1、内蒙古通辽市开鲁县第一中学2020-2021学年高一数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题卡上)1. 已知集合，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用集合交集的定义计算可得结果【详解】集合，则故选：A【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生计算能力，属于基础题2. 设则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先计算，再计算【详解】，则，故选：C【点睛】本题考查计算分段函数值，求解时要注意自变量的取值范围3. 把分解因式为（ ）A.
2、B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用平方差公式即可得到结果【详解】原式，故选：B.【点睛】此题考查了因式分解平方差公式法，熟练掌握公式是解本题的关键4. 已知为上的奇函数，当时，则（ ）A. 2B. 1C. 0D. 【答案】D【解析】【分析】在范围内求得，再由奇函数，求得答案.【详解】因为时，所以又因为为上的奇函数，所以故选：D【点睛】本题考查由函数的奇偶性求函数值，属于简单题.5. 与为相等函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据相等函数的概念，逐项判断，即可得出结果.【详解】的定义域为；A选项，定义域为，与定义域不同，故不是相等函数，排除A；B选项，
3、的定义域为，且，所以与是相等函数，B正确；C选项，的定义域为，与定义域不同，故不是相等函数，排除C；D选项，的定义域为，当与对应关系不一致，排除D.故选：B.【点睛】本题主要考查相等函数的判定，属于基础题型.6. 设，则的大小顺序为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据实数指数幂的运算性质，化简得，再结合指数函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得，又由函数是上的单调递增函数，因为，所以，即.故选：B【点睛】本题主要考查了指数幂的运算性质，以及指数函数的图象与性质的应用，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.7. 函数的定义域是（ ）A. B.
4、 C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据分式分母不为零，偶次方根的被开方数为非负数列不等式，解不等式求得函数的定义域.【详解】依题意，所以的定义域为.故选：A【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.8. 函数的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复合函数判断单调性“同增异减”的方法求解即可【详解】解：令，则，因为在上单调递增，在上单调递减，在定义域内为减函数，所以在上单调递减，在上单调递增，故选：C9. 已知函数，且a1）的图象过定点（m，n），则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的图象与性质，求出的图象所
5、过定点，再计算的值【详解】解：函数，且中，令，得，所以，所以的图象过定点，所以，；所以故选：【点睛】本题考查了指数函数与指数运算问题，属于基础题10. 若，则的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令，利用换元法即可求得解析式，注意换元的等价性即可.【详解】f（1）x+，设t，t1，则x（t1）2，f（t）（t1）2+1t2t，t1，函数f（x）的解析式为f（x）x2x（x1）故选：.【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，属简单题.11. 已知函数是定义域R上的减函数，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据分段函数单调性的性
6、质建立不等式关系进行求解.【详解】若f（x）是定义域（-，+）上的减函数，则满足 即 ，整理得.故选B【点睛】本题考查了分段函数单调性的应用，根据分段函数的性质建立不等式是解决本题的关键.12. 函数f(x)是定义在上的奇函数，且f(1)0，若对任意x1，x2(，0)，且x1x2，都有成立，则不等式f(x)x2时，所以在(，0)上单调递减，所以F(x)在(0，)上单调递增，等价于或，解得或，所以不等式f(x)0的解集为(，1)(0，1).故选：C【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性解不等式，构造函数是解题的关键，属于中档题二、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分把正确答案填在答题卡中的
