1、2020年天津市河北区高考数学一模试卷一、选择题1已知集合U1，2，3，4，5，6，A1，2，3，4，B2，4，6，则集合U（AB）（）A5B1，5C2，4D1，2，3，4，62已知aR，则“a2”是“a24”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知直线1：axy2与圆C：x2+y24相交于M，N两点，若|MN|2，则直线的斜率为（）ABCD4已知双曲线1（a0，b0）的焦距为4，点（2，3）为双曲线上一点，则双曲线的渐进线方程为（）AyxByxCyxDyx5已知函数f（x）的图象如图所示，则该曲线所对应的函数可能是（）Af（x）Bf（x）2|x|2Cf（x
2、）2|x|x2Df（x）e|x|x|6已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在0，+）单调递增，设af（），bf（log37），cf（0.83），则a，b，c大小关系为（）AbacBcbaCcabDacb7在等腰梯形ABCD中，AB2DC2AD2，DAB60，E为AB中点，将ADE与BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合点为F，则三棱锥FDCE的外接球体积为（）ABCD8将函数f（x）cos（2sin2cos），（0）的图象向左平移个单位，得到函数yg（x）的图象，若yg（x）在0，上为增函数，则的最大值为（）A1B2C3D49已知函数f（x），g（x）f（x）ax+a，若g（
3、x）恰有1个零点，则a的取值范围是（）A1，01，+）B（，10，1C1，1D（，11，+）二.填空题10已知复数z（i为虚数单位），则|z| 11在（2x）5的展开式中，x2的系数为 12从某班的4名男生，2名女生中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选3人中女生人数为X，则P（X2） 数学期望E（X） 13已知a，b为正实数，且a+b2，则的最小值为 14已知ABC是边长为2的等边三角形，且AD与BE相交于点O，则 15某同学在研究函数f（x）（xR）时，分别给出下面几个结论：f（x）+f（x）0在xR时恒成立；函数f（x）的值域为（1，1）；若x1x2，则一定有f（x1）f（x2）；
4、函数g（x）f（x）x在R上有三个零点其中正确结论的序号有 三.解答题16已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2ca+2bcosA（）求角B；（）若cosA，求sin（2A+B）的值；（）若c7，bsinA，求b的值17如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，ABAC，且PAAB3，AC2，E是棱PD的中点（）求证：PB平面AEC；（）求直线PC与平面AEC所成角的正弦值；（）在线段PB上（不含端点）是否存在一点M，使得二面角MACE的余弦值为？若存在，确定M的位置；若不存在，说明理由18已知等比数列an的前n项和为S，公比q1，且a2+1为a
5、1，a3的等差中项，S314（）求数列an的通项公式（）记bnanlog2an，求数列bn的前n项和Tn19已知椭圆C：1（ab0）的离心率e，直线x+y0与圆x2+y2b2相切（1）求椭圆的方程；（2）过点N（4，0）的直线l与椭圆交于不同两点A、B，线段AB的中垂线为l，若l在y轴上的截距为，求直线l的方程20已知函数f（x）lnx+ax2+（a+2）x+1（aR）（）讨论函数f（x）的单调性；（）设aZ，若对任意的x0，f（x）0恒成立，求整数a的最大值；（）求证：当x0时，exxlnx+2x3x2+x10参考答案一、选择题1已知集合U1，2，3，4，5，6，A1，2，3，4，B2，4，
6、6，则集合U（AB）（）A5B1，5C2，4D1，2，3，4，6【分析】根据并集与补集的定义，计算即可解：集合A1，2，3，4，B2，4，6，所以AB1，2，3，4，6；又集合U1，2，3，4，5，6，所以集合U（AB）5故选：A【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题2已知aR，则“a2”是“a24”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】求解a24，得出a2或a2，根据充分必要的定义判断即可得出答案解：a24，a2或a2，根据充分必要的定义判断：“a2”是“a24”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了充分必要条件的定义，属于容易题，难度不
7、大，紧扣定义即可3已知直线1：axy2与圆C：x2+y24相交于M，N两点，若|MN|2，则直线的斜率为（）ABCD【分析】利用弦长公式表示出|MN|，求出a的值即可解：易得直线斜率存在且不为0，则圆心到直线l的距离d，则弦长|MN|222，解得a1，则斜率k，故选：B【点评】本题考查直线斜率的求法，考查弦长公式，属于中档题4已知双曲线1（a0，b0）的焦距为4，点（2，3）为双曲线上一点，则双曲线的渐进线方程为（）AyxByxCyxDyx【分析】求出双曲线的焦点，根据定义求出a，然后求出b可得双曲线C的方程与渐近线方程解：由题意可知：双曲线的焦点为（2，0）和（2，0）根据定义有2a|a1由
