1、2020-2021学年北京市某校高三（上）诊断性数学试卷（理科）（9月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1. 已知全集U-1,0,1,2,3,4，集合Ax|x1,xN，B1,3，则U(AB)（ ）A.4B.2,4C.-1,2,4D.-1,0,2,42. 设z（i为虚数单位），则|z|等于（ ）A.B.C.2D.3. 已知a=log248,2b=23，则a+b（ ）A.4B.5C.6D.74. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，已知m，n，则“m/，n/”是“/”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.
2、充要条件D.既不充分也不必要条件5. 已知cos，则cos的值为（ ）A.B.C.-D.-6. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）（单位：cm3）A.2B.4C.6D.127. 函数f(x)x+sin(x)的图象是（ ）A.B.C.D.8. 已知1，2是单位向量，其夹角为，若|m1+n2|(m,nR)，则m+2n的最大值为（ ）A.B.C.2D.29. 如图，已知ABC的顶点C平面，点A，B在平面的同一侧，且|AC|=23，|BC|=2若AC，BC与平面所成的角分别为512，4，则ABC面积的取值范图是_.10. 已知点F为双曲线C：1(a,b0)的右焦点，直线y
3、kx，k与双曲线C交于A，B两点，若AFBF，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.，B.C.2，D.2，11. 已知函数f(x)，若有四个不同的实数x1，x2，x3，x4满足方程f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)，且x1x2x3x4，则以下结论不一定正确的是（ ）A.x1+x4x2+x3B.x1x3x2x4C.(x1+9)(x2+9)(x3-1)(x4-1)D.(x1+10)x4(x2+10)x312. 已知数列an满足：a10，an+1ln（+1)-an(nN*)，前n项和为Sn，则下列选项错误的是（ ）（参考数据：ln20.693，ln31.099）A.a2n-1是单调递增数列，
4、a2n是单调递减数列B.an+an+1ln3C.S20201且nN*) （1）求数列an的通项公式；（2）设数列an的前n项和为Sn，求满足2Sn-3n2+5n0的所有正整数n的值20. 设椭圆C：1(ab0)的离心率e，且过点P(1，）设A，B是椭圆C上的两个不同的动点，且直线PA，PB的倾斜角互补 （1）求证：直线AB的斜率为定值；（2）求PAB的面积S的最大值21. 已知函数f(x)aex+b(a,bR)，且f(x)在点（1,f(1)）处的切线方程为yx()求f(x)的解析式；()证明：f(x)lnx+(x0)(二)选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所
5、做的第一题计分。作答时请写清题号选修4-4：极坐标与参数方程)22. 在极坐标系中，极点为O曲线C:13，过点A(5,0)作两条互相垂直的直线与C分别交于点P，Q和M，N （1）当时，求直线PQ的极坐标方程；（2）求的最大值和最小值选修4-5：不等式选讲)23. （1）已知a，bR+，且a+2b3，则的最小值； 23. （2）已知x，yR+，且，求的最小值参考答案与试题解析2020-2021学年北京市某校高三（上）诊断性数学试卷（理科）（9月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. C2. A3. B4. B5. B6.
6、7. D8. C9. 3,310. B11. B12. C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13. (-2,-1)(1,7)14. (2，2）15. 12016. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17. 由SabsinC，由余弦定理知，c2a2+b5-2abcosCa2+b5-44，得a4+b28，联立，解得ab6由正弦定理知， asinAsinB， a+b(sinA+sinB)-A)cosA+（sinA+sin(A+）， ABC是锐角三
7、角形， ，解得A（，）， A+（，）（， a+b(2，4，故a+b的取值范围为(2，418. 证明：取PC的中点M，连接MF，NE， E，M分别为PD，PC的中点， EM/DC，EM=12DC， ABCD为矩形， EM/AF，EMAF， 四边形AFEM是平行四边形， AE/FM，AE平面PFC，又 FM平面PFC， AE/平面PFC取AD的中点O， PAPDAD2， POAD，PO=3， 平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， PO平面ABCD，以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD中过O作AD的垂线为y轴，OP为z轴，建立如图坐标系，设AB2a，则P(0,0,3)，D(-1,0
8、,0)，C(-1,2a,0)，F(1,a,0)， PD=(-1,0,-3)，DC=(0,2a,0)，设平面PCD的法向量n=(x,y,z)，则nPD=-x-3z=0nDC=2ax=0，取x=3，得平面PCD的法向量n=(3,0,-1)，FC=(-2,a,0)，设CF与平面PCD所成角为， CF与平面PCD所成角的余弦值等于64， sin=|CFn|CF|n|=234+a24=1-(64)2，解得a=255，（舍负）故AB的长为45519. 因为an(n1且nN*),所以-(-)n-7,则+(-)+.+(-)-(-)6+.+(-)n-7-1+(-)n,上式对n1也成立，故ann+n(-)n(nN
9、*)；2Sn-7n2+5n7等价为Sn-0,数列2n-4的前n项和为,令cnan-4n+4n(-)n-2n+4,其前n项和为nSn-,则有c1,c2,c3-,故C20,C26,C30,当n3时，cnn(-)n-2n+4n(-)n-1-n+46,则有n0， t2(x0)x-4lnx+，当x1时，3；设g(x)ex-1lnx+，当0x1时，g(x)ex-4lnx+-ex-1lnx+，由0x3，可得lnx0，x-21，可得xex-153，则g(x)3时，由yex-x-1的导数为yex-1，可得yex-x-6在x1递增，即有exx+1，则ex-6x，lnx0x-1lnx+xlnx+，设h(x)xlnx
10、+，h(x)3+lnx-，且h(1)-20，即有1+lnm，且h（-ln-，可得7m，可得x1，原不等式成立综上可得f(x)lnx+(x0)(二)选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号选修4-4：极坐标与参数方程22. ，当且仅当|PQ|MN|时取等号，故|MN|PQ|， 直线PQ的倾斜角为45或135，即直线PQ的极坐标方程为cos+sin8或cos-sin5； 24|MN|26，24|PQ|26， ，又函数f(x)x+在(0，在， f(x)在上单调递增，将x与x，可得f（，f（） 的最大值为选修4-5：不等式选讲23. 因为a，bR+，且3a+2ba+b+b，当且仅当a+b且a+2b3即ab1时取等号，解得，5ab21，故1，由基本不等式得，则7，当且仅当ab1时，取得最小值3；x，yR+，且，（）2+（）6，+（）2（）2+（）74，当且仅当即，此时y7x时取等号，又，所以x，y1时取等号，