7、横线上)13. 计算得_【答案】【解析】【分析】利用指数的运算性质即可求解.【详解】.故答案：【点睛】本题考查了指数的运算性质，考查了基本运算求解能力，属于基础题.14. 函数的值域为_【答案】【解析】【分析】利用换元法将函数换元构造出新函数，由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最值即可得到值域.【详解】设，则，所以原函数可化为：，由二次函数性质，当时，函数取最大值2，由性质可知函数无最小值，所以值域为：.故答案为：.【点睛】本题考查换元法求函数值域，当函数解析式中含有根式时，一般考虑换元法，用换元法时要注意一定写出新变量数的取值范围.15. 已知函数，若，则_【答案】-5【解析】令 ,则函
8、数奇函数,可知,那么,又,可得.故本题应填.16. 若的定义域为，且是奇函数，当时，则当时，函数的递减区间是_.【答案】【解析】【分析】根据是奇函数判断出函数关于对称，根据题目所给条件画出函数图像，由此判断时，函数的递减区间.【详解】由于是奇函数，图像关于对称，故图像关于对称.当时，对称轴为，关于对称后的对称轴为.根据对称性，画出函数图像如下图所示，由图可知，当时，函数的减区间是.故填：.【点睛】本小题主要考查函数奇偶性，考查函数图像的对称性，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知集合，全集（1）求集合
9、； （2）求集合.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据分式不等式的解法化简集合，根据一元二次不等式的解法化简集合，利用集合并集的定义可得集合；（2）根据化简后的集合可得，在根据交集的定义可得集合.试题解析： （1）.（2）或， .18. 已知函数，为实数.（1）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围；（2）若对任意，都有成立，求实数的值；（3）若，求函数的最小值.【答案】(1) (2)-4.(3) 见解析.【解析】【分析】（1）函数在区间上是单调函数，故分单调增与单调减两种情况进行讨论求解的取值范围；（2）对任意，都有成立，可以得到二次函数的对称轴，从而解得结果；（3）要求
10、函数的最小值，首先要求出在上单调性，根据题意分情况讨论求解函数的单调性及最值.【详解】解：（1）函数在区间上是单调函数，函数的对称轴为，所以对称轴或 ，所以或.（2）因为函数对任意，都有成立，所以的图像关于直线对称，所以，得 （3）若即时，函数在单调递增，故. 若即时，函数在单调递减，故. 若即时，函数在单调递减，函数在单调递增，故.【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，根据对称轴与定义域的关系进行分情况讨论是解题的关键，本题还考查了分类讨论、数形结合的思想方法.19. 已知函数，且（1）求，的值；（2）判断并证明函数在区间上的单调性.【答案】（1），；（2）单调增，证明见解析.【解析】【分
11、析】（1）根据已知条件即可求参数值；（2）利用定义法证明在上的单调性；【详解】（1）因为，又，由，； （2）由（1）得，函数在单调递增证明：任取，即，故函数在上单调增【点睛】本题考查了函数，根据已知函数值及不等关系求参数值，利用定义法证明函数的单调性，属于基础题.20. 已知关于x的方程.（1）若，方程两根分别为，求和的值；（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由，借助韦达定理求解.（2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.【详解】（1）当时，即：因此：（2）【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，
12、考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.21. 已知为定义在上的奇函数，当时，函数解析式（1）写出在上的解析式；（2）求在上的最大值【答案】（1）；（2）0.【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数即可求出解析式；（2）令，转换为二次函数求最值即可.【详解】（1）为奇函数，且在处有意义， 即 设，则，；又，；所以（2）当时，设，则，当时，取最大值， 所以最大值22. 已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值并证明的单调性（2）当时，恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由奇函数性质可得，可求出的值，再由可求出，利用单调性的定义证明即可（2）不等式等价于再由函数为减函数可得对一切有：恒成立，然后构造函数，求其最小值即可【详解】解：（1） 在定义域为是奇函数，所以又由 检验知，当时，符合题意 任取设则 因为函数在上是增函数，且所以又，即函数在上是减函数.（2）因是奇函数，从而不等式等价于 因在上是减函数，由上式推得即对一切有：恒成立， 设 令则有即的取值范围为【点睛】关键点点睛：此题考查奇函数的性质的应用，考查函数单调性的证明，考查不等式恒成立问题，解题的关键是将不等式等价转化为再利用单调性转化为对一切有：恒成立，然后构造函数，求函数的最小值即可
