1、天津市武清区天和城实验中学2020-2021学年高二数学上学期第二次月考试题(含解析)一卷一、单项选择题(5*9=45分)1. 已知数列中,则等于( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据数列递推公式逐项可计算出的值.【详解】在数列中,则,.故选:B.【点睛】本题考查利用递推公式写出数列中的项,考查计算能力,属于基础题.2. 圆心为且过点的圆的方程是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知利用两点间的距离公式求出圆的半径,代入圆的标准方程得答案【详解】圆心为(3,2)且过点A(1,1),圆的半径,则圆的方程为(x+3)2+(y2)225故选D【点睛】本题
2、考查圆的方程的求法,两点间距离,是基础的题型3. 焦点在轴上的椭圆的离心率是,则实数的值是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得,则,再由离心率是,可得,从而可求出实数的值【详解】解:由题意可得,则,因为,所以,所以,解得,故选:A4. 等差数列中,则( )A. 54B. 56C. 58D. 61【答案】C【解析】【分析】设等差数列公差为,由题意列出和的方程组,解得和,最后写出即可.【详解】设等差数列的公差为,则有,解得:,故.故选:C【点睛】本题考查等差数列基本量的计算,侧重考查对基础知识的理解和掌握,考查计算能力,属于常考题.5. 已知抛物线的焦点为F,是C上一
3、点,则=( )A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的定义、焦半径公式列方程即可得出【详解】由抛物线可得,准线方程,是上一点,解得故选:6. 直三棱柱ABCABC中,ACBCAA,ACB90,E为BB的中点,异面直线CE与所成角的余弦值是( )A. B. C. -D. 【答案】D【解析】【分析】以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值【详解】直三棱柱中,为的中点以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,设,则,0,2,0,0,2,0,设异面直线与所成角为,则异面直线与所成角的余弦值为故选:【点睛】本题考查异面直
4、线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是基础题7. 等比数列的各项均为正实数,其前n项和为,若,则( )A. 32B. 64C. 64D. 63【答案】B【解析】【分析】设首项为,公比为,由,又,可得,再利用通项公式即可得出【详解】解:设首项为,公比为,由,所以,又,又因为,所以,所以,故选:8. 在递减等比数列中,是其前项和,若,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接列方程组求出和公比,然后由前项和公式得结论【详解】则,解得或,是递减数列,则,(舍去),故选:A【点睛】本题考查求等比数列的前项和,解题方法是基本量法
5、,即求出首项和公比,然后直接直接由公式计算9. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,的面积为,则( )A. 1B. C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线的准线方程,进而求出,两点的坐标,再由双曲线的离心率为2,的面积为,列出方程,由此方程求出的值【详解】解:双曲线的两条渐近线方程是,又抛物线的准线方程是,故,两点的纵坐标分别是,又由双曲线的离心率为2,所以,即,则,两点的纵坐标分别是,又的面积为,可得,得,故选:【点睛】本题解题的关键是求出双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程,解出,两点的坐标,考查离心
6、率公式和三角形的面积公式二卷二、填空题(5*6=30分)10. 在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数_【答案】【解析】因为在圆上,所以圆心与切点的连线与切线垂直,又知与直线与直线垂直,所以圆心与切点的连线与直线斜率相等,所以,故填:11. 若直线的方向向量为平面的法向量为,则直线与平面的关系为_【答案】【解析】【分析】利用向量共线定理、线面垂直的判定定理即可判断出.【详解】解:,因此.故答案为:.【点睛】本题考查空间向量共线定理,线面垂直的向量方法,考查运算能力,是基础题.12. 在各项都是正数的等比数列中,成等差数列,则的值是_.【答案】【解析】【分析】设等比数列
7、的公比为,利用,成等差数列求出的值,化简并代入求值即可【详解】设等比数列的公比为,由,得,解得(负值舍),则.故答案为:.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的定义,得出要求的比值为是解决问题的关键,属较易题13. 各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,已知S630,S970,则S3_.【答案】10【解析】【分析】利用等比数列前项和的性质列方程,解方程求得.【详解】根据等比数列的前n项和的性质,若Sn是等比数列的和,则Sn,S2nSn,S3nS2n,仍是等比数列,得到(S6S3)2S3(S9S6),即.解得S310或S390(舍)故答案为:【点睛】本小题主要考查等比数列前项和性质,属于基础
