1、2021年普通高等学校招生全国统一考试新高考卷数学仿真模拟卷(六)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知i是虚数单位，复数z，则z的共轭复数的虚部为()Ai B1 Ci D1Bz2i，则z的共轭复数2i的虚部为1.2已知集合AxR|log2x2，集合B，则AB()A(0，3) B(1，3) C(0，4) D(，3)A集合AxR|log2x2x|0x4，集合BxR|x1|2x|1x3，ABx|0x3(0，3)3已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额(单位：元)服从正态分布N(2 000，
2、1002)，则该市某居民手机支付的消费额在(1 900，2 200)内的概率为()附：随机变量服从正态分布N(，2)，则P(u)0.682 6，P(22)0.954 4，P(33)0.997 4.A0.975 9B0.84C0.818 5D0.477 2C服从正态分布N(2 000，1002)，2 000，100，则P(1 9002 200)P(bcBbacCbcaDcabAa20.21，0bsin 21，clog20.2bc.5已知函数f (x) (e为自然对数的底数)，若f (x)的零点为，极值点为，则()A1 B0 C1 D2Cf (x) ，当x0时，f (x)0，即3x90，解得x2；
3、当x0时，f (x)xex0恒成立，f (x)的零点为2.又当x0时，f (x)3x9为增函数，故在0，)上无极值点；当x0时，f (x)xex，f (x)(1x)ex，当x1时，f (x)1时，f (x)0，当x1时，f (x)取到极小值，即f (x)的极值点1，211.6已知四棱锥PABCD的所有棱长均相等，点E，F分别在线段PA，PC上，且EF底面ABCD，则异面直线EF与PB所成角的大小为()A30 B45 C60 D90D连接AC，BD，设ACBDO，则EF平面PAC，平面PAC平面ABCDAC，由EF底面ABCD，可得EFAC，由四边形ABCD为菱形，可得ACBD，由O为AC的中点
4、，PAPC，可得POAC，又BDOPO，BD平面PBD，PO平面PBD，可得AC平面PBD，又PB平面PBD，则ACPB，又EFAC，可得EFPB，即异面直线EF与PB所成角的大小为90.故选D7在同一直角坐标系下，已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，双曲线C的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数ysin的图象向右平移个单位后得到曲线D，点A，B分别在双曲线C的下支和曲线D上，则线段AB长度的最小值为()A2 B C D1D因为离心率为，所以该双曲线是等轴双曲线，可设C方程为1(a0)，所以ca，故焦点为(0，a)，渐近线yx，取(0，a)到xy0的距离为2，得2，解得ab2.所以双曲线
5、方程为1.函数ysin的图象向右平移个单位后得到曲线D的方程为：ysinsincos 2x.同一坐标系下作出曲线C、D的图象：由图可知，当B点为ycos 2x与y轴的交点(0，1)，A点为双曲线的下顶点(0，2)时，|AB|最小为1.故选D8某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答已知某位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率()A B C DA该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率：PC.二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项
6、中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9已知向量ab(1，1)，ab(3，1)，c(1，1)，设a，b的夹角为，则下列正确的是()A |a|b|BacCbcD135BD根据题意，ab(1，1)，ab(3，1)，则a(1，1)，b(2，0)，依次分析选项：对于A，|a|，|b|2，则|a|b|不成立，A错误；对于B，a(1，1)，c(1，1)，则ac0，即ac，B正确；对于C，b(2，0)，c(1，1)，bc不成立，C错误；对于D，a(1，1)，b(2，0)，则ab2，|a|，|b|2，则cos ，则135，D正确；故选BD10已知函数f (x)sin2x2s
7、in xcos xcos2x，xR，则下列正确的是()A2f (x)2Bf (x)在区间(0，)上只有1个零点Cf (x)的最小正周期为Dx为f (x)图象的一条对称轴ACD已知函数f (x)sin2x2sin xcos xcos2xsin 2xcos 2x2sin，xR，则2f (x)2，A正确，当2xk，kZ，即x，kZ，f (x) 在区间(0，)上只有2个零点，B错误；f (x) 的最小正周期为，C正确；当x时，函数f (x)2sin，xR，f 2sin2，所以x为f (x)图象的一条对称轴，D正确故选ACD11已知数列的前n项和为S，a11，Sn1Sn2an1，数列的前n项和为Tn，n
8、N*，则下列选项正确的为()A数列是等差数列B数列是等比数列C数列的通项公式为an2n1DTn1BCD由Sn1Sn2an1得an1Sn1Sn2an1，可化为an112(an1)，由S1a11，可得数列an1是首项为2，公比为2的等比数列，则an12n，即an2n1，又，可得Tn111，故A错误，B，C，D正确故选BCD12已知四棱台ABCDA1B1C1D1上下底面均为正方形，其中AB2，A1B1，AA1BB1CC12，则下述正确的是()A该四棱台的高为BAA1CC1C该四棱台的表面积为26D该四棱台外接球的表面积为16AD由棱台性质，画出切割前的四棱锥，由于AB2，A1B1，可知SA1B1 与
9、SAB相似比为12，则SA2AA14，AO2，则SO2，则OO1，该四棱台的高为，A对；因为SASCAC4，则AA1与CC1夹角为60，不垂直，B错；该四棱台的表面积为SS上底S下底S侧284106，C错；由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在OO1上，在平面B1BOO1中，由于OO1，B1O11，则OB12OB，即点O到点B与点B1的距离相等，则rOB2，该四棱台外接球的表面积为16，D对，故选AD三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13若x(0，)，4xx1a恒成立，则实数a的取值范围为_因为x(0，)，4xx14x24，当且仅当4x，即x时取等号，又x(0，)，4xx1a恒
