开 式 中 含项 的 系 数 是 _【答案】9【解析】【分析】令，可得：，解出的值，再利用通项公式即可得到答案。【详解】由于的 展 开 式 中 各 项 系 数 和 为 2，令，可得：，解得：，的展开式的通项公式，要得到展 开 式 中 含项 的 系 数，则或，解得或4；所以展 开 式 中 含项 的 系 数 故答案为：9【点睛】本题考查二项式定理的性质及应用，考查推理能力与计算能
11、力，属于中档题。16.不 等 式对 一 切 都 成 立 .则 的 取 值 范 围 _【答案】【解析】【分析】根据题意结合二次函数的图像进行分析即可得到答案。【详解】令，对称轴为，开口向上，大致图像如下图：所以要使不 等 式对 一 切 都 成 立，则： （1）或（2）；当时显然不满足条件舍去；解（1）得：无解，解（2）得：，所以的 取 值 范 围 【点睛】本题考查二次函数的取值范围问题，结合图像进行分析是解题的关键，属于中档题。三、解答题：共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.如图，四面体中,是正三角形，是直角三角形，（1）证明：平面平面；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面把
12、四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】【分析】（1）利用题意，证得二面角为，即可得到平面ACD平面ABC；（2）建立适当的空间直角坐标系，求得两个半平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值。【详解】（1）由题意可得，,从而，又是直角三角形，所以，取AC的中点O，连接DO，BO，则，又由是正三角形，所以，所以是二面角的平面角,在直角中，又，所以，故 ，所以平面平面。（2）由题设及（1）可知,两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为到平面的距离的，即为的
13、中点，得 .故,设是平面的法向量，则，即，令，则，即平面的一个法向量，设是平面的法向量，则，可得平面的一个法向量，则，即二面角的余弦值为。【点睛】本题主要考查了二面角的平面角的定义及应用，以及利用空间向量求解二面角的计算，对于立体几何中空间角的计算问题，往往可以利用空间向量法求解，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式得以求解，同时解答中要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算。18.“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子.”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查，得到了
14、如下列联表：男性女性合计爱好10不爱好8合计30已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是.（1）请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析能否有把握认为爱好运动与性别有关？（2）若从这30人中的女性员工中随机抽取2人参加一活动，记爱好运动的人数为，求的分布列、数学期望.参考数据：0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）没有把握认为爱好运动与性别有关； （2）.【解析】【分析】（1）由题可算出爱好运动的人，即可完成列表，再利用公式求得即可得出结果；（2
15、）典型的超几何分布，利用公式求得概率，列出分布列，求得期望.【详解】（1）男性女性合计爱好10616不爱好6814合计161430由已知数据可求得：，所以没有把握认为爱好运动与性别有关（2）的取值可能为0，1，2，.所以的分布列为：012的数学期望为.【点睛】本题考查了离散随机变量和超几何分布，读懂题意是解题关键，属于基础题.19.已知等比数列的各项均为正数，且，数列的前项和为.（）求；（）求数列的前项和【答案】（）；（）.【解析】【分析】（I）将已知条件转化为，由此求得的值，进而求得的通项公式.（II）利用求得的表达式，由此求得的表达式，利用分组求和法求的值.【详解】（）设等比数列的公比 即
16、， 解得：或 ，又的各项为正，故 （）设，数列前n项和为.由解得. .,.【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查数列通项公式的求法，考查分组求和法，所以中档题.20.已知点在椭圆上，是长轴的两个端点，且（）求椭圆的标准方程；（）已知点，过点的直线与椭圆的另一个交点为，若点总在以为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围【答案】（）；（）【解析】【分析】（）由题意可得，又点在椭圆上，即，即可求出椭圆方程，（）联立方程组，利用根的判别式、向量的数量积，即可直线斜率的取值范围【详解】（）由已知可得，解得，又点在椭圆上，即，解得，所以椭圆的标准方程为；（）设，当直线垂直于轴时，点在以为直径的圆上，
17、不合题意，因此设直线的方程为，代入椭圆方程消去得，则有，即，且判别式，即，又点总在以为直径的圆内，所以必有，即有，将，代入得，解得，所以满足条件的直线的斜率的取值范围是【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程的方程组，合理利用判别式，以及向量的数量积进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等21.已知函数.()讨论函数的单调性；()设，若对任意的，恒成立，求的取值范围.【答案】() (1)若，在上单调递增；(2)若，在上单调递增；
18、在上单调递减； ().【解析】【分析】（I）先求得函数的导数和定义域，然后对分成两类，讨论函数的单调性.（II）将原不等式恒成立转化为“对任意的恒成立”，根据（I）的结论，结合函数的单调性，以及恒成立，求得的取值范围.【详解】() ,(1)若，则，函数在上单调递增；(2)若，由得；由得 函数在上单调递增；在上单调递减. ()由题设，对任意的恒成立即对任意的恒成立即对任意的恒成立 ,由()可知，若，则，不满足恒成立,若，由()可知，函数上单调递增；在上单调递减. ，又恒成立，即, 设，则函数在上单调递增，且，解得的取值范围为 .【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究不
19、等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，综合性很强，属于难题.(二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为：.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，当到直线的距离最大时，求.【答案】（1）；（2）16.【解析】【分析】（1）直接利用极坐标和直角坐标互化的公式求曲线的直角坐标方程；（2）设，当到直线的距离最大时，得到，故.再利用直线的参数方程的弦长公式求.【详解】解：（1）曲线：，即：.曲线
20、的标准方程为：.（2）设，当到直线的距离最大时，故.的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入得：.，.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角方程坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.23.已知函数的最小值为.（1）求；（2）若正实数，满足，求证：【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）先化简函数的解析式，再通过函数的图像得到当时，取得最小值；（2）由题得，再利用均值不等式证明不等式.【详解】解：（1），由于函数y=,是减函数，y=,是减函数，y=，是增函数，故当时，取得最小值.（2）.【点睛】本题主要考查分段函数的图像和性质，考查分段函数的最值和不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