8、题.14. 已知、分别是椭圆的左、右焦点,为直线上的点,是底角为的等腰三角形,则椭圆的离心率为_【答案】【解析】【分析】【详解】过点作轴于点,如图所示:由是底角为的等腰三角形得,所以,所以,所以,即离心率,故答案为【 方法点睛】本题主要考椭圆的定义及离心率,属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种情况:直接求出,从而求出; 构造的齐次式,求出; 采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解; 根据圆锥曲线的统一定义求解本题中,根据建立关于焦半径和焦距的关系从而找出之间的关系,求出离心率15. 记为等差数列的前n项和,已知,的前n项和为,则_.【答案】5
9、0【解析】【分析】利用等差数列的求和公式可得,再利用通项公式即可求出的通项,即可得到,从而得出【详解】解:设等差数列的公差为,解得因为,所以所以故答案为:三.解答题(14+15+15+15+16)16. 已知直线过定点.(1)若直线与直线垂直,求直线的方程;(2)若直线在两坐标轴上的截距相等,求直线的方程.【答案】(1);(2)或.【解析】分析】(1)根据垂直关系,先确定直线的斜率,再由直线的点斜式方程,即可求出结果;(2)讨论直线过原点,和不过原点两种情况,根据题中条件,设出对应的方程,即可求出结果.【详解】(1)因为直线的斜率为,直线与直线垂直,直线的斜率为2,又直线经过点,直线的方程为,
10、即;(2)当直线过原点时,设直线的方程为,直线过定点,即;直线方程为,即;当直线不过原点时,设直线的方程为,即,直线过定点,直线方程为,即,综上,直线方程为或.17. 已知以点为圆心的圆与直线相切.(1)求圆A的方程;(2)过点的直线l与圆A相交于M、N两点, 当时,求直线l方程【答案】(1)(2)或【解析】【分析】【详解】(1)由题意知到直线的距离为圆半径,且,所以圆的方程为 . (2)记MN中点为Q,则由垂径定理可知且,在中由勾股定理易知,设动直线方程为:或,显然合题意.由到距离为1知,解得, 或 为所求方程.18. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ACAD,ABBC,BA
11、C=45,PA=AD=2,AC=1.()证明PCAD;()求二面角A-PC-D正弦值;()设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30,求AE的长.【答案】(1)见解析(2)(3)【解析】【分析】【详解】解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).(1)证明:易得,于是,所以(2) ,设平面PCD的法向量,则,即.不防设,可得.可取平面PAC的法向量于是从而.所以二面角A-PC-D的正弦值为.(3)设点E的坐标为(0,0,h),其中,由此得.由,故所以,解得,即.解法二:(1)证明:由,可得,又由
12、,故.又,所以.(2)如图,作于点H,连接DH.由,可得.因此,从而为二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,因此所以二面角的正弦值为.(3)如图,因为,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交,设交点为F,连接BE,EF. 故或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BFCD,故.在中,故在中,由,可得.由余弦定理,,所以.【考点定位】本小题主要考查空间两条直线的位置关系、二面角、异面直线所成德角、直线与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.试题从命题的角度来看,整体上题目与我们平时练习的试题相似,但底面是非特
13、殊的四边形,一直线垂直于底面的四棱锥问题,那么创新的地方就是第三问中点E的位置是不确定的,需要学生根据已知条件进行确定,如此说来就有难度,因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好19. 已知数列的前n项和为,.(1)求证:数列为等差数列;(2)求数列的通项公式.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)令,即可得到以为首项,1为公差的等差数列;(2)由(1)可知,再根据计算可得;【详解】解:(1)令,因为所以所以以为首项,1为公差的等差数列;所以 所以(2)由(1)可得,当时,当时综上所述时成立,所以【点睛】本题考查构造法求数列的通项公式,解答的关键是的应用;20. 设椭圆的左右
14、焦点分别为,点P在椭圆上,O为原点.(1)若,求椭圆离心率;(2)若椭圆的右顶点为A,短轴长为2,且满足.求椭圆的方程;设直线与椭圆交与P,Q两点,若的面积为1,求k值.【答案】(1);(2);.【解析】【分析】(1)由,得是直角三角形,又可得答案;(2)由、和可得椭圆的方程;利用韦达定理求得弦长,点到直线的距离求得高,可得的面积让其对于1,可求k的值.【详解】(1)因为,所以是直角三角形,又,所以,由椭圆定义得.(2)由得,即,整理得,又,所以,椭圆方程为.整理得,设,所以,所以或,由到直线的距离为,所以即,整理得,解得,符合或,所以.【点睛】方法点睛:本题考查了直线与椭圆的位置关系,弦长公式,点到直线距离公式,第二问的关键点是利用韦达定理表示弦长、点到直线的距离公式表示高从而求得三角形的面积建立等式,本题考查了学生的运算求解能力.