10、成立，a4.14已知函数f (x)的定义域为R，f 为奇函数，f 1，则f _.1根据题意，函数f (x1)为奇函数，则函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，则有f (x)f (2x)，又由f (0)1，得f f 1.15已知aN，二项式展开式中含有x2项的系数不大于240，记a的取值集合为A，则由集合A中元素构成的无重复数字的三位数共有_个18二项式展开式的通项公式为Tr1C(a1)rx62r，令62r2，求得r2，可得展开式中含有x2项的系数为C(a1)215(a1)2.再根据含有x2项的系数不大于240，可得15(a1)2240，求得41a41.再根据aN，可得a0，1，2，3，即A
11、0，1，2，3 ，则由集合A中元素构成的无重复数字的三位数共AA33218.162020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q(0，3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切已知直线l过点O.(1)若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为_；(2)若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d_.(本题第一空2分，第二空3分)(1)3(2)(1)根据条件得到两圆的圆心坐标分别为(4，0)，(4，0)，设公切线方程为ykxm(k0)且k存在，则 ，解得k，m0，故公切线方程为yx，则Q到直线l
12、的距离d，故l截圆Q的弦长23；(2)设方程为ykxm(k0)且k存在，则三个圆心到该直线的距离分别为：d1，d2，d3，则d24(4d)4(4d)4(9d)，即有，49，解得m0，代入得k2，则d24，即d.四、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设等差数列的前n项和为Sn，等比数列的前n项和为Tn.已知a1b12，S26，S312，T2，nN*.(1)求，的通项公式；(2)是否存在正整数k，使得Sk？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由解(1)设数列的公差为d，在数列中，S3S2a36，又因为S2a1a2a32da3d123d6
13、，所以d2，从而a1a32d2，所以an2(n1)22n，由a1b12得b1T11，因为b2T2T11，设数列的公比为q，所以q，所以bn1.(2)由(1)知，Skk(k1)，所以Skk(k1)6k，整理得k25k0，解得0k，即3，存在正整数k4，使得Sk6k且Tk.18(本小题满分12分)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2(b2c2a2)(1tan A)(1)求角C；(2)若c2，D为BC中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度条件：ABC的面积S4且BA；条件：cos B.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解(1)在ABC中，由余弦定理知b2c2a2
14、2bccos A，所以2b22bccos A(1tan A)，所以bc(cos Asin A)，又由正弦定理知，得sin Bsin C(cos Asin A)，所以sin(AC)sin C(cos Asin A)，即sin Acos Ccos Asin Csin Ccos Asin Csin A，所以sin Acos Csin Csin A，因为sin A0，所以cos Csin C，所以tan C1，又因为0C0，所以f (t)在区间上单调递增；当t时，f (t)b0)的左，右焦点分别为F1，F2，F2点又恰为抛物线D：y24x的焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C仅有两个公共点(1)求椭圆C
15、的标准方程；(2)若直线l与D相交于A，B两点，记点A，B到直线x1的距离分别为d1，d2，|AB|d1d2.直线l与C相交于E，F两点，记OAB，OEF的面积分别为S1，S2.()证明：EFF1的周长为定值；()求的最大值解(1)因为F2为抛物线D：y24x的焦点，故F2(1，0)，所以c1，又因为以F1F2为直径的圆与椭圆C仅有两个公共点知bc，所以a，b1，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)()证明：由题知，因为x1为抛物线D的准线，由抛物线的定义知|AB|d1d2，又因为|AB|，等号当且仅当A，B，F2三点共线时成立，所以直线l过定点F2，根据椭圆定义得：|EF|4a4，即EFF1
16、的周长为定值()若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x1，因为|AB|4，|EF|，所以；若直线l的斜率存在，则可设直线l：yk(x1)(k0)，设A，B，由 得k2x2xk20，所以x1x2，|AB|x1x22，设E，F，由 得x24k2x2k220，则x3x4，x3x4，所以|EF|，则.综上知的最大值等于.22(本小题满分12分)已知函数f (x)axln xx22的图象在点(1，1)处的切线方程为y1.(1)当x时，证明：0f (x)2；(2)设函数g(x)xf (x)，当x(0，1)时，证明：0g(x)1；(3)若数列满足：an1f (an)，0a11，nN*.证明：n ai0，h
17、(x)在区间(0，1)上单调递增；当x(1，2)时，h(x)f (2)4ln 22ln 16ln e20，又因为h(x)ln x1x0，所以ln xx1，所以f (x)2xln xx222x(x1)x22x22x2(x1)212，综上知当x(0，2)时，0f (x)f (1)1，又因为当x(0，1)时，x22x2(2，1)，所以g(x)0，g(x)在区间(0，1)上单调递增，所以g(x)0，又x(0，1)，g(x)xf (x)0，综上可知0g(x)1.(3)由(1)(2)知：若x(0，1)，1f (1)f (x)2，若x(1，2)，0f (2)f (x)f (1)1，因为a1(0，1)，a2f (1，2)，a3f (0，1)，a4f (1，2)，所以a2k1(0，1)，a2k(1，2)，kN*，当n2k时，a1a2a3anggg1，当n2k1时，a1a2a3ana2k1ggga2k11，所以a1a2a3an1，从而n ailn0.