8、以上可知：a21，c24，b23所求双曲线C的渐近线方程为：y故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线的定义的应用，考查计算能力5已知函数f（x）的图象如图所示，则该曲线所对应的函数可能是（）Af（x）Bf（x）2|x|2Cf（x）2|x|x2Df（x）e|x|x|【分析】观察函数图象，由函数为偶函数，f（0）0，函数有两个正零点，分别可排除选项A，B，D，由此得出正确选项C解：由函数图象可知，f（x）为偶函数，故可排除选项A；f（0）0，故可排除选项B；又当x0时，函数图象与x轴有两个交点，而方程exx无解，故可排除D故选：C【点评】本题考查由函数图象确定符合的函数解析式，考查读图
9、识图能力，属于基础题6已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在0，+）单调递增，设af（），bf（log37），cf（0.83），则a，b，c大小关系为（）AbacBcbaCcabDacb【分析】根据题意，由偶函数的性质可得cf（0.83）f（0.83），又由指数、对数的性质可得0.831log3log37，结合函数的单调性分析可得答案解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，则cf（0.83）f（0.83），又由f（x）在0，+）单调递增，且0.831log3log37，则有cab，故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数值的大小比较，属于基础题7在等
10、腰梯形ABCD中，AB2DC2AD2，DAB60，E为AB中点，将ADE与BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合点为F，则三棱锥FDCE的外接球体积为（）ABCD【分析】由题意可得三棱锥FDCE是正四面体，且每条边长为1，把正四面体放入正方体中，利用正方体的外接球即可求出三棱锥FDCE的外接球半径，从而得到三棱锥FDCE的外接球体积解：由题意可得三棱锥FDCE是正四面体，且每条边长为1，则正四面体所在的正方体的棱长为，所以外接球的半径为，所以外接球体积为：，故选：D【点评】本题主要考查了正四面体的外接球，是中档题8将函数f（x）cos（2sin2cos），（0）的图象向左平移个单位，得到
11、函数yg（x）的图象，若yg（x）在0，上为增函数，则的最大值为（）A1B2C3D4【分析】根据函数yAsin（x+）的图象变换规律得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论解：将函数f（x）cos（2sin2cos）sinxcosx2sin（x），（0）的图象向左平移个单位，得到函数yg（x）2sinx的图象，若yg（x）在0，上为增函数，则，2，的最大值为2，故选：B【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题9已知函数f（x），g（x）f（x）ax+a，若g（x）恰有1个零点，则a的取值范围是（）A1，01，+）B（，10，1C1，1
12、D（，11，+）【分析】根据条件先判断x1是函数g（x）的一个零点，等价于当x1时，函数f（x）a（x1），没有其他根，利用参数分离法，利用数形结合进行求解即可解：由g（x）f（x）ax+a0得f（x）a（x1），f（1）13+20，g（1）f（1）a+a0，即x1是g（x）的一个零点，若g（x）恰有1个零点，则当x1时，函数f（x）a（x1），没有其他根，即a，没有根，当x1时，设h（x）x2，此时函数h（x）为增函数，则h（1）1，即此时h（x）1，当x1时，h（x），h（x）0，此时h（x）为减函数，此时h（x）0，且h（1）1，即0h（x）1，作出函数h（x）的图象如图：则要使a，没有
13、根，则a1或1a0，即实数a的取值范围是1，01，+），故选：A【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，结合数形结合是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度二.填空题10已知复数z（i为虚数单位），则|z|1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解解：z，|z|1故答案为：1【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题11在（2x）5的展开式中，x2的系数为80【分析】利用通项公式即可得出解：（2x）5的展开式中，通项公式Tr+1（2x）5r（1）r25r，令5r2，解得r2x2的系数2380故答案为：80【点评】本题考查了二项式定理
14、的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12从某班的4名男生，2名女生中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选3人中女生人数为X，则P（X2）数学期望E（X）1【分析】随机变量随机X的所有可能的取值为0，1，2分别求出其对应的概率，列出分布列，求期望即可解：所选3人中女生人数为X，X2，就是所选3人中女生人数为2，则P（X2）；随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，P（X0），P（X1）；P（X2）；所有随机变量的分布列为：X012P 所以的期望E（X）0121故答案为：；1【点评】本题考查了离散型随机变量的期望，属于基础题13已知a，b为正实数，且a+b2，则的最小值为【分析】
15、由a，b为正实数，且a+b2，变形可得a+b11f（a），0a2利用导数研究其单调性极值与最值即可得出解：a，b为正实数，且a+b2，aa+b11f（a），0a2f（a），令f（a）0，解得，此时函数f（a）单调递增；令f（a）0，解得，此时函数f（a）单调递减当且仅当a63时函数f（a）取得极小值即最小值，故答案为：【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14已知ABC是边长为2的等边三角形，且AD与BE相交于点O，则【分析】作DFBE交AC于F； 作GEDC交AD于G；根据已知条件得到以及；再代入数量积即可求解结论解：ABC是边长为2的等边三角
16、形，且AD与BE相交于点O，作DFBE交AC于F； 作GEDC交AD于G；DFBE，D为中点，故1；又因为，1；（） （）（）（）（）（）（222222）故答案为：【点评】本题考查向量的数量积的应用以及向量的三角形法则，考查向量的表示以及计算，考查计算能力，属于中档题15某同学在研究函数f（x）（xR）时，分别给出下面几个结论：f（x）+f（x）0在xR时恒成立；函数f（x）的值域为（1，1）；若x1x2，则一定有f（x1）f（x2）；函数g（x）f（x）x在R上有三个零点其中正确结论的序号有【分析】由奇偶性的定义来判断，由分类讨论结合反比例函数的单调性求解；由结合对称区间上的单调性相同说明正
17、确；由数形结合来说明不正确解：正确当x0时，f（x）（0，1）由知当x0时，f（x）（1，0）x0时，f（x）0f（x）（1，1）正确；则当x0时，f（x）反比例函数的单调性可知，f（x）在（0，+）上是增函数再由知f（x）在（，0）上也是增函数，正确由知f（x）的图象与yx只有（0，0）这一个交点不正确故答案为：【点评】本题考查函数的定义域，单调性，奇偶性，值域，考查全面，方法灵活，这四个问题在研究时往往是同时考虑的三.解答题16已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2ca+2bcosA（）求角B；（）若cosA，求sin（2A+B）的值；（）若c7，bsinA，求b的值【分
18、析】（）利用正弦定理与三角形内角和定理，即可求得cosB与B的值；（）根据三角恒等变换求值即可；（）利用正弦定理和余弦定理，即可求得b的值解：（）ABC中，2ca+2bcosA，由正弦定理得2sinCsinA+2sinBcosA；又C（A+B），所以2（sinAcosB+cosAsinB）sinA+2sinBcosA，所以2sinAcosBsinA；又A（0，），所以sinA0，所以cosB；又B（0，），所以B；（）若cosA，A（0，），所以sinA，所以sin2A2sinAcosA2，cos2A2cos2A121，所以sin（2A+B）sin2AcosB+cos2AsinB ；（）若c7
19、，bsinA，由，得asinBbsinA，所以a2；所以b2c2+a22cacosB49+1227219，解得b【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题17如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，ABAC，且PAAB3，AC2，E是棱PD的中点（）求证：PB平面AEC；（）求直线PC与平面AEC所成角的正弦值；（）在线段PB上（不含端点）是否存在一点M，使得二面角MACE的余弦值为？若存在，确定M的位置；若不存在，说明理由【分析】（）连接BD交AC于点O，并连接EO，推导出EOPB，由此能证明PB面AEC（）以A为原点，
20、AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设平面AEC的法向量（x，y，z），由向量垂直的数量积的坐标表示可得法向量，再由向量的夹角公式可得所求值；（）假设在线段PB上（不含端点）存在一点M，使得二面角MACE的余弦值为，利用向量法能求出在线段PB上（不含端点）存在一点M，设平面ACM的法向量（p，q，t），由向量数量积的夹角公式计算即可判断存在性解：（）证明：连接BD交AC于点O，并连接EO，四边形ABCD为平行四边形，O为BD的中点，又E为PD的中点，在PDB中EO为中位线，EOPBPB面AEC，EO面AEC，PB面AEC（）证明：在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面
21、ABCD为平行四边形，ABAC，且PAAB3，AC2，E是棱PD的中点以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，3），C（2，0，0），A（0，0，0），D（2，3，0），E（1，），（1，），（2，0，0），（2，0，3），设平面AEC的法向量（x，y，z），则，取y1，得（0，1，1），设直线PC与平面AEC所成角为，则直线PC与平面AEC所成角的正弦值为：sin（）假设在线段PB上（不含端点）存在一点M，使得二面角MACE的余弦值为，设M（a，b，c），B（0，3，0），则（a，b，c3）（0，3，3），解得a0，b3，c33，M（0，3，33），（
22、2，0，0），（0，3，33），设平面ACM的法向量（p，q，t），则，取q1，得（0，1，），二面角MACE的余弦值为|cos|，解得或在线段PB上（不含端点）存在一点M，使得二面角MACE的余弦值为，且或【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值、满足二面角的余弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题18已知等比数列an的前n项和为S，公比q1，且a2+1为a1，a3的等差中项，S314（）求数列an的通项公式（）记bnanlog2an，求数列bn的前n项和Tn【分析】（I）由a2+1是a1，a3的等差中项，可得2（
23、a2+1）a1+a3，又a1（q2+1）2a1q+2，14，联立解得，即可得出（II）bnanlog2ann2n利用错位相减法即可得出解：（I）a2+1是a1，a3的等差中项，2（a2+1）a1+a3，a1（q2+1）2a1q+2，14，化为2q25q+20，q1，解得q2，a12an2n（II）bnanlog2ann2n数列bn的前n项和Tn2+222+323+n2n2Tn22+223+（n1）2n+n2n+1Tn2+22+23+2nn2n+1n2n+1解得：Tn（n1）2n+1+2【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19已
24、知椭圆C：1（ab0）的离心率e，直线x+y0与圆x2+y2b2相切（1）求椭圆的方程；（2）过点N（4，0）的直线l与椭圆交于不同两点A、B，线段AB的中垂线为l，若l在y轴上的截距为，求直线l的方程【分析】（1）先由直线与圆相切，得出b的值，再结合离心率，求出a的值，从而可得出椭圆的方程；（2）设直线l的斜率为k，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程与椭圆C的方程联立，计算0，列出韦达定理，可求出线段AB的中点Q的坐标，并写出线段AB中垂线l的方程，然后求出直线l与y轴的交点坐标，列关于k的方程，求出k的值，即可得出直线l的方程解：（1）由题意得，即，由与圆x2+y2b2
25、相切得，a2因此，椭圆的方程为；（2）由题意知，直线l的斜率k存在且不为零，设直线l的方程为yk（x4），k0，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），设线段AB的中点为Q（x0，y0），联立，消去y并整理得（4k2+3）x232k2x+64k2120由韦达定理得，又（32k2）24（4k2+3）（64k212）0，解得，且k0，得由直线l的方程，即，化简得令x0得，解得或k3由于，且k0，所以，因此，直线l的方程为，即x4y40【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆方程的求解，以及韦达定理设而不求法在椭圆综合中的应用，考查计算能力，属于中等题20已知函数f（x）lnx+ax2+（a+
26、2）x+1（a一、选择题）（）讨论函数f（x）的单调性；（）设aZ，若对任意的x0，f（x）0恒成立，求整数a的最大值；（）求证：当x0时，exxlnx+2x3x2+x10【分析】（）求出原函数的导函数f（x）（x0），得若a0，则f（x）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增；若a0，求出导函数的零点，对函数定义域分段，由导函数的符号可得原函数的单调性；（）若a0，则f（1）2a+30，不满足f（x）0恒成立若a0，由（）求得函数的最大值，又f（x）0恒成立，可得ln（）0，设g（x）lnx+x，则g（）0由函数零点判定定理可得存在唯一的x0（），使得g（x0）0得到a（2，1），结合aZ，
27、可知a的最大值为2；（）由（）可知，a2时，f（x）lnx2x2+10，则xlnx2x3+x，得到exxlnx+2x3x2+x1ex2x3+x+2x3x2+x1exx2+2x1记u（x）exx2+2x1（x0），利用两次求导证明exxlnx+2x3x2+x10【解答】（）解：f（x）lnx+ax2+（a+2）x+1，f（x）2ax+a+2（x0），若a0，则f（x）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增；若a0，由f（x）0，得0x；由f（x）0，得x函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减；（）解：若a0，则f（1）2a+30，不满足f（x）0恒成立若a0，由（）可知，函数f（
28、x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减，又f（x）0恒成立，0，设g（x）lnx+x，则g（）0函数g（x）在（0，+）上单调递增，且g（1）10，g（）0，存在唯一的x0（），使得g（x0）0当x（0，x0）时，g（x）0，当x（x0，+）时，g（x）00x0，解得a（2，1），又aZ，a2则综上a的最大值为2；（）由（）可知，a2时，f（x）lnx2x2+10，lnx2x21，则xlnx2x3+x，exxlnx+2x3x2+x1ex2x3+x+2x3x2+x1exx2+2x1记u（x）exx2+2x1（x0），则u（x）ex2x+2记h（x）ex2x+2，则h（x）ex2，由h（x）0，得xln2当x（0，ln2）时，h（x）0，当x（ln2，+）时，h（x）0，函数h（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+）上单调递增，42ln20h（x）0，即u（x）0，故函数u（x）在（0，+）上单调递增u（x）u（0）e010，即exx2+2x10exxlnx+2x3x2+x10【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，属难题
